Логическая семантика (сборник статей)

ные предложения представляют собой предложения о фикциях. К подобным предложениям неприменимы содержательные способы рассуждений, обычные законы логики. Такие предложения, по мнению Гильберта, желательно устранить из математики.

Элиминация идеальных (непосредственно не интерпретируемых) терминов и образований, используемых в идеальных предложениях, могла бы быть проделана различными способами. Во-первых, можно предпринять попытку элиминировать все неинтерпретируемые термины, определяя их через интерпретируемые термины (явная определимость). Во-вторых, можно ограничиться требованием переводимости всех предложений, содержащих неинтерпретированные термины, в предложения, их не содержащие (контекстуальная определимость в смысле Рассела). Наконец,можнопотребовать,чтобыинтерпретациюполучалине отдельные предложения, но вся теория в целом.

Однако, указывает Е.Д. Смирнова, Гильберт полагает, что подобная элиминируемость неосуществима, он считает, что «мы не можем отказаться от высказываний об идеальных элементах. Мы должны обосновать теорию, существенно использующую понятие актуальной бесконечности, если хотим сохранить всю классическую математику в полном объеме» [13, с. 232-233]. Трудности на этом пути связаны с тем, что «именно использование абстракций и идеализаций приводит нас к высказываниям, которым ничто не соответствует в действительности не только в том смысле, что в действительности нет конкретных объектов или совокупностей с указанными свойствами, но и в том смысле, что такого рода объекты и не могут в принципе существовать, не могут быть построены, даже если отвлечься от материальных, пространственно-временных возможностей их построения» [13,

с. 234].

Эти идеальные объекты – идеальная прямая, мнимые числа, бесконечно удаленные точки – можно вводить в теорию только если все то, что может быть сделано с их помощью, может быть сделано и без них (пусть и гораздо более сложным способом). Задача заключается в установлении отношения между теорией, не содержащей определенных терминов (и связанных с ними способов образования выражений и правил вывода), и теорией, их содержащей. Обоснованием же правомерности привлечения

61

идеальных объектов служит доказательство непротиворечивости системы с идеальными предложениями, поскольку, согласно принятым Гильбертом допущениям, доказательство непротиворечивости эквивалентно доказательству устранимости идеальных объектов.

Если говорить об онтологических предпосылках, принимаемых этими теориями, то получается, что по сути дела речь идет о двух онтологиях, первая из которых включает в себя только реальные объекты, а вторая – еще и идеальные. Непосредственная интерпретируемость реальных терминов означает отсылку к реальным, конструктивным объектам, а косвенная интерпретируемость означает отсылку к идеальным объектам, фикциям, которые не только не существуют, но и неконструктивны в том смысле, что не могут быть построены в принципе, даже если отвлечься от материальных возможностей их построения. Ситуация заставляет нас вспомнить слова Канта: «Метафизика в более узком понимании состоит из трансцендентальной философии

и физиологии чистого разума. Первая рассматривает только сам рассудок и разум в системе всех понятий и основоположений, относящихся к предметам вообще, причем объекты, которые были бы даны (ontologia) не принимаются в расчет; вторая из этих наук исследует природу, т.е. совокупность данных предметов (все равно, даны ли они чувствам или, если угодно, другому виду созерцания), и есть, следовательно, физиология (хотя лишь рациональная физиология)» [4, c. 493]. Если следовать Канту, то перваятеория(несодержащаяопределенныхтерминов)относится к области физиологии чистого разума, в то время как вторая (содержащая определенные термины) – к области трансцендентальной философии.

Однако для Гильберта главной задачей является не констатация ситуации с существованием двух разновидностей объектов и не описание подразумевающих их онтологий, а установление отношения между этим онтологиями. При этом непротиворечивость более широкой теории можно понимать семантически как утверждение о том, что все выводимые в теории идеальные высказывания всегда соотносятся с конструкциями именно более широкой онтологии, допускающей реальные и идеальные объекты. Это соответствие Гильберт понимает так, что все конс-

62

трукции идеальных объектов представляют собой конструкции, полученные финитными методами конструирования реальных объектов. Именно это и лежит в основании онтологического аспекта сведения непротиворечивости к устранимости.

Но если рассматривать нашу совместную онтологию реальных и идеальных объектов как объединение отдельной онтологии реальных и отдельной онтологии идеальных объектов, то в общем случае это приводит как к требованию применимости методов конструирования реальных объектов к идеальным, так и к требованию применимости методов конструирования идеальных объектов к реальным объектам. И тогда вопрос усложняется, поскольку тезис о совпадении этих методов (точнее о сведении методов идеального конструирования к методам реального) становится неочевидным. Более того, от нас при этом требуется специфицировать методы идеального конструирования.

Как пишет Е.Д. Смирнова, «мысленное конструирование не произвольно, но подчинено… строгим принципам и предполагает определенные «заградительные меры”… И именно идеальные предложения играют особую роль в формировании теоретической картины мира» [13, с. 265]. Этими заградительными мерами у Гильберта является его финитная установка, позволяющая манипулировать идеальными объектами. При этом Гильберт считает, что границу между определенными априорными усмотрениямиитем,длячегонеобходимопыт,следуетпроводитьиначе,чем это имеет место у Канта с его схематизмом.

Как известно, результаты К. Гёделя привели к необходимости выхода за рамки финитной системы мышления в смысле Гильберта. По Гёделю, нам необходимо отказаться от требования финитной установки наглядности объектов, о которых делаются высказывания. Онтологически это можно расценивать как принципиальное утверждение о различии реального и идеального конструирования объектов.

Но этот вопрос усложняется, если принять во внимание современную ситуацию с результатами Гёделя. Дело в том, что среди систем современной неклассической логики существуют так называемые системы паранепротиворечивой логики. Эти системы не являются непротиворечивыми, но лишь паранепротиворечивыми, в них парадоксальность не играет решающей роли,

63

поскольку не работает принцип сведения к абсурду (из абсурда не следует все что угодно). Как указывает Г. Прист в [20], по этой причине при использовании паранепротиворечивой логики (например, так называемой системы LP) в качестве оснований математики гёделевские теоремы не срабатывают, поскольку они как раз доказывались методом сведения к абсурду.

Означает ли это, что требование финитной установки о наглядности объектов в общем случае должно выполняться, следует ли отсюда принципиальная невозможность онтологического различения реального и идеального конструирования объектов? Столь категорично ответить на этот вопрос, скорее всего нельзя, что подсказывают нам следующие соображения.

Исследуя ситуацию, возникающую в связи с развитием неклассической логики, по аналогии с неевклидовой геометрией, тот же Г. Прист пишет: «Фактически, аналогия между неевклидовой геометрией и неклассической логикой представляется явной… Логика, арифметика и геометрия являются тремя великими априорными науками кантовской «Критики чистого разума». Согласно Канту, разум обладает некоторыми когнитивными структурами, которые, будучи наложенными на наши «непосредственные ощущения», порождают наши восприятия. С первыми двумя, пространством и временем, имеет дело трансцендентальная эстетика. С третьей, категориями, имеет дело трансцендентальная аналитика. Для них всех в силу этих априорных структур справедлива некоторая совокупность истин; и эти структуры порождают три соответствующих науки; геометрию в случае пространства, арифметику в случае времени, и логику в случае категорий… Эти науки не полностью на равных: геометрия и арифметика являются синтетическими; логика является аналитической. Тем не менее, каждая как наука бесспорна и существенно полна. Это дает нам евклидову геометрию, (стандартную) арифметику и аристотелеву логику» [21, p.157].

Однако в наше время немного найдется людей, разделяющих эти кантовские положения. Они разрушились не только под воздействием философской критики, но и под влиянием развития науки, что особенно ясно из истории возникновения неевклидовой геометрии. Противостояние евклидовой и неевклидовой геометрий ставит вопрос о множественности когнитивных структур

64

нашего разума в случае пространства и времени. Возникновение же неклассической логики приводит к принятию тезиса о множественности когнитивных структур и в случае категорий. Но здесь следует обратить внимание на обстоятельство, о котором Прист говорит следующим образом: «Мы должны различать геометрию как чистую математическую теорию и геометрию как прикладную науку. Имеется много геометрий как чисто математических теорий. Каждая превосходно определена аксиоматикой или модельно-теоретической структурой. То, что справедливо в ней, может быть априорным. По контрасту, то, что применяется к космосу как физическая геометрия, не является ни априорным, ни окончательным. Каждая геометрия, будучи применяемой, снабжает нас, в сущности, теорией пространственных (или про- странственно-временных) отношений; и какая из них корректна должна определяться обычным критерием фальсифицируемос-

ти» [21, р.158].

Если посмотреть под подобным углом зрения на логику, то, очевидно, следует говорить о логике как чисто логической теории и логике как прикладной науке. Но хотя логика в первом случае точно так же хорошо определяется аксиоматикой или те- оретико-модельной структурой, вопрос о диапазоне прикладной логики более сложен. Здесь, по-видимому, можно говорить, что подобная логика снабжает нас теориями логических отношений (но никак не категориальных), и корректность каждой тоже гипотетически может определяться научным критерием фальсифицируемости. В то же время совершенно непонятно, что означает неаприорный и неокончательный характер прикладной логики. Если даже понимать прикладную логику как логику определенной предметной области и рассматривать ее специфичность как пригодность именно к определенной предметной области, то это сразу же поднимает вопрос о критериях интерпретируемости прикладной логики.

Во всяком случае, принципиальную неразличимость реального и идеального конструирования объектов можно понимать как следствие множественности логических оснований математики. Если выбирать логические системы, допускающие запретительные теоремы типа гёделевских, то это различение невозможно, но если выбирать системы типа паранепротиворечивой логики, в

65

которых эти теоремы проваливаются, то это различение существенно и в каком-то смысле позволяет возродить финитную программу Гильберта. На это указывают, в частности, результаты по построению конечных нестандартных паранепротиворечивых систем арифметики.

3.Языковыекаркасыионтологическиесетки

Проблема онтологических допущений (обязательств, предпосылок) языка имеет еще один аспект, связанный с различными системами семантических категорий и сводящийся к тому, принятие какого рода сущностей влечет наличие в языке тех или иных категорий. С другой стороны, это связано также с приемлемостью этих допущений с точки зрения их соответствия или несоответствия реальности. У Р. Карнапа, например, это различение сводится к различению двух видов вопросов о существовании объектов. Он пишет: «мы должны различать два вида вопросов о существовании: первый – вопросы о существовании определенных объектов нового вида в данном [языковом] каркасе; мы называем их внутренними вопросами; и второй – вопросы, касающиеся существования или реальности системы объектов в целом, называемых внешними вопросами. Внутренние вопросы и возможные ответы на них формулируются с помощью новых форм выражений. Ответы могут быть найдены или чисто логическими методами, или эмпирическими методами в зависимости от того, является ли каркас логическим или фактическим. Внешний вопрос имеет проблематический характер, нуждающийся в тщательном исследовании» [5, c. 300].

Характерно, однако, что Карнап считает внешние вопросы не теоретическими, а прагматическими. Это означает, что их решение может быть получено опять-таки формально, не апеллируя к опыту, к реальности. По его мнению, совершенно напрасно внешние вопросы рассматриваются многими философами как онтологические вопросы, ответы на которые должны быть получены до введения новых языковых форм. Он полагает, что «введение новых способов речи не нуждается ни в каком-либо теоретическом оправдании, потому что оно не предполагает какого-либо утверждения реальности» [5, с. 310]. Более того, «принятие какого-

66

либо языкового каркаса не должно рассматриваться как подразумевающее какую-то метафизическую доктрину, касающуюся реальности рассматриваемых объектов» [5, c. 311].

Вывод, который можно сделать отсюда, сводится к тому, что теория реальности по ту сторону языкового каркаса, может быть многообразной и что следует различать онтологические обязательстваязыка,отвечающиевнешнимвопросам,ионтологиикак таковые, не имеющие отношения к языковому каркасу. Утверждать что-либо о реальности вообще мы можем лишь на основании анализа взаимоотношения онтологий, поэтому, например, в случае формальных онтологик, которые, по сути дела, сводят формальные онтологии к онтологическим допущениям формальных языков, метафизика превращается в теорию взаимоотношения онтологий.

Если же оставаться в рамках языкового каркаса, то механизм введения новых способов речи по Карнапу просто сводится либо к введению предикатов более высокого уровня для нового рода объектов, либо к введению переменных нового типа. В первом случае мы можем сказать о каждом частном объекте, что он принадлежит к какому-то роду, а во втором случае критерий Куайна – существовать, значит быть значением квантифицированной переменной – дает ответ на вопрос о существовании новых вводимых объектов.

Однако, как пишет Е.Д. Смирнова, «именно язык своей логическойструктуройсоздаеттусетку,котораядетерминируетнашу картину мира. В основе языкового каркаса в принципе всегда лежитопределеннаясистемасемантическихкатегорий,аонасвязана с принятием определенного вида сущностей, т.е. с теоретикопознавательными вопросами. Дело в том, что понятие языкового каркаса требует уточнения. И его уточнением … может служить понятие системы семантических категорий» [14, с.125]. Именно семантических, т.е. зависящих от метода семантического анализа, поскольку речь при этом идет о стабильных значениях выражений, а не контекстуальных, зависящих от контекста употребления – последние как раз и являются прагматическими.

Многообразие методов семантического анализа неминуемо приводит к различным типам онтологических обязательств языка, поскольку основывается на определенных теоретико-позна-

67

вательных предпосылках. Так, Г. Фреге начинал свой анализ с высказываний, членя их по схеме «функтор и его аргументы», что приводит к тому, что в языках фреге-расселовского типа субъект и предикат высказывания не могут принадлежать к одной и той же семантической категории. Такой метод анализа, указывает Е.Д. Смирнова, «не принуждает нас принимать предикаты (свойства и отношения) в качестве объектов рассмотрения, включать их в «онтологию языка» (в отличие от второпорядковой логики предикатов), хотя в этих системах предикатные знаки не рассматриваются как синкатегорематические» [14, с.127]. Как следствие, поскольку согласно известной концепции имен у каждогоимениестьсмысл,семантическаятрактовкаименпредполагает введение таких сущностей как круглый квадрат, нынешний король Франции, золотая гора и т.д. Таким образом, онтологические допущения языка становятся совершенно произвольными, допуская существование любых сущностей. Соответствующая онтология языка в этом случае превращается в онтологию, признающую наряду с реальными объектами и фикции.

Б. Рассел критиковал такой подход, предлагая сузить рассмотрение сингулярных терминов как подлинных собственных имен, считая их в большинстве случаев описательными именами, дескрипциями и предлагал трактовать их как неполные символы, как необозначающие выражения. Он считал, что подход Фреге приводит к умножению сущностей в духе теории предметов А. Мейнонга. Однако стоит заметить, что Мейнонг, в свою очередь, тоже говорил о неполных предметах и его теория, по сути дела, позволяла избежать умножения предметов в онтологии языка за счет принятия различных видов существования, также приводя к сужению области реально существующих объектов. Мейнонговская онтология языка также имеет дело с фикциями, однако они не смешиваются с реальными предметами, обладая своим специфическим существованием.

В отличие от Фреге, Аристотель (как и Буль) начинает свой анализ не с высказываний, а с понятий, соотнося их по объему. Отсюда как следствие система семантических категорий с самого начала выглядит иначе, чем в фреге-расселовских языках. Более того, как указывает Я. Лукасевич, у Аристотеля один и тот же термин без какого-либо ограничения может быть использован

68

и как субъект, и как предикат (см. [8, §4]), чего тоже нет у Фреге. Онтологически это приводит к тому, что принимаются такие типы сущностей как классы, отвечающие исходным категориям языка.

То же самое мы находим и у С. Лесьневского, однако здесь все сложнее, поскольку куайновский критерий существования у него не работает вообще: квантификация у Лесьневского не референциальная, но скорее подстановочная, а существование определяется с помощью специального предиката. У Лесьневского

в явном виде имеется система семантических категорий, так что,

содной стороны, справедлива фрегевская схема «функтор и его аргументы». С другой стороны, декларируемый Лесьневским номинализм сказывается в том, что у него квантифицируются и функторы, причем любого уровня, что позволяет говорить, что все языковые выражения у него рассматриваются как имена. Как известно, аристотелевская силлогистика имплицитно содержится в его системе онтологии, что означает принятие аристотелевской системы семантических категорий, но при этом общие имена синтаксически не отличаются от сингулярных имен. Языковая онтология у Лесьневского многообразна и в то же время достаточно однородна, несмотря на кажущееся разнообразие системы семантических категорий. В частности, у него пустые объекты выводятсязарамкионтологическихдопущенийязыкаонтологии (доказывается теорема, согласно которой неверно, что существование является свойством пустого объекта). В то же время у него выделяются достаточно автономные подсистемы – например, элементарная онтология и аристотелевская силлогистика, языковая онтология которых различна.

Следует отметить, что между системой синтаксических категорий и системой семантических категорий отсутствует точное соответствие и не каждому типу символов всегда отвечает соответствующий семантический тип. Как замечает Е.Д.Смирнова, лишь теоретико-множественная семантика, будучи по существу платонистической, предполагает наличие подобного изоморфизма:каждойсинтаксическойкатегорииподобнаясемантикасопоставляет «объекты определенного вида: индивидным константам (n) – объекты из непустой индивидной области U, предложениям (s) – из области истинностных значений {и,л}, выражениям кате-

69

гории s/n1,…,ni – функции с областью определения в декартовом произведении множеств, сопоставленных категориям n1,…,ni и областью значений в множестве, сопоставленном категории s. При таком подходе все синтаксические категории являются семантическими» [14, с.129].

В качестве примера несовпадения синтаксических и семантических категорий достаточно рассмотреть случай логических связок. В общем случае логические связки можно рассматривать как выражения семантических категорий s/s, s/ss, …, но обычно их рассматривают как синкатегорематические выражения, т.е. не имеющие ни семантической категории, ни самостоятельного значения и ничего не обозначающие. Такая двоякая трактовка приводит к тому, что во втором случае синтаксические категории не имеет семантического соответствия.

Е.Д. Смирнова предлагает в этом случае различать то, что может быть «сказано» в языке с тем, что может быть «показано», что сводится, в конечном счете, к вопросам платонизма и номинализма в языке. Она пишет: «Как нам представляется, то, что ‘показано’, связано именно с принимаемыми конструирующими операциями и их репрезентацией в языке. Если знаки категорий s/s, s/ss, …, рассматриваются фактически как синкатегорематические, это означает, что они трактуются как знаки конструиру-

ющих операций» [14, с.129].

Онтологически конструирующие операции можно было бы понимать как существование приписываемых в качестве значений логическим связкам онтологических связей или операций конструирования сложных объектов из простых. Так, например, при построении алгебры Линденбаума в качестве модели для пропозициональной логики мы сопоставляем каждой формуле A класс эквивалентных ей формул |A| и для конъюнктивных и дизъюнктивных формул получаем |A B| = |A| ∩ |B| и |A B| = |A||B|, соответственно, т.е. сопоставляем конъюнкции операцию теоретико-множественного пересечения ∩, а дизъюнкции – операцию теоретико-множественного объединения . Точно так жемынаходимуВитгенштейнатрактовкулогическихсвязоккак синкатегорематических: они ничего не «сказывают», но только «показывают», они трактуются как пунктирные линии, показывающие связи атомарных предложений. Вдобавок он распро-

70