Логическая семантика (сборник статей)

Другая линия анализа парадокса Лжеца связана с иными его аспектами. Эта линия предполагает введение необоснованных (индетерминированных) высказываний – высказываний, не получающих истинностных оценок. Выше мы касались такого рода высказываний. Однако в этом случае меняется логика, трактовка, например, отрицания и, соответственно, других логических связок. Изменяются при этом и принципы логики, так, в случае отрицания, сопоставляющего необоснованному высказыванию необоснованное, не сохраняется принцип исключенного третьего. Вскрывается зависимость логики, ее принципов от условий истинностных оценок суждений.

Необоснованность суждений может определяться условиями различного типа, например трактовкой осмысленности высказываний. Согласно схеме Тарского предполагается, что если мы понимаем предложение, значит, оно осмыслено и может оцениваться как истинное или ложное. «Понимать предложение – значит знать условие его истинности» – утверждал Р. Карнап в соответствии со схемой. Однако понимание предложения не всегда ведет к фиксации условий его истинности. В случае предложения Лжеца, мы его понимаем, но его истинностная оценка ведет к противоречию. Возникает, соответственно, задача выделения критериев осмысленности предложений, фиксации правил языка, обеспечивающих такую осмысленность.

Помимо прочих условий (учета контекста, определений вводимых понятий и т.д.) существенную роль играет соблюдение требования категориальности. Условие категориальности предполагает выделение упомянутых выше областей приложе-

ния (range of application) предикатов (свойств).

Важно то, что введение индетерминированных предложений связано с изменением логики, определенных ее законов (чего нет при подходе Тарского). Меняются условия истинностных оценок высказываний, и логика «реагирует» на это.

Поскольку как обычные, так и семантические предикаты могут рассматриваться как не всюду определенные, возникают рассмотренные выше варианты семантик: (1), (2), (3), (4). В случае варианта (3), когда семантические предикаты могут быть не всюду определенными, возможно сохранение семантической за-

31

мкнутости языка – предикат истинности вводится в объектный язык. Парадокс не возникает за счет того, что предикат истинности не является всюду определенным.

Реализацией такого варианта выступает, например, построение семантики, предлагаемое С. Крипке в его известной работе «Подход к построению теории истинности» [3]. Базой остается корреспондентская концепция истинности и ее экспликация посредством схемы Тарского. Язык семантически замкнут, в нем возможны предложения, утверждающие свою собственную истинность или л о ж н о с т ь (как это имеет место в естественном языке). Семантика строится индуктивно – шаг за шагом вводятся (на базе строгих индуктивных правил) классы предложений языка, образуя определенную иерархию таковых. Например, на первом уровне могут быть предложения, говорящие об объектах универсума рассмотрения, на втором к ним добавляются предложения, утверждающие истинность (ложность) предложений первого уровня и т.д., см. [3, гл. V, с. 203–210]. Фактически это означает фиксацию в семантически замкнутом языке определенных страт, уровней – вместо введения иерархии самих языков: объектного языка, метаязыка и т.д. Приписывание предикату истинности его объема, т.е. класса подпадающих под него предложений, определяется выделенными уровнями языка.

Уровни, на которых выполняется схема Тарского (т.е. предложения этого уровня отвечают условиям схемы Т), называют «фиксированными точками». Это уровни, на которых понятие истинности отвечает корреспондентской концепции истинности.

Данный подход позволяет провести тонкий анализ самоприменимыхпредложений,содержащихпредикатистинности.Обоснованные (получающие истинностную оценку) предложения имеют истинностное значение в наименьшей (по построению) фиксированной точке, в противном случае они индетерминированные. К числу индетерминированных относятся, например, предложения, утверждающие свою истинность или не истинность. Парадоксальное предложение, например Лжеца, не имеет истинностного значения ни в одной фиксированной точке построения, т.е. ни на одном уровне построения, на котором

32

выполняется схема Тарского, соответственно на котором верна классическая концепция истинности. Тогда всякое парадоксальное предложение не обосновано, но не наоборот.

ДанныйподходканализупарадоксаЛжецавскрываетважные аспекты рассмотрения языка: условия допущения семантически замкнутых языков, не ведущие к противоречиям, различные трактовки экстенсии понятия истинности в зависимости от выделяемых страт языка, зависимость разграничения обоснованных и индетерминированных высказываний от выполнения схемы Тарского. «Пагубная» и «непагубная» самоприменимости отделяются.

Нами предлагается особая линия анализа парадокса Лжеца на базе обобщающего подхода к построению семантик [8]. При этом подходе становится возможным учет определенных аспектов когерентной концепции истинности. Соответственно пересматривается классическая схема Тарского.

Истинность высказывания релятивизируется к миру («обстоятельствам») изначально. Предложение А истинно в мире wi, е.т.е. «условие» wi принадлежит к условиям, верифицирующим А, т.е. к его области (wi φT(А)). Аналогично предложение А ложно при условии wi (в «мире» wi), если wi принадлежит к условиям, когда А не имеет места(wi φF(А)), к условиям, фальсифицирующим его.

Область предложения и его антиобласть могут в совокупности охватывать, а могут не охватывать всю совокупность обстоятельств, принимаемых во внимание, т.е. множество миров W. В случае, если они не охватывают все множество W: φT(A) φF(A) ≠ W, появляются необоснованные предложения. Если предложение А не подтверждается рассматриваемыми, выделенными обстоятельствами, т.е. φT(А) = , иеслиононеопровергается,нефальсифицируетсяими,т.е.также и φF(А) = , то предложение А – индетерминированное. Оно не истинно инеложноприданномW.Именнотакимобразом трактуетсяиндетерминируемостьпредложенияЛжеца(обозначим его Л) – нет условий, верифицирующих его, и нет условий, фальсифицирующих его в рамках W (φT(Л) = и φF (Л) = ).

Но если при этом принимается, что область и антиобласть предложения совместно исчерпывают W – все обстоятельства

33

(φT(A) φF(A) = W), возникает противоречие. Предложение не только индетерминировано, оно парадоксально. Соответственно, всякое парадоксальное предложение индетерминировано, но индетерминированное предложение не обязательно парадоксально.

При данном подходе индетерминируемость высказываний трактуется особым образом, она зависит не от страт языка и выполнения схемы Тарского, а от учета условий, подтверждающих А, – φT(A) и от условий, его опровергающих, – φF(A)1. Включаются в рассмотрение определенные аспекты когерентной концепции истинности.

Преодолеваются упомянутые выше трудности, связанные со схемой Тарского. Важно, что в условие истинностной оценки суждений включаются контексты употребления, определенные предпосылки, принимаемые во внимание положения дел. Наконец, могут включаться в рассмотрение знания, установки субъекта.

Интересно, что противоречия могут возникать, если допустить, что области и антиобласти предложений пересекаются

– φT(A) ∩ φF(A) ≠ , предложение подтверждается и одновременно опровергается в рамках теории (например «круглый квадрат кругл» и т.п.).

Надоотметить,чтовцеломнетединогоподходак«решению» парадокса Лжеца (как, впрочем, и в случае иных парадоксов). Это отвечает упомянутому в начале системному подходу к рассмотрению парадоксов. В разных условиях познавательной деятельности, с учетом разных ее аспектов подходы будут разные. Логика может приниматься классическая, но иные предпосылки

1 В принципе с у ще с т в е н н у ю роль при данном подходе играет трактовка антиобластей высказываний – φF(A):

1. Если φF(A) рассматривать как дополнение к классу φT(А) – области А, т.е. как φT(А)’, то это означает множество миров (обстоятельств) в рамках W, не под т в е рж д а ющ и х А. Тогда область и антиобласть высказывания исчерпывают W.

2. Но если трактовать φF(А) – как условия, о п р о в е р г а ю щ и е А (например есть условия, обосновывающие не-А в рамках теории), тогда область и антиобласть задаются независимо, и их объединение не обязательно исчерпывает W, возможно φT(A) φF(A) ≠ W. Такая трактовка антиобласти φF(A) ближе к конструктивистскому подходу.

34

варьируются. Могут учитываться разного типа обстоятельства, пресуппозиции. Соответственно, в семантике вводятся разного типа объекты – вроде значений предложений t и f или областей предложений, семейств областей h и т.д. Но в основе лежат идеальные связи, речь идет о необходимости абстрактных сущностей в семантическом анализе.

При рассмотрении понятия истинности высказываний могут учитываться условия (контексты), подтверждающие (или опровергающие) их. Индетерминируемость зависит от наличия этих условий. Парадокс Лжеца выявляет все эти предпосылки.

Всвязисобобщающимподходоми всвязис парадоксомЛжеца встает вопрос о единственности логики или принятии многих логик, об обосновании принципов и законов логики.

И.Кантсчиталформальнуюлогикуединственнойизавершенной. Э. Гуссерль выдвинул важную идею – в основе логических законов лежат связи идеальные, не зависящие от субъекта, от условий их реализации. Отметим, что в принципе такая трактовка не ведет к единственности логики, т.к. связи эти могут быть разного типа.

Вцелом встает вопрос о единственности «нашей» логики или

овозможности иных логик, отличных от «нашей». Не носит ли в таком случае логика, логические законы субъективный или конвенциональный характер?

Возможность существования иных логик с отличными от «нашей» логики законами и принципами связывается в случае анализа парадокса Лжеца, с одной стороны, с онтологическими предпосылками – с характером объектов рассмотрения, с другой

–с предпосылками гносеологического порядка.

Впервом случае речь идет о включении в рассмотрение идеальных объектов разного типа, например типа «идеальных элементов» в смысле Гильберта, возможных, «воображаемых» миров с их универсумами и т.д.

Но иные логики могут возникать по иным мотивам – в связи с пересмотром принципов логики независимо от «онтологии» мира – в связи с пересмотром понятий истинности, ложности, отношений между ними, трактовкой отрицания, отношения логического следования, в связи с анализом выразительных возможностей языков и теорий.

35

Но в обоих случаях речь идет об анализе идеальных связей, лежащих в основе логических принципов.

Вопросоединойлогикеилимногихлогиках,какнампредставляется, становится прозрачным, если учесть упомянутый выше системный подход к логике, ее месту и принципам: не просто механическое изменение законов логики и каких-то ее основополо- жений–отказотоднихипринятиедругих(речьидетнеологичес- ких формализмах), – а ее место в определенной системе познавательной деятельности с ее особенностями и предпосылками. Тем самымлогиканеестьнечтоабсолютное,«присущеенашемууму». Принимаемые явным или неявным образом определенные абстракции и идеализации, определенные нормы и принципы позна- вательнойдеятельности–вотчтодетерминируеттеидеальные связи, которые лежат в основе логики, ее законов.

Литература

1.Гильберт Д. О бесконечном. Обоснования математики // Основания геометрии. – М.; Л., 1948.

2.Клини С. Введение в метаматематику. – М.: Иностранная литература, 1957.

3.4.СмирноваЕ.Д.Логикаифилософия.–М.:РОССПЭН,1996.

5.Смирнова Е.Д. Интенсиональные контексты // Новая фило-

софская энциклопедия. Т. 2. – М. Мысль, – С. 132–133.

6.Смирнова Е.Д. О загадке контекстов мнения // Логические исследования. Вып. 6. – М.: Наука, 2001. – С. 199–209.

7.СмирноваЕ.Д.Logicalentailments,truth-valuegapsandglutted

evaluations // 8th International Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science/Abstracts. Vol. 1. Sect. 1–5. Moscow, 1987.

8.Смирнова Е.Д. Основания теории семантических категорий // МатериалыМеждународнойнаучнойконференции«ШестыеСмирновские чтения по логике». 17–19 июня 2009 г. Москва, 2009.

9.Смирнова Е.Д. Обобщающий подход к построению семан-

тики и его методологические основания // Логические исследо-

вания. – 2005. Вып. 12. – С. 249–263.

10.KripkeS.Outlineoftheoryoftruth//TheJournalofPhilosophy.

–1975. – Vol. 72. – P. 690–715.

11.Tarski A. Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen // Studia philosophica. – Vol. 1. 1936. – P. 261–405.

12.FregeG.SchriftenzurLogik.AusdemNachlass.–Berlin,1973.

36

Е.Г. Драгалина-Черная

Семантическоеобоснованиелогики: истокииперспективы1

The principles of the demarcation of the bounds of logic may have proof-the- oretical or model-theoretical character. The first approach is the traditional one that characterizes logic as a theory of valid inferences. The second is the one that understands logic as a theory of specific classes of structures. Abstract logics assume liberalization of metalogical requirements to logical systems and lead to their interpretation as theories of formal structures of the universe. It seems worth trying to examine how more sophisticated models of reality can affect the demarcation of the bounds of logic. For example, the permutation invariance criterion may be viewed as only one extreme in a spectrum of invariance, involving various kinds of automorphisms. The invariance criterion generalized this way is wide enough to include logics of abstract objects, for example, ‘logic of color’in Wittgenstein’s sense.

Ключевые слова: абстрактная логика, инвариантность, аналитическое, логическое пространство.

Среди многообразных истолкований природы логики можно выделить две основные традиции, в равной мере восходящие к Аристотелю. Теоретико-доказательственную, связанную с пониманием логики как теории правильных рассуждений, и семантическую, трактующую логику как теорию формальных аспектов реальности, в теоретико-модельных терминах – как теорию специфических классов структур. Попытка масштабной реализации второй трактовки была предпринята, например, Э.  Гуссерлем в его проекте формальной онтологии, но реальное развитие она получает после пионерских работ А. Тарского 30-х годов прошлого века, предопределивших теоретико-модельный стиль современной логики.

По глубокому убеждению Тарского, исследование инференциального аспекта логики невозможно без теоретико-модельной

1 Индивидуальный исследовательский проект № 10-01-0005 «Формальные онтологии: от феноменологии к логике» выполнен при поддержке Программы «Научный фонд НИУ-ВШЭ»

37

семантики. Задачей логики, как полагает Тарский, является изучение дедуктивных систем. Под дедуктивной системой S в языке L он понимает множество всех логических следствий некоего множества X предложений L. Таким образом, центральным для логики оказывается понятие логического следования, которое до Тарскоготрадиционноопределялосьтеоретико-доказательствен- ным образом. Тарский же полагает, что отношение логического следования имеет семантическую природу. Под семантикой он понимает «совокупность исследований, касающихся таких понятий, которые, говоря огрублено, выражают некоторые связи между выражениями языка и теми объектами и положениями дел, к которым они относятся» [22, р. 401]. Точным образом отношение логического следования в терминах теории моделей определяется Тарским, как известно, так: предложение Х логически следует из предложений класса К, если и только если каждая модель класса К является также моделью предложения Х.

В 60-х – 70-х годах прошлого века под влиянием теоретикомодельных идей Тарского формируется обобщенная (абстрактная) теория моделей, центральным понятием которой является понятие абстрактной логики. Абстрактной логикой называется любая совокупность, состоящая из класса изоморфных структур, класса формальных выражений некоторого языка и отношения выполнимости между ними [15, р. 4]. Абстрактные логики, само определение которых не включает каких-либо теоретикодоказательственных понятий, тяготеют к теоретико-модельному подходу, почти полностью абстрагирующемуся от теории доказательств. Дело в том, что первым и самым потрясающим результатом абстрактной теории моделей стала доказанная уже в 1969 году теорема Линдстрёма, согласно которой логика первого порядка является единственной логикой, замкнутой относительно &, , и удовлетворяющей теоремам компактности и Лёвенгейма – Сколема. Иначе говоря, если некая логика L является расширением элементарной логики (логики предикатов первого порядка) и обладает свойствами компактности и Лёвенгейма – Сколема, то L эквивалентна элементарной логике. Таким образом, любые обобщения элементарной логики ведут к утрате по крайней мере одного из указанных металогических свойств. Что означает отсутствие дедуктивной полноты и/или компактности

38

для логической системы? В логике L, не обладающей свойством компактности, должно существовать предложение ϕ, которое, являясь следствием множества предложений Ф языка логики L, не является следствием никакого конечного подмножества Ф. Иначе говоря, это означает, что отношение логического следования между ϕ и Ф не может быть установлено в конечное число шагов. Полнота L означает, что любое общезначимое в L предложение в принципе может быть известно как общезначимое, строгая полнота (полнота и компактность) – что в принципе могут быть известны все следствия предложений L. Поэтому логика, не обладающая свойствами полноты и/или компактности, не может рассматриваться как приемлемая теория дедукции.

Развитие обобщенной теории моделей, обеспечивающей тео- ретико-модельное обоснование для целого семейства абстрактных логик, неэквивалентных элементарной, способно спровоцировать глобальный методологический скептицизм в отношении правильности того пути, по которому повел логику Тарский. Не привело ли последовательное развитие установки Тарского на принципиальную недостаточность для логики теории доказательств к постепенной элиминации этой теории из логики, превратившейся в теорию структур, инвариантных относительно изоморфных преобразований? И – тем самым – к сближению логики с математикой в полном соответствии с тезисом Тарского, согласно которому только те свойства классов индивидов могут быть названы логическими, которые касаются кардинальности этих классов, и «наша логика есть логика кардинальности» [23, р. 151]? Обращение к идеям классика российской семантической школы – Елены Дмитриевны Смирновой послужит в этой статье методологическим базисом для критического анализа истоков скептицизма в отношении семантических методов обоснования логических систем и, надеюсь, его преодоления.

В своих работах Е.Д. Смирнова неоднократно подчеркивает необходимость «четко различать вопросы обоснования формальных,логистическихсистем(это,вконечномсчете,вопросыдоказательства адекватности этих систем относительно построенной семантики, то есть вопросы доказательства непротиворечивости и полноты) и вопросы обоснования определенных типов логик, определенных систем рассуждений» [11, с. 269]. Иначе говоря,

39

вопрос обоснования логических систем – допускаемых фигур заключения отделяется от вопроса их формализации – репрезентации в формальных логических исчислениях (см. [13, с. 254]). «Стиль мышления в логике, типы логических систем, – пишет Е.Д. Смирнова, – определяются способом анализа логической формы. Логические законы и логические структуры не есть прямое, «зеркальное» отражение природных связей и отношений вещей. Их выявление предполагает поэтому определенную систему категориального анализа в логике, выделение той или иной системы семантических категорий» [11, с. 214]. Выделение системы семантических категорий коррелятивно принятию определенных онтологических предпосылок. Чем же, в свою очередь, детерминирован выбор той или иной онтологии для целей логики?

Логика может рассматриваться, на мой взгляд, как теория формальных аспектов универсума – формальная онтология. Многообразие логик как формальных онтологий обусловлено допустимостью различных экспликаций фундаментальной интуиции формальности, среди которых можно выделить по крайней мере три. Формальность теории может быть истолкована как её универсальность (Г. Фреге), онтологическая нейтральность (У. Куайн) или инвариантность относительно изоморфных преобразований (А. Тарский). Последнее означает, что данная теория не различает индивидные объекты и характеризует лишь те свойства моделей, которые не зависят от их неструктурных модификаций. Та или иная экспликация формальности влечет выбор определенной системы семантических категорий, специфических принципов демаркации логических и нелогических терминов, трактовку логических терминов либо как синкатегорематических, либо как обозначающих выражений и, наконец, приписывание определенной интерпретации логическим терминам в случае выбора второй альтернативы. В последнее время получен ряд точных результатов, подтверждающих зависимость класса логических терминов от принимаемой экспликации формальности. Как свидетельствует, например, результат В. Макги, класс логических операторов, удовлетворяющих критерию инвариантности Тарского, в точности совпадает с классом операторов, определимых в бесконечном языке L∞,∞, допускающем

40