Логическая семантика (сборник статей)

характеризующих класс доказуемых выражений языка теории (теорем) и множество выводимостей (при синтаксическом варианте построения). Таким образом, неклассические философские логики изначально развивались как строгие символические теории, снабженные сложным математическим аппаратом.

В последовавшие за этими революционными изменениями годы логика бурно развивалась. Возникали новые сферы применения и новые направления — нечеткая логика, немонотонная логика, динамическая логика, логика квантовой механики и т.п. Все более и более усложнялся формальный аппарат логики, постепенно менялась и проблематика исследований. Так, модальная логика, ведущая свою историю еще от аристотелевской модальной силлогистики и изначальная представлявшая собой классическийобразецчистофилософскойлогики,вконцеXXвекаприобретает новые черты благодаря расширяющимся применениям в сфере computer scienсe. В середине 70-х годов появился даже специальныйтермин«продвинутаямодальнаялогика»(advanced modal logic) для обозначения современных исследований в сфере модальной логики, тесно связанных с развитием математики

икомпьютерных наук, в первую очередь направленных на проблему разрешимости и сложности. Другой подобный пример той же тенденции дает многозначная логика, эволюционировавшая от моделирования аристотелевского опровержения логического фатализма в сторону изучения алгебраических структур, моделирования экспертных систем и формализации нечеткой теории множеств.

Итак, к концу XX столетия неклассические логики, исходно мылившиеся как аппарат философской логики, стали чрезмерно сложны и математизированы для философского применения

ипараллельно (что вполне естественно) потеряли изначальную направленность на решение философских проблем. Эти изменениянемоглинесказатьсянапониманиипредметалогики.Важно отметить, что этот последний процесс как раз и состоял в некотором отвлечение от чисто философских проблем, которые, вызвав неклассическую логику к жизни, оказались в определенном смысле внешними по отношению к ней (поскольку были в большинстве своем поставлены в рамках более широкого философского дискурса). Не будет преувеличением сказать, что современ-

111

ное состояние логики сможет быть охарактеризовано как утрата определенности.

Сами логики, признавая наличие своеобразного кризиса, интерпретируют происходящее по-разному. ТакГ. фон Вригт в своем выступлении на IX Международном конгрессе по логике (1991, Швеция) отмечал, что «с логикой случилось то, что она расплавилась в разнообразных исследованиях математики» и выражал сомнения в том, что «логика будет продолжать играть ту решающую роль в целостной философской картине эпохи, которую она играла в нашем столетии» [2]. Еще одним аргументом в пользу текущих изменений в представлениях о логики может служить включение в Handbook oftheLogicofArgumentandInferenceспециальнойглавыподназва-

нием «Внутренняя критика: Логика не является теорией рассуждений, а теория рассуждений не является логикой» [19].

Отечественные логики и философы также не остались в стороне от обсуждения путей развития философской логике в грядущих веках. Один из полюсов в распределение мнений занимает позиция Б.А. Кулика. «К концу XX столетия проблема связи логики и мышления оказалась на задворках науки, и это обстоятельство стало одной из главных причин потери интереса общества к логике. Логика постепенно превратилась в рыхлую совокупность замкнутых и самодостаточных языков для переписки между специалистами» [10]. Принципиально противоположную позицию занимает А.С. Карпенко, опубликовавший целый ряд статей, посвященных той же проблематике [5], [6], [7], [8], [9]. «Приходится констатировать, что конец века и конец второго тысячелетия, а именно 1994 г. стал той критической точкой, когда под неимоверным давлением окончательно рухнула конструкция под названием «классическая логика”» [5, с. 148-158]. «Основной вывод на сегодня таков: законы логики есть не что иное как законыалгебры....Однаконетолькоматематическоеразвитиелогики,ноивнекоторойстепенифилософскоеразвитиелогикипоказывает, что нет больше законов мышления, отличных от законов алгебры» [7]. Наконец, рассматривая тенденции увеличения степени абстракции в трактовке предмета логики, А.С. Карпенко отмечает, что современная логика изучает «не рассуждения, не их отдельные классы, не те или иные аргументы, а доказательства как формальные объекты» [9, с. 149-171].

112

Поисками ответов на поставленные проблемы объясняется и тот факт, что постепенно исследовательский интерес склоняется

кобобщению и классификации полученного множества «логик»,

кпопыткам установления связей и отношений между разными логическими теориями, иногда даже сформулированным в разных языках. В этом отношении особенно показательны работы В.А. Смирнова [11], [12], достаточно рано уловившего отмеченную тенденцию, а также уже упоминавшийся цикл статей А.С. Карпенко. Кроме совершенно очевидного желания навести, наконец, логический порядок, за этой тенденцией усматривается и более серьезное стремление найти ответ на вопрос, что же представляет собой сегодня философская логика, каков ее предмет, какое место она занимает в ряду так называемых наук о мышлении. В ходе таких исследований зачастую не только обобщаются и классифицируются ранее построенные логики – происходит своеобразный синтез, приводящий к появлению принципиально новых обобщенных логических теорий с нетривиальными свойствами. При этом старые, хорошо известные и стандартно определяемые логические понятия проявляются в новом свете, открываютсебяснеожиданнойточкизрения,котораябылапросто невозможна в рамках традиционного подхода. Именно так обстоит дело с понятиями истинностного значения и логического следования, которые благодаря построению новых обобщенных моделей рассуждений на основе семантического построения релевантной логики обрели совершенно новое прочтение в исследованиях последних лет.

2.Обобщенноелогическоеследование

Отношение логического следования традиционно является одним из центральных объектов исследований в сфере философской логики. Как отмечает С. Вольфрам, определяя предмет философской логики, «можно констатировать, что она изучает рассуждения (arguments), смысловое значение (meaning) и истину» [27, p. 1]. При этом зачастую возникает вопрос о множественности трактовок следования, в зависимости от принимаемых предпосылок онтологического или гносеологического характера. В отечественной традиции впервые на такую возможность

113

указывал Е.К. Войшвилло в работе 1978 года, когда писал: «меняя эти предпосылки, то есть понятия о.с. [описания состояния] и только, [получаем] спектр систем с различными отношениями следования»[1].ЕщедальшепродвинуласьЕ.Д.Смирнова,предложившая более 20 лет назад1 обобщенный подход к определению логического следования. В 90-х годах очень близкие идеи овладевают умами западных исследователей, что приводит к возникновению самостоятельного и плодотворного направления в философской логике, которое может быть названо «логическая многозначность».

Понятие логической, или инференциальной, многозначнос-

ти (logical many-valuedness, inferential many-valuedness) было введено Г. Малиновски [21] в связи с анализом тезиса Сушко. Позднее в контексте философско-логического анализа природы истинностных значений в логике Х. Ванзинг и Я. Шрамко [26] обобщили это понятие следующим образом. «Логика называется логически k-значной, если существует язык, в котором определены k попарно различных отношений логического следования». Следует отметить, что чуть раньше аналогичное понятие, но для двух отношений логического следования в рамках одной логики рассматривает А. Бохман [16]. Он вводит понятие би-следования (би-выводимости) как обобщения двух отношений следования для двух контекстов рассмотрения: контекста истинности и контекста ложности. В контексте истинности высказывание оценивается как истинное или неистинное, а в контексте ложности – как ложное или неложное. Такой подход к анализу естественных, в томчислеаргументативных, рассужденийестественно укладывается в четырехзначную интерпретацию, знакомую по логике первоурвоневого следования Н. Белнапа. Возвращаясь к идеям Ванзинга и Шрамко, можно констатировать, что их подход является более общим по сравнению с вариантом Бохмана.

Возможность задания нескольких независимых отношений логического следования возникает в многозначных логиках, представимых матричным образом. Пусть в нашем распоряжении имеется непустое множество значений V, в котором выде-

1 Впервые эти идеи были высказаны на теоретическом семинаре кафедры логики, а наиболее ранее известное мне их систематическое изложение можно найти в работе [13].

114

лено специальное непустое подмножество D, понимаемое как множество выделенных значений, а также множество F пропозициональных функций, соответствующих стандартному набору связок. Тогда стандартное определение логического следования принимает следующий вид:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.

Γ ╞ B v ( A Γ (v(A) D)) (v(B) D)).

Вэтом обобщенном определении множество выделенных значений интерпретируется как множество значений типа «истинно».

Пусть теперь исходное множество значений V содержит два непустых подмножества: множество выделенных значений D+

имножество анти-выделенных значений D–. Структура <V, D+, D–, F>, известна как n-значная q-матрица (квази-матрица)1, представляющая собой обобщение стандартной логической матрицы для многозначной логики.

Возникает вполне естественный вопрос об отношениях между множествами D+ и D–. Если множество V представляет собой классическое двухэлементное множество {и, л}, то очевидно, что множества выделенных и анти-выделенных значений не пересекаются, а их объединение исчерпывает множество V, то есть выполняются условия:

(I) D+ ∩ D– = ; (II) D+ D+= V .

Таким образом, сохранение истинности от посылок к заключениюоказываетсяравносильносохранениюложностиотзаключения к посылкам, что в свою очередь, равносильно требованию несовместимости истинности посылок и ложности заключения.

Вслучае трехэлементного множества значений (например, множествазначенийтрехзначнойлогикиЛукасевича)ужевозможнынекоторые вариации отношений между выделенными и анти-выделен- нымизначениями.Сразужеисключимизрассмотрениятривиальные случаи,когдамножествовыделенныхзначенийявляетсяподмножес- твоммножестваанти-выделенныхзначений,инаоборот.

Во-первых, возможен вариант выполнения условий (I) и (II), когда одно из множеств D+ или D– является двухэлементным, а

1См [22].

115

второе представляет собой его дополнение. Другими словами, «ложно, значит неистинно» и наоборот.

Во-вторых, возможен вариант, при котором оба множества D+ и D– оказываются одноэлементными. Тогда (в нетривиальном случае) они не пересекаются, то есть выполняется условие (I), но очевидно не исчерпывают исходное множество значений. Следовательно, условие (II) нарушено.

В-третьих, когда оба множества содержат по два элемента, также очевидно не выполняется условие (I), но выполняется условие (II).

Более того, оказывается, что невыполнение одного условия влечет выполнение другого, то есть для трехэлементного множества V не возможен случай, когда нарушены оба условия (I) и (II)!

Наибольший интерес представляет рассмотрение множества V,содержащегочетыреиболееэлемента.Здесьвозможнывсечетыре варианта сочетаний выполнения/невыполнения условий (I) и (II). Это позволяет ввести целый спектр попарно независимых отношений логического следования, в определениях которых используются требования сохранения выделенного значения (от посылок к заключению), сохранения анти-выделенного значения (от заключения к посылкам) и запрета перехода от (анти)-выде- ленного значения к выделенному (анти-выделенному).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.

1). ∆ ╞ q B v ( A ∆ (v(A) D–)) (v(B) D+)) q-entailment – квази-следование Малиновского.

2). ∆ ╞ t B v ( A ∆ (v(A) D+)) (v(B) D+)) t-entailment – t-следование Ванзинга и Шрамко.

3). ∆ ╞ f B v (v(B) D–)) ( A ∆ (v(A) D–)) f-entailment – f-следование Ванзинга и Шрамко.

4). ∆ ╞ p B v (( A ∆ (v(A) D+)) (v(B) D–)) p-entailment (от английского plausibility) –

правдоподобное следование Франковского1.

5). ∆ ╞ tf B v ( A ∆ (v(A) D+)) (v(B) D+)) & (v(B) D–)) ( A ∆ (v(A) D–))

tf-entailment – tf-следование Ванзинга и Шрамко.

1См. [18].

116

Более того, согласно результату Л. Девяткина из [3], для множеств пар < Γ, B > таких, что Γ ╞ х B, где х есть p, t, f, q (далее для таких множеств используется символ Σx), имеет место следующее упорядочение, выраженное диаграммой Хассе, иллюстрирующей отношение включения между соответствующими множествами:

Ȉp

Ȉf Ȉt

Ȉq

Рис. 1. Диаграмма следований

Возвращаясь к идеям Е.Д. Смирновой, можно предложить следующую реконструкцию предложенного ею подхода в более современной нотации.

Пустьφt –функция,приписывающаякаждойпропозициональ- ной переменной множество H+, а φf – функция, приписывающая каждой пропозициональной переменной множество H− такие, что H+ H− = W, где W представляет собой универсум рассмотрения – исходное множество возможных миров, положений дел, ситуаций и т.п. Можно сформулировать следующие условия:

Очевидно, что эти условия так же, как и (I) и (II), могут соблюдаться или не соблюдаться в любых сочетаниях. Далее для обозначения соответствующих фактов используются символы I* II*, I* II*, I* II*, I* II*.

Вводятся шесть типов отношений логического следования между формулами.

117

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.

(a) A ╞a B φt (A) φt (B);

(b) A ╞b B φf (B) φf (A);

(c) A ╞c B φt (A) φt (B) и φf (B) φf (A);

(d) A ╞d B φt (A) ~φf (B); (~ символ Булева дополнения)

(e) A ╞e B ~φf (A) φt (B);

(f) A ╞f B (φt (A) ∩ φf (B)) (φt (A) φf (B)).

Для каждого из отношений логического следования рассматриваются случаи I* II*, I* II*, I* II*, I* II* и соответствующие им первоуровневые фрагменты логических систем. В качестве иллюстрации приведем некоторые из них.

I* II*. (Выполнены оба условия (I)* и (II)*).

Отношения (a) – (f) совпадают, им соответствует классическая логика (TV).

I* II*. (Выполнено условие (I)*, но не выполнено (II)*).

(a)Логика Клини (K)

(b)Логика парадокса Приста (LP);

(c)Логика Луксевича (Ł), или совпадающей с ней первоуровневый фрагмент логики RM;

(d)(d)=(f) (TV);

(e)Пустая логика ( ).

В более общем виде все возможные сочетания определений отношения следования и предпосылок I* и II* могут быть представлены в следующей таблице:

Рис. 2. Таблица сочетаний

Интереснозаметить,чтоврезультатевсехвозможныхсочетаний варьирования предпосылок и определений логического следования

118

получается ровно пять типов отношений следования, понимаемых как пары в смысле Σx Девяткина, и соответствующих первоуровневым (конъюнктивно-дизъюнктивно-негативным) фрагментам

1.логики Клини (K),

2.логики парадокса Приста (LP),

3.классической логики (TV),

4.логики Лукасевича (Ł),

5.релевантной логики (FDE).

Естественным образом возникает вопрос: действительно ли, при варьировании предпосылок и определений следования, возможные варианты систем ограничены указанными пятью ука- заннымивышевозможнымиисходами,иликакой-товариантбыл упущен? Насколько случайным является тот факт, что вариативность логических систем ограничена числом 5?

Оказывается,чтоответнавсеэтивопросыможетбытьнайден в известной статье М. Дана 2000 года [16]. Данн рассматривает функции приписывания истинностных значений, которые могут быть не всюду определенными (отсутствие и t- и f-приписыва- ния) или «переопределенными» (пресыщенными – одновременное приписывание и t и f). Для четырехзначной семантической логики (в которой естественно допускаются все сочетания выполнения и невыполнения условий I* II*) доказывается результат, зафиксированный в теореме 12 [16, p 15]. Ниже он приводится из соображений удобства в терминах данной работы.

• Логика Клини (К) соответствует

o определению следования типа а) (Смирнова) или 2) (Шрамко&Ванзинг) в случае не всюду определенной функции оценки – I* II*,

o определению следования типа b) (Смирнова) или 3) (Шрамко&Ванзинг) в случае «переопределенной» (пресыщенной) функции оценки – I* II*;

• Логика парадокса Приста (LP) соответствует

o определению следования типа а) (Смирнова) или 2) (Шрамко&Ванзинг) в случае «переопределенной» (пресыщенной) функции оценки – I* II*,

o определению следования типа b) (Смирнова) или 3) (Шрамко&Ванзинг) в случае не всюду определенной функции оценки – I* II*;

119

• Логика Лукасевича (Ł) соответствует определению следования типа c) (Смирнова) или 4) (Шрамко&Ванзинг) в обоих случаях нестандартной оценки.

Еще раньше в той же статье (Proposition 6, p. 11) Данном устанавливается, что в трехзначной логике (характеризующейся, как мы видели выше, только случаями I* II*, I* II*, I* II*) возможно ровно три варианта логик – K, LP и Ł. В сочетании с хорошо известным утверждением о том, что в случае использования и не всюду определенных и «переопределенных» (пресыщенных) функций оценки определения следования a)-c) (Смирнова) и 2)-4) (Шрамко&Ванзинг) совпадают, а аксиоматизацией класса валидных рассуждений является логика FDE, перечисленные результаты дают исчерпывающий ответ на поставленные вопросы.

Таким образом, все возможные варианты аксиоматизации отношений следования при любых предпосылках дают ровно пять первоуровневыхфрагментовизвестныхлогик.Другихвариантов просто не может быть!

3.Обобщенныезначения

В2005 году Я. Шрамко и Х. Ванзинг в работе [24] предложили естественное обобщение четырехзначной логики Белнапа для моделирования рассуждений в сети «белнаповских» компьютеров, тем самым анонсировав новую перспективную программу исследований.

Воснове проекта «полезной 16-тизначной логики для компьютерной сети» лежат достаточно прозрачные интуитивные соображения, позволяющие продолжить обобщение понятий истинностного значения и логического следования в духе М. Данна и Н. Белнапа. Подробно эти соображения изложены в целой серии работ Я. Шрамко и Х. Ванзинга, поэтому уместно будет ограничиться кратким экскурсом в тему.

Хорошо известно, что для обоснования своей четырехзначной логики Белнап использовал метафору рассуждающего компьютера. Источники компьютера – люди или другие (обычные) компьютеры – снабжают компьютер Белнапа информацией. При этом четыре получившихся полезных значения логики бел-

120