Логическая семантика (сборник статей)

лизации рассмотренных отношений следования при допущении (отбрасывании) условий (1), (2). (Логические свойства этих отношений при указанных условиях мы рассмотрели выше).

Теорема 1. В семантике с истинностно-значными провалами отношение [a] формализуется системой логики Хао Вана, отношение [b] – системой, двойственной логике Хао Вана, отношение [d] – классической логикой, отношение [c] – пусто, т.е. ни одна формула не находится в отношении [c] с любой другой.

Теорема 2. В семантике с пресыщенными оценками отношение [a] формализуется системой двойственной логике Хао Вана, отношение [b] – системой Хао Вана, отношение [c] – классической логикой, отношение [d] – пусто.

Теорема 3. В семантике, где не принимаются оба условия (1)

и (2), т.е. (1) и (2 ), отношения [a] и [b] формализуются логикой де Моргана, отношения [c] и [d] – пусты.

Доказательства см.: [4, гл. V].

Дадим сводку полученных результатов формализации отношений логического следования. Обозначим: ХВ – логика Хао Вана, ДХВ – двойственная логике ХВ, Л – логика Лукасевича, С – классическая логика, М – система де Моргана, П – пусто. Результаты формализации отношений логического следования с учетом предпосылок (1) и (2) можно свести в таблицу:

Интересно отметить, что одна и та же формальная система

может быть построена как на базе семантики с истинно-значны- ми провалами, так и на базе семантики с пресыщенными оценками, но в таком случае формализуемое отношение логического следования может меняться.

Суммируя, можно сказать, что в основе предложенного подхода лежит ряд принципов:

21

1 Понятие невозможных возможных миров и его аналоги не используются в семантиках рассматриваемых логик. Используются понятия областей и антиобластей высказываний.

2. Приписывания высказываниям областей и антиобластей

реализуются независимо. Это фактически означает введение понятий истинности и ложности независимым образом.

3. Имея дело с такими независимыми объектами как области и антиобласти высказываний, можно в принципе устанавливать различные отношения между ними. В частности, отношения между классами ϕT(А) и ϕF(А) могут удовлетворять или не удовлетворять условиям:

(1) ϕT(А)∩ϕF(А) = ; (2) ϕT(А) ϕF(А) = W

Принятие или отбрасывание (1), (2), как отмечалось, определяют типы семантик.

[При принятии (1) и (2) имеем стандартную семантику; при принятии (1) и отбрасывании (2) – семантику с истинностно-знач- ными провалами (gap); при принятии (2) и отбрасывании (1)  – двойственную ей семантику с пресыщенной оценкой (glut). Наконец, отбрасывание (1) и (2) дает нам релевантную семантику.]

В результате получаем различного типа нестандартные семантики.

4.Функция приписывания значений пропозициональным переменным введена обобщенным образом: пропозициональным переменным приписываются не истинностные значения в данном мире (то есть объекты t и f), но особые «интенсиональные объекты» – классы миров, в которых высказывания истинны или ложны. Именно это придает пропозициональным связкам в определенном смысле интенсиональный характер.

5.Более того, при определении логических связок никакие ограничения изначально не налагаются на отношения между областями и антиобластями высказываний, т.е. на отношения между истинностью и ложностью.

6.Вместо единственного, классического, понятия логического следования на основе понятий области и антиобласти изначально вводятся различные отношения логического следования  – независимо от условий (1) и (2). Именно эти отно-

22

шения логического следования в сочетании с принятием (или непринятием) условий (1) и (2) детерминируют различные логики.

Речь идет вовсе не о том, что эти логики воспроизводят «реальные» способы рассуждения, представленные в естественном языке. Наоборот, мы моделируем возможные типы рассуждений независимо от того, реализуются ли они в искусственных или естественных языках, машиной или человеком.

7. Одна и та же формальная система может соответствовать различным семантикам и тем самым, в сущности, базироваться на различных допущениях относительно отношений между областями и антиобластями. Однако отношение логического следования, формализуемое формальной системой, может в этих случаях меняться.

Заметим, что в терминах рассматриваемой семантики областей и антиобластей можно представить условия истинности модальных высказываний. Трактовка модальных операторов при этом зависит от двух параметров:

1.от способа задания множества миров W;

2.от учета условий (1) и (2).

Если возможные миры равноположны (как в случае описаний состояния), необходимость фактически совпадает с логической истинностью, тавтологичностью А:

□А Ист ϕT(А) = W

◊А Ист ϕT(А) ≠ или ϕF(А) ≠ W

¬◊А Ист ϕT(А) = или ϕF(А) = W

¬□А Ист ϕT(А) ≠ W или ϕT(А)’ ≠ – А выполняется не во всех мирах. Если принимаются условия (1) и (2), миры, в кото-

рых не подтверждается А, т.е. ϕT(А)’, совпадают с антиобластью

ϕF(ЕслиА): ϕTввести(А)’= ϕвF(рассмотрениеА). условия (1), (2) и отношения, соответственно, между областями и антиобластями, смысл модальных операторов меняется. Пусть ϕF(А) – область обстоятельств, фальсифицирующих А. Если имеет место (1) и (2 ) – gap, ϕT(А)’ ≠ ϕF(А), тогда ¬□А означает, что А имеет место не во всех мирах, но не означает наличия опровергающих А условий ϕF(А). Анало-

23

гично с ◊А и ¬◊А, ϕT(А) = ≡/ ϕF(А) = W. ϕT(А ¬A) ≠ W, соот-

ветственно – ¬□(А ¬A).

Если принимается (1) и (2), то ◊(А & ¬A), (ϕT(А & ¬A) ≠ ) и верно □(А ¬A).

Предлагаемыйобобщающийподходдаетвозможностьперейти также к анализу интенсиональных контекстов, их особенностей.

Эти контексты отличаются вхождением особых знаков – интенсиональных операторов и предикатов. Способы интерпретации такого рода знаков принципиально иные. К какого рода семантическим категориям относятся интенсиональные знаки? Какого рода сущности (идеальные объекты) приписываются им при интерпретации? Семантика областей и антиобластей позволяет прояснять этот вопрос.

Известно, что в интенсиональных контекстах не проходит замена тождественных по значению составляющих – кодесигнативных выражений. С.Крипке рассматривает этот феномен как загадку контекстов мнения – особенно в случае жестких десигнаторов, см. [10].

Принимаемый нами метод анализа интенсиональных контекстов базируется на двух важных моментах: 1. выявление особенностей логической структуры этих контекстов и 2. на способах интерпретации интенсиональных знаков [4].

Основная идея подхода – выявление способов конструирования сложных выражений из составляющих в случае наличия интенсиональных операторов и предикатов. Подход ведет к пересмотру принципов теории семантических категорий. В принципе способ членения сложных выражений на составляющие не является раз и навсегда данным.

При стандартном, классическом подходе к построению систем семантических категорий основу составляет метод анализа, восходящий к Г.Фреге, – членение высказываний по схеме: функтор и его аргументы (принимаемый в качестве единственного). При таком подходе системы семантических категорий не охватываютмногиевыраженияязыка(кванторы,модальныеоператоры, имяобразующий оператор (x), , интенсиональные предикаты и операторы и др.). Нами предлагается в качестве основы анализа семантических категорий рассматривать и иного рода

24

конструирующие операции (например, в случае анализа категорий кванторов1). Так, в качестве особого рода операции выделяется операция приложения интенсиональных операторов

иинтенсиональных предикатов к их аргументам (обозначим s//s

иs//n, соответственно). Смысл этой операции раскрывается на семантическом уровне. Характер этой операции определяет способы «вычисления» экстенсионалов и интенсионалов сложных выражений – результатов приложения интенсиональных знаков. Меняется сам принцип анализа логической структуры интенсиональных контекстов. Соответственно, по-иному принципу строится и теория семантических категорий для этих контекстов [4]2.

Следующая особенность анализа интенсиональных контекстов связана с интерпретацией интенсиональных знаков – операторов и предикатов, приписыванием им значений. Однако интерпретация этих знаков предполагает введение особого рода объектов и ведет к умножению абстрактных сущностей в семантическом анализе. Иными словами – предполагает определенного рода «интенсиональную онтологию». Посмотрим, какого рода сущности вводятся.

Как нам представляется, в основе семантики интенсиональных контекстов остается идея областей (и антиобластей) высказываний. В качестве экстенсионала выражения выступает его

1 Так, стандартно кванторам приписывается категория s/s – будучи приложены к пропозициональным формулам, они образуют формулы (высказывания); это означает, что кванторы попадают в ту же категорию значения, что и одноместные пропозициональные связки, например отрицание. Предлагается наряду с операцией приложения функторов к аргументам ввести в теорию семантических категорий обратную ей операцию абстракции по соответствующей переменной; обозначим операцию хР(х). Тогда категорией

кванторов (по индивидным переменным) будет – s/s/n, а категория -опера- тора – n/s/n, соответственно (см. [7]).

2Особого рода вопрос – трактовка семантических категорий кванторов

винтенсиональных контекстах. Т.к. в интенсиональных контекстах вводится особого рода операция приложения интенсиональных знаков к их аргументам, иной будет трактовка операции абстракции в этом случае. Так, если Р[x]

– интенсиональный предикат (категория s//n) и если рассматривать результат абстракции – (σх)Р – как класс индивидных концептов, удовлетворяющих Р,

то получаем и ной т и п категорий кванторов – s/(s//n) [3, гл. IV, § 4].

25

значение в данном мире. Если под интенсионалом, вслед за Карнапом, иметь в виду то общее, что имеют L-эквивалентные высказывания (A ≡ B – L-истинно), то таким «общим» окажутся области высказываний: ϕT(А) ≡ ϕT(B). Интенсионалами фактически выступают области высказываний. Если А L-экви- валентно В при данном выделенном множестве миров W (не обязательно описаний состояний!), то ϕT(А) = ϕT(B). Интенсионал высказывания называют еще пропозицией выска-

зывания или пропозициональным концептом.

По-другому, выражению категории s/n – одноместному предикатному знаку Р – в качестве интенсионала приписывается функция f: W → 2U, т.е. (2U)W, где U – универсум рассмотрения. Выражению категории s (высказыванию) – функция f: W → {0, 1}, т.е. t и f. Но тогда фактически функция f сопоставляет высказываниям пары <ϕT(А), ϕF(А)>, их области и антиобласти.

Обозначим сокращенно область ϕT(А) – s, s W и s 2W. Обозначим множество 2W посредством s.

Рассмотримтеперьмножествоh,элементамикотороговыступают пропозиции – h = {s1, ... sl}. Подобно тому, как с случае описанийсостоянийвкачествеэлементовописанийсостоянийвыступают атомарные факты (атомарные высказывания), h собирает вкачествеэлементовпропозиции1.Вэтомпланевкачестве«областей» высказываний выступают теперь семейства пропозиций.

Объединятьсявсемействапропозициимогутпоразным основаниям. Например, h = {sj | w0 sj}, т.е. h выделяет «окрестность» мира w0. Или это могут быть «окрестности» различных миров, задаваемые отношением G по принципу: h = {sj | wi G sj}, отношение G мирам сопоставляет пропозиции, т.е. выполняется оно на парах вида < wi, sj >. Множество таких окрестностей wi – H, h H и H S – это все или не все (а некоторые возможные) окрестности мира wi (или множества миров wi, ... wl), например миров, в которых верны постулаты Г: sj = ϕT(Г).

На базе этих сущностей можно теперь рассмотреть возможные интерпретации модальных операторов и интенсиональных предикатов. В качестве значений им будут сопоставляться функции или отношения, заданные на областях высказываний или

1 Особые постулаты могут задавать отношения между пропозициями.

26

семействах таких областей. Представим такие интерпретации посредством сводной таблицы 1.

Таблица 1

Интерпретация интенсиональных предикатов и операторов

Интерпретация I представляет фактически подход Д. Скота, II  – Р. Монтегю. Пропозициональным переменным интерпретация I – I(p) приписывает пропозицию s, т.е. ϕT(р).

Нами предлагается подход III. При этом подходе высказывание□ристинновмиреwi –wi B□р≡I(p) f□(wi).Так перестраивается схема Тарского применительно к интенсиональным контекстам. Кроме того, при подходе III интенсиональным знакам в качестве значений приписываются как экстенсионалы, так и интенсионалы (пропозиции) – в отличие от подходов I и II.

Остановимсятеперьнавторойупомянутойвначалелиниипостроенияобобщающихсемантик.Линияэтасвязанаспересмотром предиката истинности – области его приложения  – и, соответственно, с появлением индетерминированных высказываний.

27

В общем случае речь идет о введении не всюду определенных предикатов и функций. В рассмотрение включаются области приложения предикатов.

Областью приложения предиката Р называют множество объектов U’ U, на котором он принимает значения t или f.

Но U’ может не охватывать все объекты универсума рассмотрения U, т.е. U’ ≠ U. При таком подходе, например с учетом области приложения предиката «быть простым числом», высказывание «Цезарь – простое число» не получает истинностной оценки. Аналогично обстоит дело с метапредикатами Tr (истинно) и F (ложно). Они задаются не на всем множестве высказываний.

В случае введения областей и антиобластей высказываний, если отношения между ними подчиняются условиям (1)

и (2 ), т.е. ϕT(А) ϕF(А) ≠ W, мы приходим к идее не всюду определенных предикатов истинности – Tr и, аналогично, ложнос-

ти  – F.

Соответственно имеем следующие возможные подходы к построению семантик:

(1)Как стандартные, то есть несемантические, так и семантические предикаты могут быть не всюду определенными.

(2)Несемантические предикаты могут быть не всюду определенными, но семантические предикаты всюду определены.

(3)Стандартные предикаты являются всюду определенными, семантические предикаты могут быть не всюду определенными.

Если как стандартные, так и семантические предикаты всюду определены, мы имеем дело с ортодоксальным, классическим вариантом семантики. Семантически замкнутые языки с всюду определенными стандартными и семантическими предикатами, как известно, противоречивы.

Начнем с анализа семантик первого вида1. Схема, определяющая условия адекватности предиката «быть истинным высказыванием», в этом случае меняет свой смысл.

Ме н я е т с в о й с м ы с л эквивалентность, выступающая в классической схеме Тарского.

1 При этом предполагается, что объемы и антиобъемы предикатных знаков не пересекаются.

28

С нашей точки зрения, анализ семантик первого вида приводит к сильной трехзначной логике С. Клини [2]. В качестве экспликации эквивалентности в схеме Тарского, введем клиниевскую эквиваленцию , ее можно задать таблично:

Отметим, что и Клини не рассматривал u как значение истинности того же ранга, что t или f 1. Можно показать, что в логике с истинностными провалами, обогащенной правилами для из А

~А не следует А & ~А.

Вследующем варианте рассматриваемых семантик несе-

мантические предикаты могут быть не всюду определены, но семантические являются всюду определенными. В этом случае, на наш взгляд, может быть применен подход Д.А. Бочвара [3, гл.  V,

§5].

Втретьем варианте несемантические предикаты являются всюдуопределенными,асемантическиемогутбытьневсюдуопределенными. Для анализа условий истинности высказываний в такого рода семантиках и, соответственно, характера и роли схемы Тарского особый интерес, с нашей точки зрения, представляет подход, при котором расширяется обычный, стандартный объектный язык L за счет введения особого предиката Тr, пре-

диката истинности. На этом подходе остановимся ниже в связи с анализом парадокса Лжеца.

Перейдем к рассмотрению семантических парадоксов, их роли в познавательной деятельности. Прежде всего остановимся на анализе парадокса Лжеца. Парадокс этот связан с понятием

1 «Но может не существовать алгоритм для решения, определено или нет Q(x) при данном x... Поэтому только классически, но не интуиционистски можно утверждать закон исключенного четвертого (утверждающий, что для каждого x значение Q(x) есть t, f или u). Таким образом, третье «значение истинности» u в нашей теории выступает не нара вне с д ву м я д ру- г и м и t и f». «u означает только отсутствие информации, заключающейся в том, что Q(x) есть t или f» [2, с. 297].

29

истинности, условиями истинностных оценок суждений, экспликацией понятия истинности в логической семантике.

Обычно, рассматривая парадоксы, во главу угла ставят задачу их устранения. Выделяют отдельные предпосылки их возникновения, устранение которых ставит «барьер» на пути парадокса.

Нанашвзгляд,решитьпроблемупарадокса–незначитпросто устранить парадокс. Дело не в этом. Необходимо выявить основания его возникновения, увидеть определенные несогласованности в нашей познавательной деятельности, которые парадокс вскрывает. Мы остановимся именно на этих вопросах.

Принимаемая логика, допустимые способы рассуждения, концептуальный аппарат теории, допускаемые виды абстракций и идеализаций, способы введения понятий, типы объектов рассматриваемых теорий – все это составляет единую систему, аспекты которой взаимосвязаны.

Парадоксы вскрывают эти взаимосвязи, они играют важную, конструктивную роль – роль окошечка в доменной печи, которое позволяет заглянуть в скрытую от поверхностного взгляда лабораторию нашей познавательной деятельности. Во многих случаях, как отмечал Р.Смаллиан, парадоксы содержат идеи, которые после незначительной модификации приводят к значительным открытиям.

Разные подходы к анализу причин возникновения парадокса Лжеца связаны с разными моментами, предпосылками познавательного характера.

Так, А. Тарский, как известно, выделяет два условия возникновения парадокса: 1) Особый характер языка – язык семантически замкнут: наряду с предложениями, относящимися к объектам рассмотрения, язык содержит семантические предикаты («истинно», «ложно»), относящиеся к предложениям этого же языка.Такимявляетсяестественныйязык.2)Принимаетсяобычная классическая логика.

При этом в основе экспликации условий истинности лежит корреспондентская концепция истинности.

Тарский предлагает сохранить классическую логику и ее законы, как не ведущие к противоречиям, но отказаться от семантической замкнутости языка. Фактически речь идет о разграничении объектного и метаязыка с его понятийным аппаратом.

30