![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •В.А. Павский линейная алгебра
- •Оглавление
- •Введение
- •I. Введение в линейную алгебру § 1. История развития алгебры
- •§ 2. Множества
- •§ 3. Строение множеств
- •Алгебра множеств
- •§ 4. Число Развитие
- •§ 5. Числовые множества
- •Бесконечные множества
- •Натуральный ряд
- •Множество целых чисел
- •Множество рациональных чисел
- •Множество действительных чисел
- •Множество комплексных чисел
- •Суммы и произведения
- •Приближенные вычисления
- •II. Элементы линейной алгебры § 1. Матрицы и определители 3, 7
- •Действия над матрицами
- •1. Сложение матриц
- •2. Умножение матрицы на число
- •3. Умножение матриц
- •Определитель матрицы
- •Свойства определителей
- •Вычисление определителей
- •Аксиоматическое построение теории определителей
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Элементарные преобразования матрицы
- •§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Методы решения слау
- •1. Метод Крамера
- •2. Матричный метод
- •3. Метод Гаусса
- •Однородная система линейных алгебраических уравнений (ослау)
- •§ 3. Системы линейных алгебраических неравенств
- •III. Линейные пространства
- •§ 1. Линейная зависимость
- •§ 2. Линейные комбинации. Базисы
- •§ 3. Подпространства
- •§ 4. Прямые суммы
- •§ 5. Евклидовы пространства
- •§ 6. Координатные системы
- •IV. Векторная алгебра § 1. Векторы
- •§ 2. Линейные операции над векторами
- •§ 3. Проекция вектора на ось
- •Линейные свойства проекции вектора на ось
- •Координаты вектора
- •Деление отрезка в данном отношении
- •§ 4. Базис системы векторов
- •§ 5. Скалярное произведение векторов
- •§ 6. Векторное произведение векторов 4
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •§ 7. Смешанное произведение векторов 4
- •V. Аналитическая геометрия 4
- •§ 1. Системы координат на плоскости
- •§ 2. Уравнение линии на плоскости
- •§ 3. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •§ 4. Прямая и плоскость в линейном пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Уравнение прямой в пространстве r3
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Прямая как линия пересечения плоскостей
- •Расстояние от точки до прямой
- •Угол между прямой и плоскостью
- •Угол между плоскостями
- •VI. Линейные операторы § 1. Линейный оператор
- •Векторные свойства линейных операторов
- •Умножение операторов
- •Матрицы операторов
- •Изменение базиса 3, 11
- •Подобие 11
- •§ 2. Характеристический многочлен
- •VII. Билинейные и квадратичные формы § 1. Билинейные формы
- •§ 2. Квадратичные формы
- •Приведение к каноническому виду
- •VIII. Гиперповерхности и поверхности второго порядка
- •Классификация линий второго порядка
- •Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
- •Классификация поверхностей второго порядка
- •Заключение
- •Список литературы
- •Линейная алгебра
- •650002, Г. Кемерово, ул. Институтская, 7
- •650002, Г. Кемерово, Институтская, 7
§ 4. Прямая и плоскость в линейном пространстве
Мы будем рассматривать евклидовое векторное линейное пространство, в котором изучаются прямая линия и плоскость.
При изучении линейного пространства было введено понятие подпространства, определенное как линейное пространство, состоящее, может быть, из меньшего числа базисных векторов. Это означает, что все свойства пространства выполняются и для подпространства. В частности, любое подпространство должно содержать нуль-вектор. Если в линейном пространстве введена система координат, то не всякая прямая линия и плоскость образуют подпространство. Ими будут прямая и плоскость, проходящие через начало. Этот факт говорит о том, что для изучения различных видов прямых и плоскостей необходимо введение координатной системы.
Пусть
на плоскости зафиксирована декартова
система координат Oxy
и задана в ней прямая l
(рис. V.4).
Пусть дан ненулевой вектор
перпендикулярный прямойl,
то есть
.
Вектор
назовем нормальным (или нормалью) для
прямойl.
Все другие нормальные векторы к l
будут коллинеарны вектору
.
Рис. V.4.
Пусть
точка
– точка на прямой. Любая из точек
прямой обладает тем свойством, что
векторы
и
перпендикулярны, поэтому их скалярное
произведение
.
(V.1)
Так
как
,
то из формулы (V.1)
получаем
или
,
(V.2)
где
.
Уравнение называется общим уравнением прямой, так как всякое уравнение вида (V.2) определяет прямую, и наоборот.
Рассмотрим линейную функцию двух переменных. Пусть ее вид
.
(V.3)
Но
этой функции «тесно» на плоскости. Пусть
дано линейное векторное трехмерное
пространство ﻉ.
Введем декартову систему координат
Oxyz
и по аналогии с предыдущим зададим
нормальный вектор
.
Поскольку областью определения уравнения
(V.3)
является геометрическая плоскость, то
уравнение (V.3)
определяет плоскость
в пространстве и
.
После
задания точки
,
учитывая условие перпендикулярности
векторов, для любой точки
,
лежащей на плоскости,
аналогично будем иметь
,
(V.4)
обозначая
,
получаем уравнение (V.3),
которое назовем общим уравнением
плоскости. Таким образом, по заданному
нормальному вектору и точке
на прямойl
мы однозначно можем определить прямую
на плоскости и плоскость в пространстве.
Выясним, как связаны между собой два общих уравнения, определяющие одну и ту же плоскость или прямую.
Пусть имеем систему
(V.5)
,
и ненулевые нормальные векторы
,
.
Так как все нормальные векторы к заданной
точке коллинеарны, то их координаты
пропорциональны, то положим, например,
или, что то же самое,
,
,
,
.
Умножая второе уравнение формулы (V.5) на t и складывая с первым, получим
.
Вывод: коэффициенты общих уравнений одной плоскости пропорциональны.
Определение. Общее линейное уравнение называется полным если все его коэффициенты ненулевые.
Пример V.3. 1) По внешнему виду уравнения (V.5) могут быть полными.
2) Уравнение плоскости (рис. V.5)
соответствует определению и потому полное.
Рис. V.5
Пример
V.4.
Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
и перпендикулярной вектору
.
Решение.
Используя
формулу (V.4),
имеем
,
откуда после преобразований получим
.
Это уравнение первой степени и есть искомое уравнение плоскости.