Обратная матрица

Определение. Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной. В противном случае квадратная матрица называется невырожденной.

Определение. Матрица называется обратной к матрице A порядка n, если она удовлетворяет следующему равенству:

.

Теорема II.1. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной 3.

Если обратная матрица к матрице A порядка n существует, то она находится по формуле:

. (II.4)

Пример II.6.

Найти матрицу, обратную к матрице .

Решение. Вычислим определитель матрицы A.

.

Так как 0, матрица A является невырожденной и для нее существует обратная, найдем ее. Для этого вычислим алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы A:

;	;	;
;	;	;
;	;	.

Подставим найденные значения в формулу (II.4):

.

Ранг матрицы

Определение. Рангом матрицы A называется наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля. Обозначается .

Элементарные преобразования матрицы

1. Перестановка двух строк.

2. Умножение любой строки на ненулевое число.

3. Добавление к одной строке другой, умноженной на любое число.

Замечание. При определении ранга матрицы целесообразно при помощи элементарных преобразований привести ее к треугольному виду. Используя свойство 8 определителей, легко найти наибольший порядок отличных от нуля миноров.

Теорема II.2. Ранг матрицы не изменится, если к ней применить элементарные преобразования.

Пример II.7. Вычислить ранг матрицы .

Решение. Приведем матрицу A к треугольному виду. Переставим местами 1-ю и 3-ю строки местами. Домножим 1-ю строку на (-5) и (-2) и прибавим ко 2-й и 3-й строке соответственно. Полученную 2-ю строку разделим на (-2) и прибавим к полученной 3-ей.

Таким образом, минор 3-го порядка , минор 2-го порядка, поэтому.

§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений

Пусть задана система m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными:

где – неизвестные,– коэффициенты при неизвестных,– свободные члены, ,.

Обозначим через A матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных , а черезматрицу, полученную изA присоединением к ней столбца свободных членов:

, ,.

Матрица A называется матрицей коэффициентов системы уравнений, а матрица – расширенной матрицей коэффициентов системы уравнений.

Определение. Решением системы уравнений называется совокупность таких значений неизвестных: ,, …,, которые удовлетворяют всем уравнениям системы. Решить систему уравнений значит указать все его решения или показать, что их нет.

Определение. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет решения, то она называется несовместной.

Теорема II.3 (Кронекера – Капелли).

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов A равен рангу расширенной матрицы коэффициентов . Причем если ранг матрицыA равен рангу матрицы и равен числу неизвестных, то система уравнений имеет единственное решение; если ранги матрицA и равны и меньше числа неизвестных системы, то система уравнений имеет множество решений (доказательство на стр. 82, теоремаIII.4).