Логическая семантика (сборник статей)

рующихся в зависимости от принятых семантических предпосылок.

Тщательное отслеживание этих предпосылок, абстракций и идеализаций, лежащих в основании того или иного способа спецификации логической формы, – постоянная забота Елены Дмитриевны Смирновой, приучившей и своих учеников к строгой дисциплине семантической рефлексии. Ведь именно рефлексия деятельности по построению упорядоченной системы знания, закрепленной в языке, позволяет провести теоретическую демаркацию аналитического и синтетического, априорного

иапостериорного, формального и неформального, логического

инелогического, наконец.

Объединенные в этом сборнике статьи были отобраны по разным основаниям. Во-первых, большая часть из них представляет собой расширенные и доработанные варианты выступлений на круглом столе, приуроченном к юбилею Е.Д. Смирновой и проходившемврамкахмеждународнойнаучнойконференции«Шестые Смирновские чтения по логике» (Москва, 2009). Во-вторых, значительная часть статей этого сборника написана учениками и учениками учеников Елены Дмитриевны, продолжающими и развивающими заложенные ею традиции логико-философских семантических исследований. Два этих изначальных множества вполне ожидаемо пересекаются, но не исчерпывают универсума проблематики логической семантики и философской логики, поэтому мы, ответственные редакторы сборника и его составители, посчитали возможным расширить «топологию участников» работаминаиболееавторитетныхисследователей,восполняющими эти тематические пробелы и лакуны.

Наконец,чтожеэтозаюбилейныйсборникбезстатейюбиляра! ТемболеечтоЕленаДмитриевнаСмирновапродолжаетактивную научную деятельность, представляя своим научным творчеством строгое доказательство по индукции «к следующему за» на расширяющемся множестве своих публикаций, что акме настоящего большого философа-логика, придя однажды, уже никуда не уходит. Приятного, полезного и интересного вам чтения!

Е.Г.Драгалина-Черная, Д.В.Зайцев

11

Литература

1.Russel B. Our Knowledge Of The External World: As A Field For Scientific Method In Philosophy (1914), Kessinger Publishing, 2010.

2.Пирс Ч.-С. Рассуждение и логика вещей. – М.: РГГУ, 2005.

3.Смирнова Е.Д. Обобщающий подход к построению семан-

тики и его роль в обосновании логических систем. – Наст. издание.

4.Тарский А. Семантическое понятие истины и основания семантики // Аналитическая философия: становление и развитие. М.: Дом интеллектуальной книги, 1998, с. 90 – 129.

5.Фреге Г. Логика и логическая семантика. – М.: Аспект Пресс, 2000.

12

Семантика, онтология и обоснование логики

13

Е.Д. Смирнова

Обобщающийподходкпостроениюсемантики иегорольвобоснованиилогическихсистем*

Generalized approach to construction of semantics is proposed and its basic principles are considered. The generalization is carried out: 1) along the line of ascription of values to propositional variables; 2) along the line of explication of truth predicate and, accordingly, revision of Tarski’s scheme. Semantics of different types are grounded and foundations of logical systems are considered. The approach gives a key to analysis of intensional contexts (their peculiarities) and defines an ascription of values to intensional signs. Explication of conditions for truth-values of sentences is given on the basis of introduction of domains of propositions and indeterminate propositions. Non-standard approach to analysis of Liar Paradox is proposed where certain aspects of coherent conception of truth may be taken into account.

Ключевые слова: логическая семантика, парадоксы, интенсиональные контексты, индетерминированные высказывания, логические системы, логическое следование, принципы логики

В свое время А. Тарский поставил вопрос о возможности построениятеоретическойсемантики,опутяхвведениясемантических понятий точным и строгим образом [11]. Разработка нестандартного, обобщающего подхода к построению семантики идет в этом русле, но ставится задача охвата и обоснования гораздо более широкого круга логических систем.

Возникновение логических систем самого разного типа остро ставит вопрос их обоснования. Предлагаемый подход к построению теоретической семантики является обобщающим потому, что дает основания для построения семантик различного типа. С такого рода семантиками непосредственно связаны вопросы обоснования логических систем, выявление их методологических посылок.

Я различаю вопрос обоснования формальных, логистических систем (построение соответствующих, адекватных семантик) и

* Работа выполнена при поддержке РГНФ, грант № 09-03-00158а.

14

вопросы обоснования логики – допускаемых способов рассуждения. Рассмотрение второго рода вопросов идет в русле того, что называют «методологическим вызовом в логике».

Следуетотметить,чтоужеГ.Фрегеразличалвопросыобосно­ вания формальных систем – «представление логики в виде формул» и обоснование типов логических рассуждений. Когда ему указывали на то, что уже Дж. Буль представил логику в виде формул, Фреге отвечал, что его задача отнюдь не в этом. И хотя именно Буль применил к логике математические, алгебраические, методы, его подход в принципе, в своих основаниях, ближе к традиционному, аристотелевскому методу. Ибо оба они начинают анализ с понятий (с объемов понятий), устанавливая определенные отношения между ними.

Сопоставляя свой подход в Begriffschrift с булевой «вычислительнойлогикой»,Фрегеподчеркивал,чтовопросневтом,«какой из двух формальных языков предпочтительнее». Суть дела заключаетсявтом,чтоуАристотеля,какиуБуля,«образованиепонятий черезабстракциюявляетсяисходнойлогическойдеятельностью,а сужденияиумозаключенияполучаютсяпутемнепосредственного или опосредованного сравнения понятий по объему» [12, р. 180].

Иной метод анализа применяет Г. Фреге. Он начинает анализ с высказываний ипроизводитчленениеихсовсемпоинойсхеме–по схеме:функториегоаргументы.ВосновесемантикиФрегележатне объемыпонятий(классы),атакиесущности,какфункцииипредметы (предмет при этом понимается широко – как объект рассмотрения). Так возникает классическая логика – логика высказываний и логика предикатов и обосновываются способы рассуждения в них.

В предлагаемом ниже подходе обобщение идет по двум линиям:

1.по линии приписывания значений пропозициональным переменным, т.е. по линии интерпретации предложений;

2.по линии пересмотра и экспликации предиката истинности и, соответственно, пересмотра схемы Тарского.

Традиционная трактовка значений пропозициональных переменных опирается на вполне определенную методологическую установку. Нынешние значения t и f (и и л), приписываемые предложениям, – это не что иное как фрегевские das Wahre и das

15

Falsche.Ночтоонисобойпредставляют?Ситуации.Предложения выступают как насыщенные, завершенные и в этом смысле десигнативные – наделенные смыслом и значением – выражения.

Принцип взаимозаменимости предполагает, что при замене составляющего выражения α на тождественное ему по значению β значение целого не изменяется. (Известные примеры: «Утренняя звезда суть Венера», «Вечерняя звезда суть Венера»). Смысл высказывания, выражаемая им мысль, изменяются. Но заменялись тождественные по значению выражения, следовательно, значение целого сохраняется, т.е. – положение дел, репрезентируемое предложением. Но если отвлечься от смысла предложения, что остается от репрезентируемой ситуации? Остается толькото,чтоэтоналичествующаяситуация(«позитивный»факт) или неналичествующая («негативный» факт). Это фактически и есть фрегевские das Wahre и das Falsche – объекты рассмотрения

(абстрактныеситуации),анепредикатыистинностиилиложнос-

ти. (Не случайно наличие артикля das – мы имеем дело с существительными.) Как в ситуации с известным чеширским котом: сам кот исчез, осталась одна улыбка. Так и конкретная ситуация, репрезентируемая предложением, исчезает, остается лишь параметр ее наличия (или отсутствия). Так формируются методологические основания логики высказываний и логики предикатов – возникают функции, задаваемые на абстрактных объектах – t и f.

Вторая линия подхода связана, как отмечалось, с обобщением схемы Тарского. В известной схеме Тарского истинность, истинностная оценка высказываний выступает как предикат: X Ист ≡ р. Какова же трактовка предиката истинности в схеме?

Схема представляет собой экспликацию понятия истинности, взятого в рамках теории корреспонденции. Предложению Х приписывается предикат истинности е.т.е. в действительности имеет место положение дел, задаваемое предложением р.

На базе понятия истинности, отвечающего схеме Тарского, получены блестящие результаты в семантике и методологии дедуктивных наук1. Однако с этим понятием сразу связан, с нашей точки зрения, ряд трудностей.

1 Упомянем только известную теорему Тарского о неопределимости понятия истинности (истинного высказывания) системы S в самой системе S. Или введение важнейшего понятия – семантической определимости, связан-

16

Во-первых, схема задается для изолированного предложения – вне какого бы то ни было контекста.

Далее – вне учета условий реализуемости ситуации, задаваемой предложением р, условий ее достижения или проверки. Соответственно, без учета субъекта, выражающего суждение, его установок, знания и т.п.

Учет этих моментов с необходимостью ведет к включению в рассмотрение определенных аспектов когерентной концепции истинности. Так, идеальные высказывания Д. Гильберта получают свой смысл лишь в контексте всей теории [1, с. 356–358].

Наконецвозникаетвопрострактовки«действительности»вслучае анализа предложения р. Предложение р задает ситуацию, «верифицирующую» рассматриваемое предложение Х (задаваемую смыслом этого предложения). Но предложения могут быть разного типа, начиная с предложения Лжеца и включая в рассмотрение такие предложения как «Гамлет черноволос», «Нынешний король Франции лыс» или упомянутые «идеальные высказывания» математики. Каков смысл, условия истинностных оценок такого рода высказываний и какова отвечающая им «действительность»?

Отметим,чтовслучаезадаваемыхсхемойусловийложь(ложность) трактуется как просто отрицание истинности.

Рассматриваемое нами обобщение предполагает использование идеи семантик возможных миров как предпосылки. Пропозициональным переменным приписываются не объекты t и f

(упомянутые das Wahre и das Falsche), как обычно, а области.

Мы тем самым в некотором смысле переходим к «интенсиональной онтологии», если говорить в терминах У. Куайна.

Вслучаеразличноготипавысказыванийвкачествемножества возможных миров – W могут приниматься самого разного типа условия (состояния знания или установки субъекта, миры определенных постулатов или миры, связанные между собой или с исходным миром определенными отношениями).

Пусть ϕ – функция, приписывающая пропозициональным переменным области и антиобласти. ϕT(p) W – это класс миров, в которых р истинно (область предложе-

ного с экспликацией выразительных возможностей языков с теорией; см. [3,

гл. III, § 3–4].

17

ния), а ϕF(p) W – это класс миров, в которых р ложно (антиобласть предложения). ϕT(p) – это фактически условия, верифицирующие предложение, а ϕF(p) – условия, фальсифицирующие, опровергающие, предложение. Тем самым возникает возможность учета определенных аспектов когерентной концепции истинности. Более того, при таком приписывании намечаются возможности выхода на интенсиональные семантики.

Понятие истинности релятивизируется относительно области высказывания, относительно условий его принятия или отбрасывания.

Истинность высказывания определяется следующим образом: А истинно в мире w (относительно приписывания значений

фальсифицирующих (опровергающих) условий ϕF(А). Соответственно, меняется схема Тарского: условием, верифи-

цирующим предложение А в схеме, выступает w ϕT(А).

Не только пересматривается схема Тарского, но при данном подходе можно ввести следующие понятия истинности: 1) А

4) А слабо истинно в мире w при ϕ, е.т.е. А истинно или А не ложно. Очевидно, что если имеет место 1), то имеет место и 2) и 3), если имеет место 2) или 3), то имеет место 4) [6].

Логическиесвязкисоответственновводятсяобобщающимобразом: задаются не на истинностных значениях t и f, а на областях.

Введем условия приписывания значений сложным формулам:

Все введенные связки, как можно видеть, являются сильными связками трехзначной клиневской логики.

Предложение А – тавтология, если и только если ϕ(ϕT(А) = W). И А – неопровержимо, если и только если ϕ(ϕF(А) = ). В

18

универсуме мировW(принимаемых во внимание обстоятельств) нет опровергающих предложение обстоятельств. Предложение

А – опровержимо, если ϕF(А) ≠ .

Далее, области и антиобласти высказываний вводятся независимым образом (что, в сущности, предполагает пересмотр отношений между истинностью и ложностью). Соответственно, между ними могут устанавливаться отношения разного типа. Так, в частности, могут приниматься или не приниматься усло-

вия (1) и (2)1:

(1) ϕT(p) ∩ ϕF(p) = и (2) ϕT(p) ϕF(p) = W.

Отношения между областями и антиобластями детерминируют определенные типы семантик. Если приписываются оба условия

(1)и (2), то мы имеем стандартную семантику; при принятии (1) и

отбрасывании (2) – т.е. (1) и (2 ) – семантику с истиннозначными провалами (gap); при принятии (2) и отбрасывании (1) – т.е. (1) и

(2)–двойственнуюейсемантикуспресыщенными(glut)оценками. Наконец, отбрасывание (1) и (2) дает нам релевантную семантику.

Всвою очередь типы семантик определяют классы

тавтологий и неопровержимых формул (и отношения между ними). Так, если принимается условие (1) и отбрасывается (2) – семантика с истиннозначными провалами – класс тавтологий пуст, а класс неопровержимых формул совпадает с классическими тавтологиями. Так, (А ~А) не является тавтологией –

ϕT(А ~А) ≠W, но (А ~А) неопровержима: ϕF(А ~А) = . Если (1) и (2), то класс тавтологий совпадает с классическим, а класс

неопровержимых формул пуст и т.д., см. [3, гл. V,§ 2] Введение областей и антиобластей и отношений между ними

ведет в пересмотру отношений между истинностью и ложностью, изменяет трактовку центрального понятия – понятия логического следования также. Ложь (ложность) в общем случае не выступает как отрицание истинности высказывания: A F ≡/ A Tr.

Мырассмотрелифактическипостроениесемантики языка на базе обобщающего подхода. Перейдем теперь к вопросу обоснования логических систем на этой основе.

1 В принципе могут рассматриваться и иные отношения между областями и антиобластями и соответствующие им логические отношения. См., напр., диссертацию О. Невдобенко «Отношение следования и нестандартные семантики», 2000.

19

Семантика не детерминирует логическую систему, если не определено отношение логического следования (или общезначимости). На базе построенной семантики задается не одно, а целый класс отношений логического следования [3, гл. V, § 2]. Выделим шесть таких отношений. Дополнение к классу ϕT(А) обозначим ϕT(А)’, аналогично ϕF(А)’.

[a] ϕT(A) ϕT(B) [b] ϕF(A)’ ϕF(B)’

[c] ϕF(A)’ ϕT(B), т.е. ϕF(A) ϕT(B) = W [d] ϕT(A) ϕF(B)’, т.е. ϕT(A)∩ϕF(B) = φ [e] ϕT(A) ϕT(B) и ϕF(B) ϕF(A)

[f] ϕT(A)∩ϕF(B) ϕF(A) ϕT(B)

Если принимаются допущения (1) и (2), то все введенные отношения логического следования оказываются эквивалентными.

Заметим, что следования вводятся н е з а в и с и м о от усло-

вий (1) и (2).

Различные системы логики, допустимые в них рассуж-

дения определяются отношениями логического следования и ус-

ловиями (1) и (2) (зависят от условий принятия и отбрасывания высказываний).

Так, если принимаются условия (1)(2):

для отношения следования [a]: ϕT(А) ϕT(В) modus ponens имеет место, теорема дедукции – не имеет;

для отношения следования [b]: ϕF(А)’ ϕF(В)’ modus ponens не имеет места, а теорема дедукции имеет;

класс отношений [c] – пуст (всюду, где есть gap – (2 ); где нет gap – принимается (2) – свойства [c] классические); [d] отвечает классике.

Так обосновываются различные системы л о г и к, допустимые способы рассуждений – на базе семантики языка и связанных с ней методологических, теоретико-познавательных допущений – прежде всего связанных с трактовкой истинности (ложности).

Вопрос обоснования логических систем – допускаемых фигур заключения, мы отделяем, как отмечалось вначале, от вопросаихформализации,т.е.репрезентациивформальных логических исчислениях. Можно рассмотреть вопросы форма-

20