![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •В.А. Павский линейная алгебра
- •Оглавление
- •Введение
- •I. Введение в линейную алгебру § 1. История развития алгебры
- •§ 2. Множества
- •§ 3. Строение множеств
- •Алгебра множеств
- •§ 4. Число Развитие
- •§ 5. Числовые множества
- •Бесконечные множества
- •Натуральный ряд
- •Множество целых чисел
- •Множество рациональных чисел
- •Множество действительных чисел
- •Множество комплексных чисел
- •Суммы и произведения
- •Приближенные вычисления
- •II. Элементы линейной алгебры § 1. Матрицы и определители 3, 7
- •Действия над матрицами
- •1. Сложение матриц
- •2. Умножение матрицы на число
- •3. Умножение матриц
- •Определитель матрицы
- •Свойства определителей
- •Вычисление определителей
- •Аксиоматическое построение теории определителей
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Элементарные преобразования матрицы
- •§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Методы решения слау
- •1. Метод Крамера
- •2. Матричный метод
- •3. Метод Гаусса
- •Однородная система линейных алгебраических уравнений (ослау)
- •§ 3. Системы линейных алгебраических неравенств
- •III. Линейные пространства
- •§ 1. Линейная зависимость
- •§ 2. Линейные комбинации. Базисы
- •§ 3. Подпространства
- •§ 4. Прямые суммы
- •§ 5. Евклидовы пространства
- •§ 6. Координатные системы
- •IV. Векторная алгебра § 1. Векторы
- •§ 2. Линейные операции над векторами
- •§ 3. Проекция вектора на ось
- •Линейные свойства проекции вектора на ось
- •Координаты вектора
- •Деление отрезка в данном отношении
- •§ 4. Базис системы векторов
- •§ 5. Скалярное произведение векторов
- •§ 6. Векторное произведение векторов 4
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •§ 7. Смешанное произведение векторов 4
- •V. Аналитическая геометрия 4
- •§ 1. Системы координат на плоскости
- •§ 2. Уравнение линии на плоскости
- •§ 3. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •§ 4. Прямая и плоскость в линейном пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Уравнение прямой в пространстве r3
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Прямая как линия пересечения плоскостей
- •Расстояние от точки до прямой
- •Угол между прямой и плоскостью
- •Угол между плоскостями
- •VI. Линейные операторы § 1. Линейный оператор
- •Векторные свойства линейных операторов
- •Умножение операторов
- •Матрицы операторов
- •Изменение базиса 3, 11
- •Подобие 11
- •§ 2. Характеристический многочлен
- •VII. Билинейные и квадратичные формы § 1. Билинейные формы
- •§ 2. Квадратичные формы
- •Приведение к каноническому виду
- •VIII. Гиперповерхности и поверхности второго порядка
- •Классификация линий второго порядка
- •Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
- •Классификация поверхностей второго порядка
- •Заключение
- •Список литературы
- •Линейная алгебра
- •650002, Г. Кемерово, ул. Институтская, 7
- •650002, Г. Кемерово, Институтская, 7
§ 6. Координатные системы
Координатные системы или системы координат – от латинских слов coordinatus – совместно, ordinatus – упорядоченный 3 (см стр. 78, 11).
При решении различных задач, возникающих из потребностей практики, часто требуется знать характеристики положения тела в пространстве, его протяженность, взаимное расположение с другими телами и т.д.
Из соображений практической целесообразности часто требуется рассматривать тело как точку на прямой, плоскости или в пространстве, а ее движение описывать вектором. Положение такой точки в пространстве можно полностью определить ее координатами относительно любого базиса, то есть упорядоченным набором чисел.
Пусть дана направленная геометрическая прямая линия (рис. III.3).
Рис. III.3.
Рассмотрим
линейное пространство L
векторов
на прямой. Зафиксируем на ней началоO
и единичный вектор
,
где
.
Положение любой точкиM
на прямой, очевидно, однозначно
определяется вектором
.
Все векторы на прямой коллинеарны,
следовательно, существует число
,
такое, что
.
Число
называется аффинной координатой. Таким
образом, каждая точка M
на прямой, в самом деле, однозначно
определяется аффинной координатой .
При фиксированной аффинной системе
координат существует однозначное
соответствие между всеми действительными
числами (числовая ось) и точками прямой
линии.
В
одномерном пространстве мы уже можем
вычислять расстояние между двумя точками
,
геометрически интерпретируя его как
длину отрезка. В самом деле, из аксиом
линейного пространства имеем
,
,
тогда
,
отсюда длина
.
Аналогично
рассмотрим плоскость, на которой
зафиксируем начало и неколлинеарные
единичные векторы
,
с общим началом, тогда получаем аффинную
систему координат (рис.III.4),
в которой любой вектор
однозначно определяется двумя координатами
,
.
Рис. III.4
Векторы
,
,
а
.
ТогдаM1
и M2
называются аффинными проекциями вектора
на оси координат
,
.
Если
,
то
,
.
Каждый базисный вектор на своей оси
образует собственную одномерную систему
координат.
Задание
упорядоченной пары чисел
однозначно определяет точку плоскости.
Следовательно, при заданной системе
координат существует взаимно-однозначное
соответствие между всеми упорядоченными
парами вещественных чисел и точками
плоскости.
Аналогично
вводится аффинная система координат в
пространстве с базисными векторами
,
,
.
Положение любой точкиM
в пространстве однозначно определяется
вектором
,
где
,
а координаты называются
– абсциссой,
– ординатой,
– аппликатой точкиM.
Соответствующим образом определяются
проекции на оси.
Заметим, что проекцию точки в пространстве можно задать и на координатной плоскости.
Среди
аффинных координат наибольшее
распространение получили декартовые
координаты, характеризующиеся тем, что
базисные единичные векторы взаимно
ортогональны и обычно обозначаются
буквами
.
Их преимущество по сравнению с другими
координатными системами только в
простоте получаемых формул, отражающих
измерения и взаимное расположение
объектов в линейных пространствах.
Метод координат – хорошо разработанный аппарат, исследующий геометрические объекты алгебраическими и математического анализа методами. Этот метод лежит в основе аналитической геометрии – прикладной математической науки, изучающей геометрические объекты аналитическими методами.
Как уже отмечалось, линейная алгебра широко применяется в различных науках, и ее связь с аналитической геометрией вполне естественна. Можно сказать, что линейная алгебра является ее теоретической базой. В дальнейшем эта связь будет постоянно подтверждаться.