UMF-BOOK

Вычислим теперь слабый предел функции fε(x) при ε → 0, т.е. для любой функции

R

ϕ(x) C(R3) найдем предел

fε(x)ϕ(x)dx и покажем, что

V

ε→0 VZ

ε

(x)ϕ(x)dx = ϕ(0),

{

0

}

V.

(8.4)

lim

f

fε(x)ϕ(x)dx

−

ϕ(0)

=

3

(ϕ(x)

−

ϕ(0)) dx

≤

4πε

3

Z

Z

3

3

ϕ(x)

ϕ(0) dx

< η

dx = η,

3

3

(8.5)

Dε

ZDε |

Dε

4πε DZε

≤ 4πε

−

|

fε(x)−→ δ(x)

ε→0

в том смысле, что для любой ϕ(x) C справедливо соотношение:

Z

fε(x)ϕ(x)dx−→(δ, ϕ) ≡ ϕ(0).

(8.6)

ε→0

В частности, в одномерном случае, δ(x) обладает свойствами:

δ(x) = 0, x 6= 0,

(8.7)

Z∞ δ(x)dx = 1,

(8.8)

−∞

ZA f(x)δ(x)dx = f(0).

(8.9)

−A

R

∞

Если из выполнения неравенства

f(x)dx < ∞ следует, что

−∞

f(x) = O(x−α), α > 1,

x → ∞,

(8.10)

то в (8.9) можно принять A = ∞. В соответствии с (8.9) δ-функция как подынтеграль-

ный сомножитель может быть определена равенством:

δ(x) =

∂h(x)

= h0

(x),

(8.11)

∂x

где h(x) функция Хевисайда, равная

0, x < 0.

h(x) =

1, x > 0,

Действительно, учитывая (8.10),

Z∞ f(x)h0(x)dx = f(x)h(x)|−∞∞ − Z∞ f0(x)h(x)dx = − Z∞ f0(x)dx = f(0).

−∞

−∞

0

Za f(x)h0(x)dx = f(x)h(x)|−a a − Za f0(x)dx = f(a) − f(a) + f(0).

−a

0

1

2

fε(x) =

2√

e−x /4ε,

(A)

πε

fε(x) =

1

ε

,

(B)

π π

2

+ x

2

sin

x

1/ε

Z

fε(x) =

ε

=

eixtdt.

(C)

πx

согласно (8.4) и (A)-(C).

) ( − ) =

ε→0 Za

( ) ε( − ) =

Za

b

b

ϕ(ξ δ ξ

x dξ

lim

ϕ ξ f

ξ x, ε dξ

= ε→0

Z

ε

(8.12)

b−x

lim

ϕ(t + x)f (t, ε)dt = ϕ(x),

a−x

где ξ − x = t, a < x < b, следовательно, t = 0 [a − x, b − x], кроме того:

b

∂δ(ξ − x)

b

∂fε(ξ − x, ε)

ϕ(ξ)

dξ = lim

ϕ(ξ)

dξ,

(8.13)

Za

∂ξ

ε→0 Za

∂ξ

следовательно, при x → 0

|a|δ(a2) = δ(a)

Для трехмерной δ-функции при ξ, x R3

Z∞ Z∞ Z∞

(8.16)

δ(ξ1 − x1, ξ2 − x2, ξ3 − x3)dξ1dξ2dξ3 = 1.

−∞ −∞ −∞

δ(ξ1 − x1, ξ2 − x2, ξ3 − x3) = δ(ξ − x) = 0,

если

ξ − x = (ξ1 − x1, ξ2 − x2, ξ3 − x3) 6= 0,

или

Z

δ(ξ − x)dξ = 1.

R

3

Если Ω R3 и x Ω, то

ZΩ

ϕ(ξ)δ(ξ − x)dξ = ϕ(x).

(8.17)

L[u] = −ρ(x),

(9.1)

∂u

= 0,

(9.2)

γ1Aαβ ∂xβ cos(u, xα) + γ2u

Запишем решение уравнения (9.1) в символьном

виде:

u(x) = − L−1[ρ(x)].

(9.3)

Представим правую часть уравнения (9.1) при помощи δ-функции:

ρ(x) = ZΩ ρ(ξ)δ(ξ − x)dξ.

(9.4)

М.А. Греков

Уравнения математической физики

Подставим (9.4) в (9.3), получим:

u(x) = − ZΩ ρ(ξ) L−1[δ(ξ − x)]dξ.

(9.5)

Обозначив

G (ξ, x) = − L−1[δ(ξ − x)],

(9.6)

запишем решение уравнения (9.1) в виде

u(x) = ZΩ ρ(ξ)G (ξ, x)dξ,

(9.7)

где функция G (ξ, x) является решением уравнения

L[G (ξ, x)] = −δ(ξ − x).

(9.8)

Очевидно, что если к G (ξ, x) добавить достаточно гладкую функцию V (ξ, x), удо-

влетворяющую уравнению

L[v(ξ, x)] = 0,

(9.9)

то функция

G(ξ, x) = G (ξ, x) + v(ξ, x)

(9.10)

G(ξ, x), удовлетворяющая условию (9.8) и краевому условию

γ1Aαβ ∂xβ

cos(G, xα) + γ2G = 0,

ξ , x .

(9.11)

∂G

В этом случае функция V (ξ, x) является однозначным решением краевой задачи

γ1Aαβ ∂xβ

L[v(ξ, x)] = 0,

cos(G , xα) + γ2G

(9.12)

cos(v, xα) + γ2v = − γ1Aαβ ∂xβ

= 0,

∂v

∂G

При известной функции G и

найденной из (9.12) функции V ,

решение задачи

L[u] =

∂u

,

∂t

u(x, 0) = ϕ(x),

γ1Aαβ ∂xβ

(9.13)

cos(u, xα) + γ2u = 0.

∂u

М.А. Греков

Уравнения математической физики

Решение ищем

в

области

Ω × [0

,

∞)

,

Ω

R

n, u C

Ω × [0, ∞)

и

u C2 (Ω × [0, ∞)).

u(x, t) = M[ϕ(x)].

Пусть оператор M можно представить в виде

u(x, t) = M[ϕ(x)] = ZΩ

G(x, ξ, t)ϕ(ξ)dτξ,

(9.14)

где G(x, ξ, t) ядро оператора.

Для нахождения этого ядра примем

ϕ(ξ) = δ(ξ − η).

(9.15)

Заменяя в (9.14) ϕ(ξ) на n-мерную δ-функцию, получим

u(x, t) = G(x, η, t),

рования (9.14) под знаком интеграла.

Если требуется найти решение краевой задачи для неоднородного параболического

уравнения

∂u

L[u] + f(x, t) = ρ

,

∂t

u(x, 0) = ϕ(x),

γ1Aαβ ∂xβ cos(u, xα) + γ2u = 0,

(9.19)

∂u

×

∞

)), то решение ищем в виде суммы

u

C(Ω

[0,

u = u1 + u2.

, xα) + γ2u1

= 0,

(9.20)

L[u1] = ρ ∂t1 , u1(x, 0) = ϕ(x),

γ1Aαβ ∂xβ cos(u1

(9.21)

∂u

∂u1

= 0.

L[u2] + f(x, t) = ρ ∂t2 , u2(x, 0) = 0,

γ1Aαβ ∂xβ

cos(u2, xα) + γ2u2

(9.22)

∂u

∂u2

М.А. Греков

Уравнения математической физики

Решение задачи (9.21) имеет вид (9.14)

u1(x, t) = ZΩ

G(x, ξ, t)ϕ(ξ)dτξ.

(9.23)

Покажем, что решение задачи (9.22) можно представить в виде:

u2(x, t) = Z0 t

v(x, t, τ)dτ,

(9.24)

где v(x, t, τ) решение краевой задачи

γ1Aαβ ∂xβ cos(v, xα) + γ2v = 0, (9.25)

L[v] = ρ ∂t ,

v(x, t, τ)|t−τ=0 = ρ(x)

,

∂v

f(x, τ)

∂v

Решение задачи (9.25)

v(x, t, τ) = ZΩ

G(x, ξ, t − τ)

f(ξ, τ)

dΩ.

ρ(ξ)

Действительно, из (9.24) и (9.25) следует

L[u2] = Z

t

L[v]dτ = Z

t

∂v

ρ

dτ,

∂t

0

0

∂u

= v(x, t, τ)|t−τ=0 + Z0

t

∂v

2

dτ

∂t

∂t

∂u

t

∂v

ρ

2

= f(x, t) + Z0

ρ

dτ = f(x, t) + L[u2].

∂t

∂t

Дифференциальное уравнение в (9.22) выполняется. Граничные условия в (9.22)

проверяются непосредственно. По аналогии с (9.23)

v(x, t, τ) = ZΩ G(x, ξ, t − τ)

ρ(ξ)

dτξ,

f(ξ, τ)

тогда

u2(x, t) = Z0

t

ZΩ G(x, ξ, t − τ)

f(ξ, τ

)

dτξdτ.

ρ(ξ)

− u = f(x), x Ω Rm,

(1.1)

u = 0.

(1.2)

|u(x)| ≤

C

, x → ∞,

(1.3)

|x|n−2

где n – размерность пространства, n

≥ 2, C = const.

М.А. Греков

Уравнения математической физики

u(x) = (x)n−2 + O (x)−n+2

,

C

т. е. при разложении в ряд главный член разложения будет равен:

C1

.

(x)n−2

Фундаментальным решением уравнения Лапласа является функция

1

,

n > 2,

E(x, ξ) =

(n − 2)rn−2

,

(1.4)

ln 1,

n = 2.

где r

x

ξ

r

=

– расстояние от точки x до ξ. Непосредственной проверкой убеждаемся

|

−

|

∂2E

∂

−r−n+1

∂r

=

∂

∂x2

=

∂xk

∂xk

∂xk

−r−n(xk − ξk) =

(1.5)

δ(x

−

ξ) =

0,

ξ / Ω,

Ω

Rn,

(1.6)

1,

ξ Ω,

М.А. Греков

Уравнения математической физики

Пусть область Ω Rn, Ω конечная и u(x) C2(Ω). Обозначим

u = −f(x).

(2.1)

выражение

ZΩZ

∂u ∂η

− fη dΩ = 0,

α = 1, n.

(2.2)

∂xα

∂xα

Покажем, что (2.1) вытекает из (2.2) и, следовательно, (2.1) и (2.2) равносильны.

Действительно, вычтем из (2.2) слева интеграл:

Z

∂u

η

d = 0.

∂n

Согласно формуле Грина, имеем

∂u ∂η

∂u

ZΩZ

dΩ − Z

η

d = − ZΩZ η udΩ,

∂xα

∂xα

∂n

откуда, в силу произвольности η(x) приходим к (2.1).

Введем в Ω новые переменные

(2.3)

zk = zk(x1, . . . , xn) = zk(x),

k = 1, n.