UMF-BOOK

М.А. Греков Уравнения математической физики

следовательно тип (α, β, γ) равносилен типу (β, α, γ). Уравнение (3.1) принадлежит к типу (α, β, γ) на множестве D если в любой точке x D (3.1) принадлежит к типу

(α, β, γ).

где n – ранг матрицы или размерность пространства.

по теореме Виета

λ1 = 1 + x2 + y2, λ2 = 1.

Таким образом, уравнение (3.2) принадлежит типу (2, 0, 0) для любых x, y.

N

11

М.А. Греков Уравнения математической физики

Пример 7. Тип C (уравнение Лапласа).

u = f(x, t),

N

Существуют и другие типы уравнений. Например, уравнения типа (α, β, γ) при

α ≥ 2, β ≥ 2 называются ультрагиперболическими.

тип (2, 2, 0).

N

Тип вышеперечисленных уравнений не зависел от выбора точки x.

Определение 2. Уравнения, меняющие тип в зависимости от x называются

уравнениями смешанного типа.

Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка также подчиняются классификации по типам. Пусть u(x) некоторая функция, x D Rn. Рассмотрим нелинейное дифференциальное выражение

Определение 3. Выражение (3.3) в точке x на произвольной функции u(x) принадлежит типу (α, β, γ) если матрица A имеет α положительных, β отрицательных и γ нулевых чисел, при этом (α, β, γ) = (β, α, γ). Тип (n − 1, 1, 0) называется гиперболическим, (n − 1, 0, 1) параболическим, (n, 0, 0) эллиптическим. Понятие типа

распространяется и на уравнение

F (x, u, p1, . . . , pn, p11, . . . , pnn) = 0

13

собственные числа λ1 = 1 + p21 + p22 > 0, λ2 = 1 > 0. Тип (2, 0, 0) эллиптический на любом решении u(x).

N

§ 4. Краевые условия и краевые задачи

Пример 10. Рассмотрим уравнение

Для бесконечной струны условия (4.3) отсутствуют. Условия (4.2), (4.3) – краевые или граничные, условия (4.2) – начальные условия.

Условия согласования: S

Пусть ищем u C2(D) C(D), тогда из непрерывности u(x, t) на границе области ∂D следуют условия:

вия:

ψ100(0) − a2ϕ000 (0) = f(0, 0), ψ200(0) − a2ϕ000(l) = f(l, 0),

Для других граничных условий, очевидно, условия согласования будут другими. Можно показать, тем не менее, что при достаточно слабых ограничениях на дан-

ные уравнение (4.1) имеет одно и только одно решение, удовлетворяющее начальным условиям (4.2) и краевым условиям (4.3). То есть уравнения (4.1) – (4.3) содержат всю информацию, необходимую для исследования явления колебания струны (решение единственно) и не содержат избыточной, противоречивой информации (решение существует).

14

Пример 11. Стационарное распределение температур.

Пусть однородное изотропное тело занимает в Rn область Ω с границей ∂D = . F (x) – интенсивность источников тепла, распределенных в Ω. То есть в любой выделенной области Ω0 Ω за некоторый промежуток времени δt выделяется количество

тепла Z

δt F (x)dx.

Ω0

Допустим, что в теле установилось стационарное, не зависящее от t распределение

температур. В трехмерном случае в неоднородной и неизотропной (анизотропной) среде под действием источников тепла интенсивности F (x1, x2, x3) стационарное распределе-

ние температур описывается уравнением Лапласа (эллиптический тип)

Здесь f(x) отличается от F (x) некоторым постоянным множителем.

Одного этого уравнения недостаточно для определения функции u(x), так как (4.4)

имеет бесконечное множество решений.

Пусть можно измерить температуру на = ∂D. Тогда считается известной функция ϕ(x):

Задача (4.4), (4.5) имеет в достаточно широком диапазоне условий единственное решение. Задача интегрирования (4.4) при условиях (4.5) называется задачей Дирихле.

При известном тепловом потоке через считается, что

где ψ(x) с точностью до константы совпадает с интенсивностью потока тепла в точке x , n внешняя нормаль.

Для уравнения

то есть при Ajk = δjk условие (4.6) имеет вид

∂u

= ψ(x). (4.8)

∂n

Задача (4.4), (4.6) или (4.7), (4.8) носит название задачи Неймана. Задачи Дирихле и Неймана можно ставить в n-мерных пространствах.

N

15

4.1Общая формулировка понятий краевых условий и краевой задачи

Пусть дано дифференциальное уравнение в частных производных:

решение которого ищется в области Ω Rn, = ∂Ω. На или ее части задаются

значения одного или нескольких дифференциальных выражения от искомой функции

Равенство (4.10) называется краевым условием, а задача об интегрировании уравнения (4.9) при условиях (4.10) называется краевой задачей.

§ 5. Задача Коши

Для линейного дифференциального уравнения второго порядка

задача Коши ставится так:

Пусть поверхность в Rn переменных x1, . . . , xn. С каждой точкой x свяжем направление λ, некасательное к . В окрестности (односторонней или двусторонней)

требуется найти решение уравнения (5.1), удовлетворяющее условиям Коши

данными Коши, а поверхностью Коши.

Краевые условия (4.2) условия Коши для уравнения колебания струны, ось x

поверхность Коши.

В задаче Коши заранее не указывается область, где ищется решение. Тем не менее, задачу Кошу будем рассматривать как одну из краевых задач.

Зная условия Коши (5.1), можно найти значения всех первых производных искомой функции на . Покажем это.

Введем в точке x местную систему координат так, что оси ξ1, . . . , ξk лежат в n − 1-мерной плоскости αn−1, касательной к в этой точке.

16

М.А. Греков Уравнения математической физики

Задача Коши. Найти функции u1(t, x), . . . , uN (t, x), которые при значениях t, достаточно близких к нулю, удовлетворяют системе (5.3), а при t = 0 удовлетворяют

начальным условиям (условиям Коши)

Определение 2. Будем говорить, что функция Φ(y1, . . . , ys) – переменных y1, . . . , ys аналитична в окрестности значений yk = yk(0), k = 1, s, если Φ разлагает-

ся в степенной ряд

сходящийся, когда |yk − yk(0)| достаточно малы.

В (5.4) γ = (γ1, . . . , γs), y = (y1, . . . , ys), y(0) = (y1(0), . . . , ys(0)).

Справедлива следующая теорема Коши – Ковалевской:

Теорема 1. (Коши – Ковалевской) Пусть начальные функции ϕjk(x) аналитичны в окрестности некоторой точки x(0) Rm, x(0) = (x(0)1 , . . . , x(0)m ), а функции Fj

аналитичны в окрестности значений

Тогда задача Коши для системы (5.3) при начальных значениях (5.4) имеет одно и

только одно решение, аналитическое относительно переменных t, x1, . . . , xm в окрестности значений t = 0, xj = x(0)j , j = 1, m.

Единственность решения задачи (5.3), (5.4) в классе функций, не аналитических, но достаточно гладких было доказано Хольмгреном. Довольно полные доказательства теорем Коши – Ковалевской и Хольмгрена приведены в книге [?], а для линейных систем вида (5.3) теорема Коши – Ковалевской доказана в книге [?].

§ 6. Проблемы существования, единственности и корректности для краевой задачи.

Пусть поставлена некоторая краевая задача. Решить ее найти все функции, удовлетворяющие дифференциальному уравнению и данным краевым условиям.

18

Обычно искомую функцию подчиняют еще некоторым ограничениям общего характера, которые дают возможность рассматривать эту функцию как элемент того или иного функционального пространства. Обозначим его B1, т. е. u B1.

Так, ставя задачу Дирихле для уравнения Лапласа, можно потребовать, чтобы искомая функция была непрерывна в замкнутой области Ω = Ω . В этом случае искомая функция, если она существует, есть элемент пространства C(Ω).

Другие ограничения: интегралы

конечны. В этом случае искомую функцию u можно рассматривать как элемент такого

Заметим, что пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность имеет предел, принадлежащий этому пространству. Полное унитарное векторное пространство называется гильбертовым.

Ограничения, накладываемые на искомую функцию u(x), вынуждают наклады-

вать ограничения и на заданные функции, входящие в правые части дифференциального уравнения и краевых условий. Эти правые части можно рассматривать как элемент некоторого другого пространства B2. Во многих интересных случаях B1 и B2 банахо-

вы пространства, т. е. полные нормированные пространства.

Рассмотрим случай линейных дифференциальных выражений как в дифференциальных уравнениях, так и краевых условиях.

Совокупность этих дифференциальных выражений порождает некоторый линейный оператор U, который действует из B1 в B2 и преобразует функцию u(x) в совокуп-

ность правых частей дифференциального уравнения и краевых условий. Обозначим эту совокупность за Φ. Тогда краевая задача записывается в виде

Оператор U называется оператором данной краевой задачи. Теперь можно сказать: Решить краевую задачу (6.1) значит найти все элементы пространства B1, которые преобразуются оператором U в заданный элемент Φ B2.

Обычно стараются ставить такие краевые условия, чтобы краевая задача имела единственное решение. Это требует в каждом случае доказательство теоремы существования и теоремы единственности.

Теорема единственности равносильна утверждению, что существует оператор U−1, обратный U. А теорема существования что область значений оператора U совпадает

с B2.

Если верны обе теоремы, то U−1 существует и определен на всем пространстве B2. При решении краевых задач важную роль играет также вопрос о корректности

краевой задачи. К нему легко подойти с помощью простых физических соображений.

19

При определении физических величин в процессе измерений неизбежно допускается некоторая погрешность. В частности, с погрешностью определяется элемент Φ в (6.1)

– совокупность данных краевой задачи. Возникает вопрос: как погрешность в данных краевой задачи отразится на ее решении? В связи с этим можно дать такое определение:

Определение 1. Краевая задача называется корректной в паре банаховых пространств (B1, B2), если решение краевой задачи единственно в B1 и существует при любых данных из B2 и если достаточно малому изменению данных в норме B2 соответствует сколь угодно малое изменение в норме B1.

Имеет место теорема:

Теорема 2. Для того, чтобы линейная задача (6.1) была корректна в паре банаховых пространств (B1, B2), необходимо и достаточно, чтобы существовал оператор R = U−1, действующий из B2 в B1, причем область определения D(R) = B2 и R ограничен как оператор из B2 в B1

U

R1 → R2,

R

R2 → R1.

Определение 2. Оператор R ограничен, если существует k = const > 0, такое что k R ΦkB1 ≤ kkΦkB2 .

Пусть M и N – линейные нормированные пространства с нормами k kM и k kN соответственно (например, N = C(T ), M = L2(G) множество функций, непрерывных на T и множество функций, суммируемых с квадратом на G).

Определение 3. Линейный оператор L, переводящий M в N

L

M → N

называется ограниченным из M в N, если существует такое число C > 0, что для любого f M справедливо равенство

kfkN < CkfkM .

Важно подчеркнуть, что корректность и некорректность задачи зависит от того, в какие пространства погружаются данные и искомые величины. Одна и та же задача может быть корректной в одной паре пространств и некорректной в другой. Примеры некорректных краевых задач:

Пример 12. (Адамара) Принадлежит Адамару, который впервые ввел понятие корректности краевой задачи.

20