![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •В.А. Павский линейная алгебра
- •Оглавление
- •Введение
- •I. Введение в линейную алгебру § 1. История развития алгебры
- •§ 2. Множества
- •§ 3. Строение множеств
- •Алгебра множеств
- •§ 4. Число Развитие
- •§ 5. Числовые множества
- •Бесконечные множества
- •Натуральный ряд
- •Множество целых чисел
- •Множество рациональных чисел
- •Множество действительных чисел
- •Множество комплексных чисел
- •Суммы и произведения
- •Приближенные вычисления
- •II. Элементы линейной алгебры § 1. Матрицы и определители 3, 7
- •Действия над матрицами
- •1. Сложение матриц
- •2. Умножение матрицы на число
- •3. Умножение матриц
- •Определитель матрицы
- •Свойства определителей
- •Вычисление определителей
- •Аксиоматическое построение теории определителей
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Элементарные преобразования матрицы
- •§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Методы решения слау
- •1. Метод Крамера
- •2. Матричный метод
- •3. Метод Гаусса
- •Однородная система линейных алгебраических уравнений (ослау)
- •§ 3. Системы линейных алгебраических неравенств
- •III. Линейные пространства
- •§ 1. Линейная зависимость
- •§ 2. Линейные комбинации. Базисы
- •§ 3. Подпространства
- •§ 4. Прямые суммы
- •§ 5. Евклидовы пространства
- •§ 6. Координатные системы
- •IV. Векторная алгебра § 1. Векторы
- •§ 2. Линейные операции над векторами
- •§ 3. Проекция вектора на ось
- •Линейные свойства проекции вектора на ось
- •Координаты вектора
- •Деление отрезка в данном отношении
- •§ 4. Базис системы векторов
- •§ 5. Скалярное произведение векторов
- •§ 6. Векторное произведение векторов 4
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •§ 7. Смешанное произведение векторов 4
- •V. Аналитическая геометрия 4
- •§ 1. Системы координат на плоскости
- •§ 2. Уравнение линии на плоскости
- •§ 3. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •§ 4. Прямая и плоскость в линейном пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Уравнение прямой в пространстве r3
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Прямая как линия пересечения плоскостей
- •Расстояние от точки до прямой
- •Угол между прямой и плоскостью
- •Угол между плоскостями
- •VI. Линейные операторы § 1. Линейный оператор
- •Векторные свойства линейных операторов
- •Умножение операторов
- •Матрицы операторов
- •Изменение базиса 3, 11
- •Подобие 11
- •§ 2. Характеристический многочлен
- •VII. Билинейные и квадратичные формы § 1. Билинейные формы
- •§ 2. Квадратичные формы
- •Приведение к каноническому виду
- •VIII. Гиперповерхности и поверхности второго порядка
- •Классификация линий второго порядка
- •Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
- •Классификация поверхностей второго порядка
- •Заключение
- •Список литературы
- •Линейная алгебра
- •650002, Г. Кемерово, ул. Институтская, 7
- •650002, Г. Кемерово, Институтская, 7
Взаимное расположение плоскостей
Пусть
две плоскости заданы в
общими уравнениями
и
,
,
.
Эти
плоскости параллельны только в том
случае, если коллинеарны их нормальные
векторы
и
,
то есть выполняются условия:
.
Следовательно, две плоскости, заданные общими уравнениями, параллельны, если коэффициенты при одноименных переменных пропорциональны.
Если кроме коэффициентов при переменных пропорциональны и свободные члены, то есть выполняются равенства
,
то плоскости совпадают.
Чтобы две плоскости пересекались, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при переменных x, y, z не были пропорциональны.
Плоскости перпендикулярны в том случае, если перпендикулярны их нормальные векторы, то есть выполняется условие:
.
Пример
V.8.
Установить,
перпендикулярны ли плоскости,
заданные
уравнениями
и
.
Решение.
Плоскости перпендикулярны в том случае,
если их нормальные векторы
и
удовлетворяют условию
.
Так как
,
то указанное условие выполнено и значит,
данные плоскости перпендикулярны.
Уравнение прямой в пространстве r3
Каноническое уравнение прямой. Положение прямой вполне определено, если заданы лежащая на ней точка и направление. Направление прямой может быть задано любым вектором коллинеарным данной прямой, который называется направляющим вектором.
Выведем
уравнение прямой a,
проходящей через данную точку
и имеющей направляющий вектор
.
Произвольная
точка
лежит на прямойa
только в том случае, если векторы
и
коллинеарны, то есть для них выполняется
условие:
.
Эти
равенства (а этими равенствами фактически
заданы два независимых уравнения)
определяют прямую (рис. V.7),
проходящую через заданную точку
коллинеарно вектору
,
и называютсяканоническим
уравнением прямой в пространстве.
Рис. V.7
Числа
l,
m
и
n
являются
проекциями направляющего вектора
на координатные оси. Так как вектор
– ненулевой, то все триl,
m
и
n
числа не могут одновременно равняться
нулю. Но одно или два из них могут
оказаться равными нулю, например,
,
которая
означает, что проекции вектора
на осиOy
и Oz
равны нулю. Поэтому и вектор
,
и прямая, заданная указанным образом,
перпендикулярны осямOy
и Oz,
то есть плоскости Оyz.
Пример
V.9.
Составить
уравнение прямой, перпендикулярной
плоскости
и проходящей через точку пересечения
этой плоскости с осьюOz.
Решение.
Найдем точку
пересечения данной плоскости с осью
Oz.
Так как любая точка, лежащая на оси Oz,
имеет координаты (0; 0; z),
то, полагая в заданном уравнении плоскости
,
получим
или
.
Следовательно, точка пересечения данной
плоскости с осьюOz
имеет координаты
(0; 0; 2). Поскольку
искомая прямая перпендикулярна плоскости,
то, тем самым, она параллельна ее
нормальному вектору
.
Поэтому направляющим вектором прямой
может служить вектор нормали
заданной плоскости.
Теперь
запишем искомые уравнения прямой,
проходящей через точку
в направлении вектора
:
или
.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Прямая
может быть задана двумя лежащими на ней
точками
и
.
В этом случае направляющим вектором
прямой может служить вектор
,
то есть
.
Тогда каноническое уравнение прямой в
пространстве примет вид:
.
Эти равенства определяют прямую, проходящую через две данные точки.
Пример
V.10.
Составить
уравнения прямой, проходящей через
точки
и
.
Решение. Запишем искомое уравнение прямой в виде:
или
.
Так как
,
то искомая прямая перпендикулярна осиOy.
Пример
V.11.
Составить
уравнение прямой, проходящей
через
точку
параллельно прямой
.
Решение.
Направляющим вектором искомой прямой
может служить направляющий вектор
данной прямой, поскольку по условию эти
прямые параллельны. Зная точку
и направляющий вектор
искомой прямой, запишем ее уравнение в
виде:
.