§ 2. Уравнение линии на плоскости

Уравнение линии на плоскости задается равенствами: а) в неявном виде , б) разрешенном, относительноy: , которым удовлетворяют координатых и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные х и y в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Пример V.2. Лежат ли точки ина линии?

Решение. Подставим координаты точки М в уравнение линии: – значит, точкаМ не лежит на заданной линии; теперь подставим координаты точки K: – координаты этой точки удовлетворяют уравнению линии, и значит, точкаK лежит на заданной прямой.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями и, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, то есть сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Если эта система не имеет действительных корней, то линии не пересекаются.

Аналогичным образом вводится понятие линии в полярной системе координат. Уравнение называются уравнением данной линии в полярной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

где х, у – координаты произвольной точки , лежащей на данной линии, аt – переменная, называемая параметром линии. Такой способ задания линии называется параметрическим.

Линию на плоскости можно задать и векторным уравнением , гдеt – скалярный переменный параметр. Каждому значению соответствует определенный векторна плоскости. При изменении параметраt конец вектора опишет некоторую линию.

Векторное и параметрическое уравнения имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, а линия – траекторией точки, параметр t при этом, интерпретируется как время.

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение и зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства 4.

§ 3. Уравнение поверхности и линии в пространстве

Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке О есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки О на расстоянии R.

Прямоугольная система координат Оxyz в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел x, y и z – их координатами: абсциссой, ординатой и аппликатой. Координатами точки в пространстве (рис.V.3) являются числа, соответствующие точкам пересечения координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz с координатными осями Ox, Oy, Oz.

Свойство, общее для всех точек поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности 4.

Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называется такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Переменныеx, y и z в уравнении поверхности называются текущими координатами точек поверхности. Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей или как геометрическое место точек, принадлежащее обеим поверхностям.

Если и– уравнения двух поверхностей, определяющих линиюL, то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными: – уравнение линии в пространстве.

Рис. V.3

Например, есть уравнение осиОz.

Линию в пространстве можно задать как траекторию движения некоторой точки. В этом случае ее задают векторным уравнением или параметрическими уравнениями:,,.