9. 1.6 Метрологические характеристики измерительных средств

ГОСТ 8.009-84 «ГСИ. Нормированные метрологические характеристики средств измерения» устанавливает шесть групп метрологических характеристик:

• характеристики, предназначенные для определения результатов измерения;

• характеристики погрешностей;

• показатели, характеризующие чувствительность к влияющим величинам;

• динамические характеристики;

• характеристики, отражающие взаимодействие средства и объекта измерения;

• информационные параметры выходного сигнала.

Наиболее часто пользователями выделяются следующие основные характеристики (показатели).

Цена деления шкалы (с) – разность значений величин, соответствующим двум соседним отметкам (штрихам) на шкале. Цена деления определяет наименьшее значение измеряемой величины, которое может быть отсчитано по целым деления шкалы. Например, цена деления гладкого микрометра с = 0,01 мм.

Длина деления шкалы (а) – расстояние между серединами соседних штрихов (отметок) на шкале. Например, а = 1 мм. При малых значениях а шкала плохо различима.

Диапазон показаний – область значений шкалы, ограниченная конечным и начальным значениями. Например, диапазон показаний микрокатора 0,03=0,06 мм. Следовательно, партию изделий, разность между наибольшим и наименьшим размерами которых превышает 0,06 мм, измерить с одной настройкой на нуль по концевым мерам невозможно.

Диапазон измерений – область значений измеряемой величины, в пределах которой установлены допускаемые погрешности средства измерений. Наибольшее и наименьшее значения диапазона измерений называют пределами измерений. Например, у гладкого микрометра диапазон измерений 0-25 мм, 25-50 мм и т.д.

Измерительная сила – сила воздействия измерительного наконечника на измеряемый объект в зоне контакта. Например, измерительная сила гладкого микрометра (5  2)Н.

Чувствительность измерительного прибора – отношение изменения сигнала на выходе измерительного средства к вызвавшему его изменению измеряемой величины. У большинства приборов для линейных измерений чувствительность численно равна передаточному отношению прибора – отношению перемещения указателя стрелки по шкале к соответствующему изменению измеряемой величины (или перемещению измерительного наконечника). Например, при перемещении измерительного наконечника микрокатора на 1 мкм (с=1 мкм) стрелка переместится на одно деление шкалы (а=1 мм). Следовательно, чувствительность микрокатора равна с=1/0,001= 1000.

1. 1.7 Погрешности измерений

При измерениях деталей возникают погрешности, т.е. результат измерения отличается от истинного значения измеряемой величины. Различают погрешность самого измерительного средства и погрешность измерения. Последняя включает в себя погрешность средства и ряд дополнительных погрешностей.

Абсолютной погрешностью измерительного прибора называют разность между показаниями прибора и истинным значением измеряемой величины. Для каждого средства измерения задается предел допускаемой погрешности – наибольшая (без учета знака) погрешность средства, при которой оно может быть признано годным и допущено к применению. При поверке средства измерения органами метрологической службы определяют погрешности средства измерения, и устанавливается его пригодность к применению. В зависимости от предела допускаемой погрешности средствам измерения присваивается определенный класс точности. Погрешность измерительного средства обусловлена неточностью параметров деталей, погрешностями сборки, износом и т.д. В свою очередь погрешность результата измерений складывается из погрешностей средства измерения, погрешности установочной меры или блока мер, с помощью которых прибор настраивается на нуль, погрешности метода измерений, погрешности, вызванной отклонением температуры от нормальной равной 20⁰С, погрешности, появляющейся из-за нестабильности измерительной силы, погрешностей отсчета, макро- и микрогеометрии поверхностей детали и др.

В стандартах приводятся метрологические показатели: систематическая и случайная составляющие погрешности, динамические характеристики и другое. Показатели, характеризующие точность измерений, и формы представления результатов измерений также должны соответствовать стандартам. Например, точность измерений характеризуется интервалом значений, в пределах которого с заданной вероятностью находятся суммарная погрешность измерений, систематическая погрешность и т.д. Перечень погрешностей, влияющих на точность измерений, показывает, что на результат измерения влияет большое число факторов. Каждая из указанных погрешностей в зависимости от характера проявления может быть случайной или систематической. Систематической называется составляющая погрешности измерения, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. Например, погрешность нуль-пункта штангенциркуля. Систематические погрешности относительно просто выявляются и устраняются.

Случайной погрешностью называют погрешность, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Эти погрешности непостоянны по величине и знаку. Конкретное значение случайной погрешности предсказать невозможно. Эти погрешности в свою очередь вызваны целым комплексом факторов, среди которых нет доминирующих. Взятые в совокупности случайные погрешности подчиняются определенным законам распределения. Как показывает практика измерений, наиболее часто встречается нормальный закон (закон Гаусса).

Нужно иметь в виду, что деление на систематические и случайные не является абсолютным. Одна и та же погрешность в одних условиях проявляет себя как систематическая, в других – как случайная.

Систематические погрешности можно устранить ( сист.  0). Случайные же погрешности полностью устранить невозможно. Значения их можно уменьшить, принимая меры для большей стабилизации тех факторов, которые оказывают влияние на данную погрешность. Например, для уменьшения погрешности измерения следует стабилизировать измерительное усилие, уменьшить колебание температуры и т.д.

Таким образом, влияние систематической погрешности проявляется при повторных измерениях одной и той же величины в том, что результат измерения будет отличаться от “истинного” размера на постоянное значение. Случайные погрешности будут проявлять себя в рассеивании результатов измерения на некотором участке. Если произвести массовые измерения каким-либо прибором диаметра вала, то можно заметить, что различные значения результатов появляются неодинаково часто. На графике зависимости частость получения размера – размер получится колоколообразная фигура (т.н. полигон или гистограмма распределения) (рисунок 2).

Рисунок 2 - Полигон распределения размеров

Рисунок 3 – Кривая нормального распределения случайной величины

Характер эмпирических значений случайной величины (действительного размера) часто соответствует теоретическому закону – нормальному закону (закону Гаусса, рисунок 3).

Эта зависимость возникает обычно, если на случайную величину (действительный размер) оказывает влияние большое количество факторов, ни один из которых не является превалирующим. Соответствие эмпирического распределения предполагаемому теоретическому закону проверяется с помощью различных критериев: хu –квадрат ², Колмогорова, Пирсона и др.

Кроме нормального закона в машиностроительной практике используются и другие.

Из графика кривой нормального закона следует:

1) Наиболее часто при измерениях встречаются значения, близкие к среднему .

2) Чем больше отличаются значения от среднего, тем реже они встречаются. Среднее значение (математическое ожидание) характеризует условно “истинный” размер детали. Другие же размеры при измерении появляются под влиянием случайных ошибок измерения. Чем больше размер отличается от среднего, тем больше ошибка измерения, тем реже она встречается.

3) Из симметричности кривой следует, что положительные (увеличивающие действительный размер) и отрицательные (уменьшающие) случайные ошибки, одинаковые по модулю, встречаются одинаково часто.

Теоретически кривая нормального распределения расположена от - до +, но действительные размеры, значительно отличающиеся от среднего, встречаются очень редко (плотность вероятности близка к нулю). Поэтому для практических целей принимают, что диапазон изменения действительных размеров равен 6(). Иначе говоря, в пределах  будет расположено 99,73% всех значений действительных размеров, т.е. вероятность получения размера в пределах  равна 0,9973. Вероятность получения размера, отстоящего от среднего значения (“истинного” размера) более, чем на , мала, и составляет (1-0,9973)/2=0,0027/2=0,00135.

Математическое ожидание (условно “истинный” размер) размера Х равно:

, (1.6)

где f(x) – функция плотности вероятности размера.

При измерении в лаборатории среднее арифметическое значение (близкое к Мх), рассчитывается по формуле

, (1.7)

где n – количество измерений.

Параметр  называется средним квадратичным отклонением (или средней квадратичной ошибкой):

. (1.8)

При измерениях в лаборатории (при n>30 измерений):

. (1.9)

При выборке, менее 30 измерений:

, (1.10)

где х_i – действительный размер, полученный при измерении.

Параметр  характеризует точность измерений: меньше  - выше точность измерений. Как следует из рассмотренного, наибольшая (предельная) ошибка измерений равна 3.

Приборы и инструменты конструируются таким образом, чтобы предельная ошибка не превышала цены деления (кроме приборов для измерения деталей с большими размерами).

Таким образом, если мы имеем полученный в результате измерения размер детали Х, то при отсутствии систематической погрешности, можно утверждать, что с вероятностью Р = 0,9973 “истинное” значение размера (Х_ист) находится в пределах Х3. При изменении вероятности доверительный интервал будет иным. В общем случае:

Х_ист = , (1.11)

где t зависит от принятой вероятности (для нормального закона при Р = 0,9973 t= 3). При малом числе измерений значение t принимают в зависимости от доверительной вероятности по закону Стьюдента.

Необходимо иметь в виду, что “истинное” значение Х_ист нам неизвестно, т.к. в результате измерений мы можем рассчитать лишь его оценку.

Среднее арифметическое значение лишь приблизительно равно математическому ожиданию (“истинному” размеру), т.е.

при n (1.12)

Для оценки погрешности среднего арифметического используем известную теорему о дисперсии суммы независимых случайных величин:

. (1.13)

Отсюда:

или

. (1.14)

При малых выборках:

. (1.15)

Таким образом, средняя квадратичная ошибка среднего арифметического зависит от количества измерений (n) и будет тем меньше, чем больше n.

Границы доверительного интервала математического ожидания лежат в пределах:

(1.16)

или, в общем случае,

(1.17)

где z – коэффициент, зависящий от принятой вероятности и закона распределения (при количестве измерений n более 30 – нормальный закон, при n<30 – закон Стьюдента).

При необходимости (например, при округлении размера в пределах одного деления шкалы) используют закон равной вероятности, при котором плотность вероятности f(X) постоянна на всем протяжении изменения параметра (рисунок 4).

Рисунок 4 – График плотности вероятности равномерного