UMF-BOOK

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пусть x > b, рассмотрим этапы прохождения волны в точке x.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

948.39 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 175 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

М.А. Греков		Уравнения математической физики

1)	при x − at > b выполнено
	t <				x − b	u(x, t) = 0,
	t <				a	u(x, t) = 0,
					a
	то есть до x волна не дошла.
2)	при x − at = b		x − b				1
	t =		x − b			u(x, t) =	1	ψ(b).
	t =					u(x, t) =		ψ(b).
				a		2

t момент прохождения переднего фронта прямой волны начало колебаний в точке x (волна пришла из точки b).

3)при −b < x − at < b,

x − b < t < x + b a a

Прямая волна прошла через точку точку b.

4) при x − at = −b

t =

x + b

u(x, t) = 12ψ(x − at).

x, но задний ее фронт еще не прошел через

u(x, t) = 12ψ(−b).

t момент прохождения заднего фронта прямой волны, пришедшей из точки b. Возмущение, созданное в точке b при t = 0 еще не дошло до точки x.

5) при x − at < −b

t >	x + b	, u(x, t) = 0.
	a

При прохождении волны наступает покой.

Аналогично для x < −b и x (−b, b).

2. Пусть при t = 0 задана только скорость возмущения, т. е.

u	\|t=0	= ψ1	(x)	≡	0,	∂u	t=0	= ψ2	(x) =	0,	\|x\|
										0,
						∂t
						∂t				ψ(x), \|x\|


Тогда

u(x, t) = g(x + at) − g(x − at), g(z) = 2a ψ2(α

> b, < b.

)dα.

(−b, b) ∩ (x − at, x + at) = u(x, t) = 0,

М.А. Греков Уравнения математической физики

2) при

x − b

< t <

x + b

b < x

−

at < b

−

(−b, b) ∩ (x − at, x + at) = (x − at, b) 6=

u(x, t) =

ψ(α)dα 6= 0,

x−at

3) при t >

x + b

x − at < −b,

(−b, b) ∩ (x − at, x + at) = (−b, b),

u(x, t) =

x+atψ2(α)dα =

−b

+ x+at

ψ2(α)dα =

−b

x−at

= 0 + 21a Zb ψ(α)dα + 0 = g(b) − g(−b) = const.

−b

1.3 Ограниченная струна
	∂2u	2 ∂2u
		− a		= 0, 0 ≤ x ≤ l.
	∂t2	− a	∂x2	= 0, 0 ≤ x ≤ l.
Граничные условия:
		u\|x=0 = 0,			u\|x=l = 0.
Начальные условия:
					∂u
					∂u

u\|t=0		= ϕ1(x),			∂t	t=0	= ϕ2(x).

Решение Даламбера для уравнения (1.8) также имеет место

u(x, t) = g1(x − at) + g2(x + at),

однако, из формул, написанных формально			Z
g1(z) = 2ψ1(z) − 2a				ψ2(α),
	1	1	z

g2(z) = 2ψ1(z) +			z0 z	ψ2(α)
		2a zZ0
1		1

(1.8)

(1.9)

(1.10)

(1.11)

(1.12)

М.А. Греков Уравнения математической физики

следует, что ψ1 и ψ2 должны быть определены для любых z (−∞, ∞), так как z = x ± at (−∞, ∞) при 0 < t < ∞.

Ясно, что если 0 < z < l, то ψk(z) = ϕk(z). Задача заключается в том, чтобы определить ψk(z) через ϕk(z) при z < 0 и z > l, т. е. эта задача сводится при z (−∞, +∞ к задаче продолжения функций ϕk(z) на всю ось.

Продолжение функций ϕ1 и ϕ2 на всю ось физически означает задание такого начального возмущения для бесконечной струны, чтобы движение участка [0, l] было

такое же, как если бы концы его были закреплены, а остальная часть струны отброшена.

Подставив (1.11) в (1.9), получим

g1(−at) + g2(at) = 0,

g1(l − at) + g2(l + at) = 0.

(1.13)

Обозначим at = y, тогда

1) g1(−y) + g2(y) = 0,

g1(l − y) + g2(l + y) = 0.

(1.14)

1) eсли y (0, l), то −y

(−l, 0), и, в силу первого равенства в (1.13), функции

g1, g2 определены в (−l, l);

2) введем замену y → −y. Тогда из второго равенства в (1.13) получим

g2(l + y) = −g1(l − y), g1(l + y) = −g2(l − y).

Обозначив y1 = y − l, приходим к двум равенствам

g2(y1 + 2l) = −g1(−y1) = g2(y1), g1(y1 + 2l) = −g2(−y1) = g1(y1),

из которых следует, что g1, g2 2l–периодические функции.

Так как

ψ1(x) = g1(x) + g2(x),

ψ2(x) = a[g20 (x) − g10 (x)],

(1.15)

то

ψ1(−x) = g1(−x) + g2(−x) = −g2(x) − g1(x) = −ψ1(x),

ψ2( x) = a[g20

( x)

g10

(

x)] = a[g10 (x)

g20 (x)] =

ψ2(x),

(1.16)

−

ψ1(x + 2l) = ψ1(x), ψ2(x + 2l) = ψ2(x).

При x (0, l) : ψ (x) = ϕ

(x), ψ

x в силу (1.10). Таким образом, ϕ

, ϕ

2( ) =

2( )

продолжаются из (0, l) в (−l, 0) нечетно, а затем на всю ось с периодом 2l.

При x (−l, 0) : ψ1(x) = −ϕ1(−x), ψ2(x) = −ϕ2(−x) в силу (1.16). При x : ψj (x + 2l) = ψj (x), j = 1, 2.

Для существования непрерывных производных до второй включительно у решения задачи необходимо, кроме дифференцируемости функций ϕ1, ϕ2, потребовать выполне-

ния условий согласования:

1) ϕ1(0) = ϕ1(l) = 0, 2) ϕ2(0) = ϕ2(l) = 0.

(1.17)

3) ϕ001(0) = ϕ001(l) = 0.

Они вытекают из условий:

М.А. Греков	Уравнения математической физики

1)непрерывности функции u(x, t)

2)непрерывности ut(x, t),

3)(1.8), (1.9):

∂2u		∂2u
	=

∂t2 x=0		∂t2 x=l

в точках x = 0, l, t = 0,

= 0,	∂2u	− a2ϕ100(x) x=0, = 0,
= 0,	∂t2	− a2ϕ100(x) x=0, = 0,
		x=l

следовательно, верно третье равенство в (1.17). Действие закрепленных концов:

На характеристической плоскости x, t в области, где ищется решение, выделим

шесть подобластей I VI (рис. 3.1).

Рис. 3.1.

I влияние условий вне отрезка [0, l] отсутствует. II ищем решение в точке M(x0, t0):

M2(x0 + at0, 0) фиктивная точка, ей соответствует точка M20 (2l − (x0 + at0), 0), симметричная точке M2 относительно точки l. Действительно, l − OM20 = OM2 − l.

Согласно (1.13)

g2(x0 + at0) = g2(l + x0 + at0 − l) = −g1[2l − (x0 + at0)],

Отсюда и из (1.11) следует

u(x0, t0) = g1(x0 − at) − g1[2l − (x0 + at0)].

Таким образом, обратная волна g2(x0 + at0) прямая волна g1(2l − (x0 + at0)), которая вышла в момент t = 0 из точки M20 = [2l − (x0 + at0)], дошла до точки x = l в момент t = (l − [2l − (x0 + at0)])/a = (x0 + at0 − l)/a, изменила направление и знак на противоположный и к моменту t = t0 дошла в таком виде до точки M.

М.А. Греков Уравнения математической физики

V g1(x0 − at0) = −g2(2l − (x0 − at0)) = g1[(x0 − at0) − 2l], 2l < x0 − at0 < 3l.

Итак, действие закрепленного конца x = l сводится к отражению волны смещения,

приводящему к изменению знака смещения при сохранении его абсолютного значения. То же в области III для обратной волны. В областях IV, V, VI несколько таких изменений. Заметим что колебание струны с закрепленными концами периодическое с периодом T = 2l/a. Это следует, например, из равенства

g2(x0 + at) = g2(x0 + at + 2l) = g2(x0 + a(t + 2l/a)).

1.4Понятие об обобщенных решениях

Обобщенным решением задачи Коши для уравнения (1.1) при начальных условиях (1.5) будем называть функцию u(x, t), являющейся пределом равномерно сходящейся

последовательности решений уравнения (1.1)

	un(x, t) u(x, t)
при начальных условиях
		∂u
un\|t=0	= ψn1(x),	∂u	t=0	= ψn2(x),
un\|t=0	= ψn1(x),	∂tn	t=0	= ψn2(x),

если ψn1 имеют непрерывные вторые производные, ψn2 имеют непрерывные вторые производные, ψn1 ψ1, ψn2 ψ2. Существование и единственность обобщенного решения задачи Коши можно доказать для любых непрерывных функций ψ1, ψ2. Это обобщенное

решение дается также формулой Д’Аламбера.

§ 2. Формально сопряженные дифференциальные выражения

Рассмотрим линейное дифференциальное выражение второго порядка

∂2u

∂u

(2.1)

L u = Aαβ

+ Aα

+ A0u, x = (x1, . . . , xn) Rn.

∂xα∂xβ

∂xα

Пусть конечная область

кусочно-гладкая поверхность граница .

Ω Rn, = ∂Ω

(2)

(1)

Пусть в Ω = Ω

, A

. Считаем,

выполнено: A

(Ω)

что u(x, t) C(2)(Ω).

Определение 1.

Дифференциальное выражение

M u =

∂2(Aαβ u)

−

∂(Aαu)

+ A0u

(2.2)

∂xα∂xβ

∂xα

М.А. Греков

Уравнения математической физики

называется формально сопряженным с L .

Заметив, что

∂(Aαβ u)

∂u

∂Aαβ

= Aαβ

∂xβ

выражение (2.1) удобно преобразовать к виду

∂

∂u

L u =

Aαβ

+ Bα

+ Cu,

x = (x1, . . . , xn) Rn,

(2.3)

∂xα

∂xβ

∂xα

где

∂Aαk

Bk = Ak −

, C = A0.

∂xα

Учитывая, что

∂2(Aαβ u)

∂

∂u

∂

∂Aαβ

Aαβ

u ,

∂xα∂xβ

∂xα

∂xβ

∂xα

∂xβ

∂(Bαu)

∂(Aαu)

∂ ∂Aαβ

−

u ,

∂xα

∂xβ

можем написать

Aαβ

−

M u =

∂

∂u

∂

(Bαu) + Cu.

(2.4)

∂xα

∂xβ

∂xα

Формальное сопряжение есть свойство взаимное. Действительно, из (2.4) следует

∂

∂u

∂Bα

M u =

Aαβ

− Bα

+ C −

(2.5)

∂xα

∂xβ

∂xα

Пусть N дифференциальное выражение, сопряженное с M, тогда сравнивая (2.3)

и (2.5), имеем

∂

∂u

∂Bα

(2.3)

N u =

Aαβ

+ Bα

+ C1 +

≡ L u.

(2.6)

∂xα

∂xβ

∂xα

Если M ≡ L, то L формально сопряженное. Отличие в средних членах формул

(2.3) и (2.4)

M ≡ L Bk ≡ 0, k = 1, n.

Отсюда следует, что самосопряженное выражение второго порядка можно приве-

сти к виду
L u =	∂	Aαβ	∂u	+ Cu, Aαβ = Aβα.	(2.7)

	∂xα		∂xβ

М.А. Греков	Уравнения математической физики

Оператор Лапласа	и волновой оператор формально самосопряженные, опе-

ратор теплопроводности нет. Для дифференциального выражения более высокого порядка, чем 2, также можно ввести понятнее формально сопряженного.

					n			∂2u
					X
	u = r · r =							∂xk2		,
	∂2u				k=1	∂2u
	∂2u		n	∂2u		∂2u
a =		− a	X		=				− a2 u.
a =	∂t	− a	k=1	∂xk2	=		∂t2		− a2 u.
			k=1

§ 3. Формулы Грина

Пусть имеем дифференциальное выражение, записанное в виде (2.3)

∂

∂u

L u =

Aαβ

+ Bα

+ Cu,

(3.1)

∂xα

∂xβ

∂xα

Aαβ C(2)(Ω),

Bα C(1)(Ω),

C C(0)(Ω).

Пусть u, v C(2)(Ω). Составим интеграл

∂

∂u

ZΩ

v L udΩ = ZΩ

Aαβ

dΩ + ZΩ

v Bα

+ Cu dΩ.

(3.2)

∂xα

∂xβ

∂xα

Для первого интеграла справа формула интегрирования по частям, а затем фор-

мула Гаусса–Остроградского, приводяе (3.2) к виду (первой формуле Грина):

∂v

∂u

ZΩ

v L udΩ = − ZΩ

Aαβ

dΩ + ZΩ

v Bα

+ Cu dΩ + Z

vAαβ

cos(n, xα)d ,

∂xα

∂xβ

∂xα

∂xβ

(3.3)

где n внешняя нормаль к . Формула Гаусса – Остроградского:

			r · wdΩ =		w · ndS.
		Ω			S
Пусть M формально сопряженное для L, тогда первая формула Грина для M
дает (используя (2.5))								−Bα ∂xα +
ZΩ	u M vdΩ = − ZΩ Aαβ ∂xα ∂xβ dΩ + ZΩ						u	−Bα ∂xα +
				∂u	∂v				∂v
								(3.4)
		∂Bα				∂v
	+ C −		v dΩ + Z		uAαβ		cos(n, xα)d .
	+ C −	∂xα	v dΩ + Z		uAαβ	∂xβ	cos(n, xα)d .

М.А. Греков

Уравнения математической физики

Вычтем (3.4) из (3.3), тогда первые интегралы по Ω исчезнут. Кроме того, инте-

грируя по частям, имеем

∂v

∂

− ZΩ

uBα

dΩ = − ZΩ

(uBαv) dΩ + ZΩ

(uBα) dΩ =

∂xα

= − Z

uvBα cos (n, xα) d + ZΩ

vBα ∂xα

+ uv

∂xα dΩ.

∂u

∂Bα

Отсюда следует, что объемные интегралы при вычитании исчезают. В результате

получим вторую формулу Грина.

− u∂xα

+ Bαuv cos (n, xβ) d .

ZΩ

[v L u − u M v] dΩ = Z

Aαβ v ∂xα

(3.5)

∂u

∂v

Или, в другой записи:

[v L u − u M v] dΩ = Z

A (vru − urv) + Buv ·

nd .

Если M ≡ L, то Bα ≡ 0, то первая формула Грина принимает вид

∂v ∂u

∂u

ZΩ

v L udΩ = − ZΩ

Aαβ

dΩ + ZΩ

CuvdΩ + Z

vAαβ

cos(n, xα)d ,

∂xα

∂xβ

а вторая формула Грина вид

v ∂xα − u

∂xα cos (n, xβ ) d .

ZΩ [v L u − u M v] dΩ = Z

Aαβ

∂u

∂v

Напишем формулы Грина для основных операторов.

(3.6)

(3.7)

1. Оператор Лапласа

∂2u

формально самосопряженный, Bα = 0,

k=1

∂x

формула Грина.

αβ = δαβ , C = 0. Первая

∂v

∂u

ZΩ

udΩ = − ZΩ

dΩ + Z

d =

(3.8)

∂xα

∂n

= ZΩ

rv · rudΩ + Z

vru · nd .

Два частных случая:

а) u = v:

∂u

Z u

udΩ = − Z

k=1

dΩ + Z

d =

(3.9)

∂xk

∂n

М.А. Греков Уравнения математической физики

= ZΩ

(ru)2 dΩ + Z

uru · nd .

∂u

Интеграл

k=1

dΩ называется интегралом Дирихле.

∂xk

б) v = 1 :

R P

udΩ = Z

∂u

d .

(3.10)

∂n

Вторая формула Грина для оператора Лапласа:

∂n d .

ZΩ

u − u

v) dΩ = Z

v ∂n − u

(3.11)

∂u

∂v

2. Оператор теплопроводности

∂

n−1

∂2

L =

∂xn

−

∂xk2

k=1

не является самосопряженным.

Ann = 0, Akk = −1, k = 1, n − 1, Aαβ = 0, α 6= β,

Bn = 1, Bk = 0, k = 1, n − 1,

C = 0.

∂

n−1

∂2

M = −

∂xn

−

∂xk2

k=1

Первая формула Грина:

n−1

∂u ∂v

∂u

v L udΩ = Z

k=1 ∂xα ∂xk + v ∂xn ! dΩ −

Вторая формула Грина:

∂xk

Z (v L u − u M v) dΩ = Z "− k=1 v ∂xk − u

n−1

∂u

∂v

∂2

n−1

∂2

3. Волновой оператор =

∂xn2

−

∂xk2

, M u ≡ u

k=1

	v n−1	∂u		n , x	d .
	v n−1			n , x	d .
	X				k)
Z	k=1 ∂xk cos(→−				k)
	n , x	k) +	uv	n , x			d	.
cos(→−		k) +		cos(→−		n)#

формально самосопряженный.

Ann = 1, Aαβ = −δαβ , α, β = 1, m − 1, C = 0.

Первая формула Грина:


Ω	Ω	X				∂u ∂v
		n−1 ∂u ∂v				∂u ∂v
Z	v udΩ = Z "k=1				−		# dΩ+
Z	v udΩ = Z "k=1		∂xk	∂xk	−	∂xn ∂xn	# dΩ+

М.А. Греков Уравнения математической физики

∂u

n , x

n−1

∂u

n , x

d .

"∂xn

cos(→−

∂xk cos(→− k)#

n) −

k=1

Вторая формула Грина:

" v ∂xn − u

∂xn cos(n, xn)−

ZΩ

(v u − u v) dΩ = Z

∂u

∂v

− k=1

v ∂xk

− u∂xk cos(n, xk)#d .

n−1

∂u

∂v

§ 4. Существование и единственность задачи Коши для уравнения гиперболического типа с двумя

независимыми переменными

4.1Существование

Рассмотрим уравнение

∂2u	+ a(x, y)	∂u	+ b(x, y)	∂u	+ c(x, y)u = f(x, y),
∂x∂y		∂x		∂y

где a, b, c, f – непрерывные функции.

Уравнение характеристик

∂ω ∂ω	= 0	∂ω	= 0,	∂ω	= 0,

∂x ∂y		∂y		∂x

(4.1)

(4.2)

ω = f1(y), ω = f2(x) решение уравнений (4.2). Следовательно, x = const,				y =
const характеристики уравнения (4.1).
Пусть в плоскости xOy дана дуга кривой l, которая пересекается с прямыми x =
const, y = const не более, чем в одной точке (Рис. 3.2). Уравнение этой дуги:
y = g(x) или x = h(y).				(4.3)
Считаем, что существует g0(x) = 0 и h0	(x) = 0. Пусть вдоль l заданы
6			6
		∂u

u\|y=g(x) = ϕ0(x),		∂y	y=g(x) = ϕ1(x),	(4.4)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 175 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.2015165.89 Кб47uchebnik-stihoslozheniya.doc
#
17.08.2019841.22 Кб2uchebnoe_posobie.doc
#
11.11.20191.12 Mб4Uchebnoe_posobie_po_strakh_SFU2008.doc
#
20.12.20181.85 Mб10uchit_mikra.docx
#
01.08.2019313.34 Кб3UIP_bragintsa.doc
#
21.03.2016948.39 Кб47UMF-BOOK.pdf
#
18.08.20192.25 Mб38UMK_Kriminologija.doc
#
30.10.20182.35 Mб19UMK_TGP(2).doc
#
31.08.2019108.03 Кб1Understanding Negotiations - 1final.doc
#
22.07.201968.61 Кб0Unit1.doc
#
22.07.201981.92 Кб0Unit2.doc