UMF-BOOK

М.А. Греков Уравнения математической физики

(минус перед вторыми интегралами в (2.5) и (2.6) из-за изменения направления внешней нормали 2 на противоположное. ) Соотношения (2.5), (2.6) равносильны следующим:

Равенство (2.7) подтверждает первую формулу в (2.2). Для подтверждения третьей формулы в (2.2) необходимо в (2.8) устремить ε → 0.

Следует отметить, что равенства (2.7) и (2.8) получены с учетом того, что свойство 3 гармонических функций верно для кусочно гладких поверхностей .

Однако, чтобы получить третью формулу в (2.2) при ε → 0 в (2.8) необходимо ужесточить требование к гладкости поверхности .

А именно, потребуем, чтобы была поверхностью Ляпунова. Тогда x существует касательная плоскость к , то есть существует нормаль к в точке x и 2 стремится к полусфере при ε → 0. Тогда

где n нормаль в точке x γ, D Rm любая область с достаточно гладкой границей γ (поверхностью Ляпунова).

141

§ 3. Потенциал двойного и простого слоя

Пусть Ω Rm конечная область с достаточно гладкой границей , а σ(ξ) заданная на вещественная непрерывная функция (достаточно быть суммируемой).

Определение 1. Потенциал двойного слоя масс (зарядов) распределенных по

142

Определение 2. Предельное расположение зарядов при |ξ00 − ξ0| → 0 называется диполем, а величины σ(ξ) и ~ν – его моментом и осью соответственно.

По определению производной в данном направлении, очевидно, что

потенциал диполя.

3.1Прямое значение потенциала двойного слоя

Будучи гармонической функцией вне потенциал двойного слоя u(x) имеет смысл и на самой . Имеет место теорема

Теорема 9. Если замкнутая ляпуновская поверхность и плотность σ(ξ) непрерывна на , то потенциал двойного слоя (3.1) имеет вполне определенное значе-

Доказательство теоремы можно найти в книге [С. Г. Михлин. Курс математической физики. 2002, стр. 365]

Определение 3. Значение потенциала двойного слоя на называется прямым

значением этого потенциала.

Частный случай потенциала двойного слоя – с точностью до множителя интеграл Гаусса

u(x) = |S1|w0(x)

который, как было показано, равен

3.2Предельные значения потенциала двойного слоя

На примере интеграла Гаусса видно, что, вообще говоря, потенциал двойного слоя терпит разрыв при переходе через поверхность .

143

М.А. Греков Уравнения математической физики

есть предельные значения u(x) при x → x0 .

Имеет место теорема

Теорема 10. Если замкнутая ляпуновская поверхность и σ(ξ) – плотность, непрерывная на , то для потенциала двойного слоя справедливы предельные соотно-

шения

Из (3.6) следует, что при переходе через потенциал двойного слоя испытывает скачок

Теорема 11. При условиях предыдущей теоремы выполнено u(x) u±(x0)

.

Замечание 1. Если σ(ξ) не является непрерывной, но суммируема на , то u±(x0) существует почти всюду и выражаются по формулам (3.6).

Замечание 2. Для нормальных производных потенциала двойного слоя u(x)

верна теорема Ляпунова:

в точке x0 .

144

3.3Потенциал простого слоя

Рассмотрим потенциал простого слоя

и его свойства. Имеют место две теоремы.

Теорема 13. Если замкнутая ляпуновская поверхность, а µ(ξ) измерима и ограничена, то потенциал простого слоя (3.9) непрерывен в Rm, включая .

Теорема 14. Если замкнутая ляпуновская поверхность, а µ(ξ) непрерывна на , то на существуют равномерные пределы нормальных производных потенциала простого слоя (3.9) как изнутри, так и извне .

Скачок нормальной производной потенциал простого слоя определяется согласно (3.10) по формуле

§4. Интегральные уравнения теории потенциала

4.1Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям

Рассмотрим замкнутую ляпуновскую поверхность , ограничивающую две области: Ω+внутреннюю (конечную) и Ω− внешнюю.

Поставим одновременно 4 краевые задачи для однородного уравнения Лапласа.

145

Обозначим: D+(D−) внутреннюю (внешнюю) задачу Дирихле, N+(N−) внут-

реннюю (внешнюю) задачу Неймана.

потребуем, чтобы плотности σ(ξ) и µ(ξ) были непрерывны на .

Представления (4.3), (4.4) являются гармоническими функциями как в Ω+, так и в Ω− и, следовательно, осталось только удовлетворить краевым условиям (4.1), (4.2).

Особый случай задача D−, решение которой на бесконечности может иметь порядок O(|x|2−m), в то время как потенциал (4.3) убывает быстрее и имеет порядок O(|x|1−m). Отсюда следует, что не всякую гармоническую в Ω− функцию можно пред-

ставить в виде (4.3).

146

Можно показать, что имеет место оценка для поверхности Ляпунова

| cos(n, r)| ≤ Crα,

C = const, α показатель Липшица (Гельдера), 0 < α ≤ 1. В пределе cos(n, r) → 0, r = |x−ξ| → 0. То же для | cos(ν, r)|. Таким образом уравнения (4.7) и (4.10) интегральные

точек x и ξ, так как эти ядра вещественны, то они сопряженные. Отсюда следует, что

уравнения (4.7) и (4.10), а также (4.8) и (4.9) попарно сопряженные.

Такие ядра называются союзными, или транспонированными. По определению:

1.Ядра K(x, ξ) и K (x, ξ) = K(ξ, x) называются сопряженными.

2.K(x, ξ) и K(ξ, x) союзные, или транспонированные.

Если K(x, ξ) вещественная функция, то K (x, ξ) = K(ξ, x) = K(ξ, x).

В области вещественных функций (ядер) понятия союзные ядра (уравнения) и сопряженные ядра (уравнения) совпадают.

147

Глава 7

Интегральные уравнения Фредгольма II рода

Речь пойдет об интегральных уравнениях Фредгольма II рода вида:

Z

ϕ(x) − λ K(x, y)ϕ(y)dy = f(x), x Ω( ), (0.1)

Ω( )

где Ω Rm - конечная область, - ее граница, ядро K(x, y) и функция f(x) - заданные вещественные функции точек x, y; ϕ(y) - искомая функция, λ - параметр.

называется соответствующим (0.1) однородным уравнением, а однородное уравнение

Z

ψ(x) − λ K(y, x)ψ(y)dy = 0, x Ω( )− (0.3)

Ω( )

союзным (транспонированным). Ядра K(x, y) и K(y, x) по аналогии называются со-

юзными или транспонированными.

Далее будем рассматривать только одномерные интегральные уравнения, т.е. урав-

называется уравнением Вольтерра II рода. В силу линейности интегрального оператора в (0.4) легко видеть, что, если существует общее решение этого уравнения, то оно имеет вид:

а ϕ(x) - частное решение неоднородного уравнения (0.4).

148

§ 1. Метод последовательных приближений решения интегральных уравнений Фредгольма II рода

то решение ϕ(x) уравнения (0.4) существует и его можно построить методом последо-

вательных приближений.

n=1

так как частичная сумма Sn = ϕn, а значит, Sn → S.

В силу (1.2) имеем оценки, полученные методом математической индукции:

Таким образом, любой член ряда (1.5) не превышает соответствующего члена положительного числового ряда (мажорируется):

X∞

m|λ|nMn,

n=0

149

который в силу (1.1) сходится. Следовательно, ряд (1.5) и, значит, последовательность непрерывных функций ϕn(x), сходится абсолютно и равномерно к непрерывной функции ϕ(x):

Переходя к пределу в равенстве (1.4)

Z b

ϕn(x) = f(x) + λ K(x, y)ϕn−1(y)dy,

a

получим, что имеет место (0.4) и, значит, ϕ(x) является решением этого уравнения. Покажем, что это решение единственно. Действительно, пусть кроме ϕ(x) решени-

ем уравнения (0.4) является еще и функция ψ(x). Тогда

θ(x) = ϕ(x) − ψ(x)

есть решение однородного уравнения (0.7), т.е.

Z b

θ(x) = λ K(x, y)θ(y)dy,

a

откуда находим, что

θ0 ≤ |λ|Mθ0, θ0 = max |θ(x)|,

x [a,b]

а значит,

|λ| ≥ M1 ,

что противоречит неравенству (1.1), если θ0 =6 0. Тогда пусть θ0 = 0, значит, θ(x) ≡ 0, т.е. ϕ(x) ≡ ψ(x), что и требовалось доказать.

Аналогичные рассуждения, касающиеся интегрального уравнения Вольтерра II ро-

ϕ(x) = lim ϕn(x).

n→∞

§ 2. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром

Определение. Ядро K(x, y) уравнения (0.4) называется вырожденным, если оно

имеет вид

XN

где pj (x), qj(y), x [a, b], y [a, b] - заданные вещественные непрерывные функции.

150