UMF-BOOK

где jαβ = const, или в матричной форме

ξ = Jx.

Зафиксируем точку x. Тогда в точке x можно выбрать J так, чтобы

Такой вид уравнения второго порядка называется каноническим. Канонический вид уравнения связан с его типом.

Закон инерции квадратичной формы. Разность между числом положительных и отрицательных коэффициентов νk не зависит от преобразования, приводящего матрицу A к диагональному виду. Эта разность называется сигнатурой. Общее число положительных и отрицательных коэффициентов νk так же не

зависит от выбора такого преобразования.

В силу закона инерции квадратичной формы среди νk столько же положительных, отрицательных и нулевых, сколько их среди чисел λk – характеристических (собственных) чисел матрицы A. Отсюда, тип уравнения определяется его каноническим видом.

e

Канонический вид линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно упростить, избавившись от первых производных. Пусть имеем

и νk =6 0 для всех k = 1, n, то есть (3.4) не параболического типа. Введем функцию v.

31

Если Aij = Aij(x), то для каждой точки может существовать свое преобразование

(3.1), приводящее дифференциальное уравнение к каноническому виду (3.2), хотя тип уравнения может быть в различных точках один и тот же.

Исключением является уравнение в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными. В области, где тип уравнения не меняется, оно может быть приведено к каноническому виду одним преобразованием.

3.1Случай двух независимых переменных

где A, B, C функции от x, y, имеющие непрерывные производные до второго порядка включительно. При любых x, y коэффициенты A, B, C одновременно в нуль не обраща-

ются.

Найдем характеристические числа матрицы

Согласно теореме Виета λ1 · λ2 = AC − B .

Уравнение принадлежит эллиптическому типу, если

B2 − AC < 0 λ1 · λ2 > 0,

32

можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению следующим образом. Пусть ω(x, y) решение уравнения (3.10). Рассмотрим характеристику (характе-

ристическую кривую)

Равенство (3.12) можно записать еще так

rω · (dx, dy) = 0

Это значит, что вектор (dx, dy) лежит в плоскости, касательной характеристической поверхности (3.11). Направление (dx, dy) называется характеристическим на-

правлением.

Из (3.12) следует

Обратно:

Пусть (3.11) общий интеграл уравнения (3.14) для любой точки (x, y). Обозначим (x0, y0) некоторую фиксированную точку. Проведем через (x0, y0) интегральную кривую ω(x, y) = const уравнения (3.14), полагая

ω(x0, y0) = C0.

Тогда уравнение интегральной кривой: ω(x, y) = C0, или в явном виде

y = f(x, C0).

(3.15)

33

в произвольной точке (x0, y0) на характеристике. Таким образом, общий интеграл урав-

нения (3.14) удовлетворяет уравнению характеристик (3.10), т. е. является характери-

совпадающие для параболического уравнения и различные в остальных случаях. Рассмотрим уравнение

ym ∂2u + ∂2u = 0, m = 2k + 1, k = 0, 1, 2, . . .

∂x2 ∂y2

следовательно, уравнение (3.14):

ymdy2 + dx2 = 0,

тогда первое уравнение при y > 0 не имеет вещественных характеристических направлений, при y = 0 одно, при y < 0 два характеристических направления в любой

точке. Уравнение характеристик

34

2. B2 − AC = 0 параболический тип уравнения (3.9).

Пусть ξ(x, y) = const общий интеграл обоих уравнений в (3.17). Введем новые переменные ξ, η, где η(x, y) любая функция, независимая от ξ(x, y) и такая, что пре-

3. B2 − AC > 0 – гиперболический тип уравнения (3.9).

Пусть ξ(x, y) = const, η(x, y) = const – общие интегралы (3.17). Введем новые

Уравнение (3.18) имеет два решения (ωe = ξ, ωe = η)

35

Другой вид уравнения гиперболического типа можно получить, если за новые переменные взять ξ и η, тогда ω = ξ и ω = η – решения уравнения (3.18), следовательно,

или

dy + (sin x + 1)dx = 0, dy + (sin x − 1)dx = 0,

36

Общий интеграл принимает вид

u(x, y) = f1(x + y − cos x) + f2(x − y + cos x).

N

37

Глава 3

Дифференциальные уравнения в частных производных гиперболического типа

§ 1. Применение метода характеристик к изучению малых поперечных колебаний струны

1.1Неограниченная струна

следовательно,

dx2 − a2dt2 = 0,

а значит, характеристиками являются прямые

где x неподвижная ось координат, ξ = x−at подвижная ось координат, двигающаяся со скоростью a вправо.

u = g1(ξ) + g2(η)

Если g1, g2 дважды непрерывно дифференцируемые функции, то (1.3) решение

уравнения (1.1).

38

М.А. Греков Уравнения математической физики

Физический смысл:

Пусть g2 = 0, то есть u = g1(x − at). Рассмотрим положение струны в точке x = C при t = 0, которое равно u(C, t)|t=0 = g1(C). При движении наблюдателя со скоростью a

вположительном направлении оси x наблюдатель будет видеть то же положение точки струны, которое он видел в момент времени t = 0. Действительно, в момент t в точке

x = C+at > C отклонение струны равно u(C+at, t) = g1(C) = u(C, 0). Так как x = C+at, то скорость движения отклонения dx/dt = a. Таким образом, наблюдатель, находящийся

вточке C, двигаясь со скоростью a вправо, попадает в точку x, положение струны в которой совпадает с положением в точке C при t = 0. Явление, описываемое функцией

u1 = g1(x − at), называется распространением прямой волны, u2 = g2(x + at)

обратной волной.

Графический способ построения для любого t:

Строим кривые uj = gj(x), j = 1, 2, изображающие прямую и обратную волны при t = 0 и передвигаем их в разные стороны со скоростью a, g1(x) вправо, g2(x) влево,

затем суммируем.

До точки x в момент t0 дойдут начальные возмущения тех точек струны, которые

Можно сказать, что возмущение распространяется вдоль характеристик. Обозначим

39

М.А. Греков Уравнения математической физики

x−at

Решение уравнения (1.1) в виде (1.3) и (1.7) называется решением Даламбера (J. R. d’Alambert, 1717–1783).

Решение (1.7) существует, если

1)ψ1 дважды непрерывно дифференцируема,

2)ψ2 один раз непрерывно дифференцируема.

Задача Коши поставлена корректно:

1)решение (1.7) единственно по построению,

2)существует непрерывная зависимость решения от начальных данных.

Действительно, для любого ε > 0 δ1, δ2 > 0 такие, что при

x−at

Пусть x > b. Так как x + at > b для любого t, то ψ1(x + at) = 0, следовательно

u(x, t) = 12ψ(x − at).

Рассмотрим этапы прохождения волны:

40