UMF-BOOK

М.А. Греков Уравнения математической физики

Будем считать (без ограничения общности), что каждая из систем {pj(x)},

{qj (y)}, j = 1, N линейно независима.

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма II рода с вырожденным ядром:

неизвестные постоянные. Найдем ck так, чтобы функция (2.3) являлась бы решением

уравнения (2.2). Подставим (2.3) в (2.2). Тогда имеем

откуда, вследствие линейной независимости функций pk(x), k = 1, N, следует, что

Таким образом, задача отыскания решения ϕ(x) интегрального уравнения (2.2)

редуцирована (сведена) к решению системы (неоднородных) алгебраических уравнений (2.5).

Точно так же соответствующее однородное уравнение

Z b XN

151

k=1

Как известно из линейной алгебры, система (2.5) имеет единственное решение при любой правой части, если выполнено

Так как det M(λ) - полином степени N, то существует конечное число m ≤ N значений λ1, . . . , λm нулей этого полинома, и, следовательно, для этих λ условие (2.9)

нарушается. Эти значения λi, i = 1, m называются собственными значениями ядра K(x, y), все остальные λ - правильные.

Таким образом, для любого λ < ∞, λ =6 λi, i = 1, m система (2.5) имеет единственное решение {c1, . . . , cN }. Подставив это решение в (2.3), получим решение инте-

грального уравнения (2.2). Итак, доказана теорема:

Первая теорема Фредгольма. Если λ не является собственным числом K(x, y), то интегральное уравнение (2.2) при любой непрерывной правой части f(x) имеет, и

при том единственное, решение.

Союзное с (2.7) интегральное уравнение в силу (0.3) имеет вид:

152

получаем по N − r линейно-независимых решений однородного интегрального уравнения (2.7) и (2.10) для каждого собственного числа λi.

Вторая теорема Фредгольма. Однородное интегральное уравнение (2.7) и союзное с ним (2.10) имеют ровно N − r линейно-независимых решений при любом λ = λi

(det M(λ) = 0), где r ранг матрицы M(λi). Функции ϕ0l i(x), l = 1, N − r называются собственными функциями ядра K(x, y), соответствующими собственном

числу λi.

Вернемся к решению неоднородного уравнения (2.2). Соответствующая система (2.5) относительно коэффициентов разложения функции ϕ(x) имеет решение не для любых правых частей, то есть не для любого вектора γ = (γ1, . . . , γN ), если

λ = λi, i = 1, m, m ≤ N.

Для разрешимости системы (2.5) необходимо и достаточно, чтобы вектор γ был ортогонален решению {d01il, . . . , d0Nil} системы уравнений (2.11), союзной системе уравне-

ний (2.8), т. е.

XN

153

М.А. Греков Уравнения математической физики

Таким образом пришли к формулировке теоремы

Третья теорема Фредгольма. При значениях λ = λi, i = 1, m для разрешимости

интегрального уравнения (2.2) необходимо и достаточно, чтобы правая его часть f(x) была ортогональна ко всем решениям ψl0i(x), l = 1, N − r однородного урав-

нения (2.10), союзного с однородным уравнением (2.7).

§ 3. Понятие итерированного ядра и резольвенты

Вернемся к методу последовательных приближений, рассмотренному ранее при услови-

Определение. Ядро Kj (x, y) называется итерированным или повторным.

154

М.А. Греков Уравнения математической физики

Заметим, что R(x, y, λ) непрерывная функция (в следствие равномерной сходимости ряда (3.6)) относительно x, y в квадрате x [a, b], y [a, b] и аналитична (то есть разложима в степенной ряд (3.6)) по λ как для вещественных, так и для комплексных значений λ в круге |λ| < M1 .

Поэтому из (3.8) следует, что, в силу непрерывности f(y), непрерывным является решение ϕ(x).

§ 4. Общий случай интегрального уравнения Фредгольма II рода с непрерывным ядром.

Альтернатива Фредгольма

Изучим теперь решение уравнения (3.7), если параметр λ не обязательно удовлетворяет условию (3.1). Известно, что для функции K(x, y), непрерывной в квадрате [a, b] × [a, b],

155

М.А. Греков Уравнения математической физики

для любого ε > 0 существуют такие линейно-независимые системы непрерывных функ-

ций

Тогда для уравнения (4.4), в силу (4.3), выполнено условие (3.1) и, следовательно, уравнение (4.4) однозначно обращается.

Обозначив через Kε(x, y, λ) резольвенту ядра Kε(x, y), уравнение (4.4) запишем в

a j=1

где Z b

rj(x) = pj(x) + λ Rε(x, t, λ)pj(t)dt,

a

156

Таким образом, для любого конечного фиксированного λ интегральное уравне-

ние (3.7) эквивалентно интегральному уравнению Фредгольма II рода (4.8) с вырожденным ядром.

Используя три теоремы Фредгольма для интегрального уравнения с вырожденным ядром, приходим к следующей альтернативе:

Альтернатива Фредгольма. Для любого фиксированного конечного λ

1)либо соответствующее уравнению (3.7) однородное уравнение не имеет нетривиального (не равного нулю) решения и тогда уравнение (3.7) всегда имеет и при том единственное решение при любой правой части f(x),

2)либо однородное уравнение имеет нетривиальные решения и тогда как однородное уравнение Фредгольма II рода, так и союзное с ним уравнение имеют одинаковое конечное число линейно-независимых решений. В этом случае для разрешимости неоднородного уравнения Фредгольма II рода (3.7) необходимо и достаточно, чтобы его правая часть f(x) была ортогональна ко всем решениям

союзного с однородным уравнением Фредгольма II рода уравнения, т. е.

157

Из формулы (4.11) следует:

Утверждение. Если λ и ϕ(x) собственное число и соответствующая ему собственная функция ядра K(x, y), то λm и ϕ(x) собстывенное число и соответствующая ему собственная функция итерированного ядра Km(x, y).

Можно доказать, что верно и обратное утвердение.

Замечание 2. Все изложенное относительно одномерного интегрального уравнения Фредгольма II рода распространяется непосредственно на случай m-мерного уравнения Фредгольма II рода с непрерывным ядром K(x, y) и непрерывной правой частью f(x).

Замечание 3. Более широким классом функций, для которого справедлива теория Фредгольма, является множество функций, суммируемых с квадратом на рассматриваемом измеримом множестве Ω. В случае лебеговой меры для уравнения Фред-

Тогда все сказанное относительно непрерывного решения уравнения Фредгольма II рода справедливо в отношении решения уравнения (4.12), принадлежащего классу функций L2(Ω) Z

|u(x)|2 dx < ∞. (4.14)

Ω

Т.е. u(x) квадратично суммируемая функция.

158

М.А. Греков Уравнения математической физики

Замечание 4. Альтернатива Фредгольма верна и в случае ядер со слабой особенно-

где K (x, y) непрерывная функция по x и y, m0 размерность области Ω (или ее

границы). Справедливость этого вытекает из того факта, что итерированное ядро уравнения (4.11) для ядра (4.15) при достаточно большом m представляет собой непрерывную функцию переменных x и y.

В частности, если в (4.15) α < m0/2, то (4.15) ядро Фредгольма, удовлетворяю-

щее (4.13) и соответствующее уравнение (4.12) с ядром (4.15) является уравнением Фредгольма II рода.

Замечание 5. Частным случаем уравнения Фредгольма II рода, когда K(x, y) = 0 при

§ 5. Понятие спектра ядра Фредгольма

Определение. Множество всех собственных чисел ядра K(x, y) называется спектром

этого ядра.

Изучение спектра ядер занимает значительное место в теории интегральных уравнений. Спектр вырожденного ядра уравнения Фредгольма II рода состоит из конечного числа элементов, а спектр ядра уравнения Вольтерра II рода является пустым.Уравнение Вольтерра II рода всегда разрешимо, а соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное решение.

Среди других ядер, спектр которых хорошо изучен, особо следует выделить действительные симметричные ядра.

Определение. Ядро K(x, y) называется симметричным, если для любых x, y Ω вы-

полнено

K(x, y) = K(y, x).

Если ϕ1(x), ϕ2(x) собственные функции симметричного ядра, соответствующие

159

М.А. Греков Уравнения математической физики

ϕ1(x) − λ1 K(x, y)ϕ1(y)dy = 0 | × λ2ϕ2(x)

a

R

ϕ2(x) − λ2 K(x, y)ϕ2(y)dy = 0 | × λ1ϕ1(x),

a

Z b Zb

= λ1λ2 ϕ2(x)dx [K(x, y) − K(y, x)]ϕ1(y)dy = 0,

a

a

откуда и следует равенство (5.1), если только λ1 =6 λ2. Из (5.1) следует, что собственные

числа симметричного ядра не могут быть комплексными.

Действительно, если собственное число λ и соответствующая ему собственная

функция - комплексные, т.е.

λ = λ1 + iλ2, ϕ(x) = ϕ1(x) + iϕ2(x),

то λ и ϕ(x) тоже собственное число и собственная функция соответственно. Если λ2 =6 0, т.е. λ =6 λ, то

Zb Zb

ϕ(x)ϕ(x)dx = |ϕ(x)|2 dx = 0

a a

ϕ(x) ≡ 0, что невозможно в силу определения собственной функции λ2 = 0.

§ 6. Применение теории Фредгольма к внутренней задаче Дирихле

Альтернатива Фредгольма применяется в теории краевых задач для гармонических функций. Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле.Ее решение ищется в виде потенци-

160