§ 5. Числовые множества
Во многих вопросах математики важно уметь сравнивать различные математические объекты, в частности множества. В дальнейшем среди числовых множеств будем рассматривать бесконечные, начиная с множества натуральных чисел.
Кантор
предложил множества, состоящие из
конечного числа элементов, сравнивать
числом элементов, в них содержащихся,
а бесконечные множества по их свойствам.
Для этого он ввел понятие кардинального
числа как
свойства множества, которое остается
после отвлечения от качественных свойств
его элементов и от их порядка. Это
свойство он назвал мощностью
множества. Два множества A
и B
считаются равномощными, если после
попарного сравнения их элементов
свободных элементов без пары не осталось.
Множество, у которого остались элементы
без пары, имеет большую мощность. На
языке математики это формулируется
следующим образом: если существует
такая функция f,
что между элементами двух множеств
можно установить взаимно-однозначное
соответствие, то есть для любого
существует единственное
,
что
,
гдеA
область определения, а B
– область значений функции f,
то множества равномощны.
Если
множество A
конечно, то его кардинальное число есть
некоторое натуральное число. Другие
множества бесконечные, в частности,
объявлено, что множество натуральных
чисел бесконечно. Конечные множества
и множество натуральных чисел называются
счетными.
Характеристическим свойством бесконечного
множества является свойство быть
равномощным со своим подмножеством.
Для множества натуральных чисел само
N
и его подмножество
(множество четных чисел) равномощны. В
самом деле, зададим однозначную функциюf,
отображающую N
на N,
то есть рассмотрим пары вида
,
;
однозначность очевидна.
Множество рациональных чисел Q также счетно, а множества действительных чисел R и комплексных чисел C имеют мощность большую, чем счетное, которое называется континуум.
Если
A
множество, а
– множество всех подмножеств множестваA,
то
имеет мощность большую, чем множествоA
(теорема Кантора) 6.
Таким образом, существуют множества, имеющие мощность большую, чем континуум, но их никто пока не построил. Не ясно также, существуют ли множества, имеющие
мощность большую, чем счетное, и меньшую, чем континуум.
Далее будет полезно раскрыть понятие бесконечности в математике и описать свойства основных числовых бесконечных множеств более подробно.
Бесконечные множества
Бесконечность обычно понимается как нечто, не имеющее границы, то есть как альтернатива конечному. В математике основной интерес к бесконечности проявляется в связи с вопросом о природе бесконечных множеств как математических объектов, то есть объектов, которые можно сравнивать количественно. Но как можно сравнивать два множества, состоящие из бесконечного числа элементов каждое? При выполнении каких условий они становятся математическими объектами?
В математике установилось два понятия бесконечности – потенциальная и актуальная.
Потенциальная бесконечность обосновывает построение и существование последовательности, рядов неограниченных геометрических форм (прямая, плоскость, пространство). В сущности, потенциальная бесконечность обосновывает принцип индукции (то есть переход от натурального числа n к числу n+1) как аксиому. Ее основной недостаток в том, что она не в состоянии определить количественные отношения между «бесконечными» объектами.
Актуальная
бесконечность рассматривает «бесконечные»
объекты, как завершенные, отвлекаясь
от построения и свойств элементов
объекта. Например, в аксиоматическом
построении множества натуральных чисел
потенциальная бесконечность объявляет
потенциально существующим любое сколь
угодно большое натуральное число, то
есть имеем натуральный ряд 1, 2, …, n,
…. Объявляя натуральный ряд существующим,
актуальная бесконечность создает
математический объект – множество
натуральных чисел
.
Рассматривая направленную геометрическую прямую как множество вещественных чисел, потенциальная бесконечность объявляет любую ее точку как потенциально существующее число, а добавление к прямой чисел «–» и «+» со своими правилами действий актуальная бесконечность позволяет считать такую прямую замкнутой и рассматривать ее как существующий математический объект.
Потенциальная и актуальная бесконечность взаимосвязаны и дополняют друг друга, однако до сих пор проблема единства бесконечности в математике окончательно не решена.