Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

UMF-BOOK

.pdf
Скачиваний:
47
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
948.39 Кб
Скачать

М.А. Греков

Уравнения математической физики

 

 

 

 

 

Если Aαβ(x) = δαβ , то (4.1) принимает вид

 

 

 

∂u

(4.5)

 

u + Aα

 

+ A0u = F (x),

 

∂xα

и условие (4.4) тогда записывается как

∂u

= ψ(x). ∂n

Внешние задачи Дирихле и Неймана формулируются так же, только добавляется условие поведения решения на бесконечности:

u(x) = O(|x|2−m), x → ∞.

Утверждение. Из принципа экстремума для гармонической функции следует единственность решения задачи Дирихле.

Доказательство. Действительно, пусть u(x) и v(x) – решения этой задачи. Тогда w(x) = u(x) − v(x) = 0 для любого x = ∂Ω, следовательно, w(x) = 0 в Ω . Так же

доказывается устойчивость решения, то есть непрерывность от начальных данных. Из условия выполнения неравенства |u1 − u2| < ε на следует выполнение его в Ω.

Замечание 1. Единственность решения задачи Дирихле имеет место так же и в случае кусочно-непрерывной функции ϕ(x) на , если искать решение u(x), непрерывное почти всюду в Ω , за исключением точек разрыва функции ϕ(x), где u(x)

должна быть ограничена.

4.1Разрешимость задачи Неймана.

Можно показать, что внутренняя задача Неймана не всегда разрешима для уравнения

u = F (x).

Для существования ее решения необходимо выполнение равенства

 

Z

Z

 

 

F (x)dΩ + ψ(x)d = 0.

(4.6)

 

 

Ω

 

 

Задача Неймана для изолированной границы, то есть при ψ(x) = 0

Z Z

F (x)dΩ = 0 = udΩ = 0.

Ω Ω

121

М.А. Греков

 

 

Уравнения математической физики

 

 

 

Задача Неймана при отсутствии источников, то есть при F (x) = 0, для гармо-

нической функции

Z

∂u

Z ψ(x)d = 0.

 

 

 

d = 0

 

∂n

Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до постоянной, внешней единственно.

§ 5. Понятие функции Грина (функции источника) задачи Дирихле

Определение 1. Функцией Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области Ω называется функция G(x, ξ) двух точек x, ξ Ω обладающая свойствами:

1) выполнено равенство

G(x, ξ) = E(x, ξ) + g(x, ξ), x, ξ Ω ,

(5.1)

где E(x, ξ) фундаментальное решение уравнения Лапласа,g(x, ξ) гармоническая по x Ω и ξ Ω;

2) если x или ξ , то

 

G(x, ξ) = 0, x или ξ

(5.2)

5.1Свойства функции Грина.

Свойство 1. Справедливо неравенство

G(x, ξ) ≥ 0, x, ξ Ω

(5.3)

Доказательство. Действительно, для произвольной точки x Ω рассмотрим область Ωδ = Ω\ {ξ : |ξ − x| ≤ δ, ξ Ω} Так как

lim G(x, ξ) = +∞,

ξ→x

то δ > 0, такое, что G(x, ξ) > 0 при |ξ − x| < δ, откуда следует выполнение неравенства

G(x, ξ) ≥ 0 для ξ δ.

Тогда, в силу принципа экстремума для гармонической функции и произвольности выбора точки x, неравенство (5.3) выполняется.

122

М.А. Греков

Уравнения математической физики

 

 

Свойство 2. Функция G(x, y) симметрична относительно точек x и y.

 

 

Доказательство.

 

 

Рассмотрим область

Ω\(b1

b2)

= Ωδ,

 

где

b1 =

{z : |z − x| ≤ δ, z Ω} ,

b2 =

{z : |z − y| ≤ δ, z Ω} ,

а

x, y

 

 

Ω произвольные

точки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функции u1 = G(z, x) и u2(z) = G(z, y) гармоничны в Ω\b1 и Ω\b2 соответственно.

 

 

Применяя вторую формулу Грина для Ωδ имеем

 

 

d =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

G(z, y)

 

∂n

 

 

− G(z, x)

 

 

 

 

∂n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂G(z, x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂G(z, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Z

+ Z G(z, y)

 

 

 

∂n

 

 

 

− G(z, x)

∂n

ds,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂G(z, x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂G(z, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где n внешняя нормаль на и сферах 1

 

 

и 2. Так как G(z, x) = G(z, y) = 0, для

любых z , то можно написать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂G(z, x)

 

 

 

 

∂G(z, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂G(z, y)

 

∂G(z, x)

 

 

 

Z

G(z, y)

 

 

 

− G(z, x)

 

 

 

 

 

ds =

Z

G(z, x)

 

 

 

 

 

− G(z, y)

 

 

 

 

ds.

 

∂nz

 

 

∂nz

 

 

 

∂nz

 

 

 

∂nz

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂G(z, y)

 

ds = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂nz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так как G(z, y) гармонична в b1, и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

∂G(z, x)

 

ds = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂nz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем интеграл в левой части равенства.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z G(z, y)

∂G(z, x)

− G(z, x)

∂G(z, y)

ds =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂nz

 

 

 

 

 

∂nz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂G(z, x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂G(z, x)

 

 

 

 

 

 

∂G(z, y)

=

 

Z

[G(z, y) − G(x, y)]

 

 

 

 

ds + Z

 

G(x, y)

 

 

 

 

 

ds − Z

G(z, x)

 

 

 

ds .

 

∂nz

 

 

 

 

 

 

∂nz

 

 

∂nz

 

 

1:|z−x|=δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

δ{z

 

 

 

 

}

|

 

 

 

{z

 

 

}

 

 

 

 

 

 

I1

 

∂E(z, x)

dsδ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ds

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{z

 

 

∂nz

 

 

z}x =δ

= −δm−1 = −ds1.

 

 

 

 

 

I3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим слагаемые

отдельно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

123

М.А. Греков

Уравнения математической физики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) так как G(z, y) гармоническая функция вне 2 и в том числе в окрестности

точки x, то

 

 

 

 

 

−→ G(x, y)

 

 

 

 

 

 

G(z, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|z − x| → 0

 

 

 

 

 

равномерно по y. Так как G(z, x) = E(z, x) + g(z, x), где g(z, x) гармонична в Ω, то

 

 

∂G(z, x)

 

 

 

 

dsδ

∂g(z, x)

 

 

(5.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂hz

dsδ = −δm−1 +

∂nz

dsδ

 

 

при δ → 0. Так как g гармоническая функция в Ω,

 

 

 

 

 

 

dsδ

 

 

 

 

Z

 

∂g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ds1

,

 

 

 

dsδ = 0,

 

 

 

 

 

δm−1

 

∂nz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Таким образом, первый интеграл стремится к нулю при δ → 0.

 

2) второе слагаемое

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I2 = Z

 

 

 

∂G(z, x

 

 

 

 

 

G(x, y)

 

)

dsδ

= G(x, y)|s1|,

 

 

∂nz

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

всилу (5.4).

3)третье слагаемое:

I3 =

Z

G(z, x)

∂nz

dsδ =

Z

(m − 2)δm−2

+ g(z, x)

∂nz

dsδ =

 

 

 

∂G(z, y)

 

 

1

 

 

 

∂G(z, y)

 

 

|z−x|=δ

 

 

 

|z−x|=δ

 

 

 

 

 

 

 

 

=

g(z, x)

∂G(z, y)

dsδ

−→

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

∂nz

 

 

 

δ 0

|z−x|=δ

Так как g(z, x) гармонична в Ω, то |g(z, x)| < M1 при z Ω. При δ → 0, как и при выводе интегральной формулы для u(x), получим, что

G(x, y) = G(y, x).

Свойство 3. Вспомним 2-ю формулу Грина. Пусть v(x, ξ) – гармоническая функция по x и ξ в Ω, v C1(Ω), тогда для u(x) C1(Ω), гармонической в Ω, справедливы

равенства

u(x) =

1

Z

E(x, ξ)

∂u

 

 

|S1|

∂n

− u(ξ)

∂n

d + |S1| Z

v(x, ξ)∂n

 

∂E(x, ξ)

1

 

 

∂u

− u(ξ)

∂n

d = 0,

 

∂v(x, ξ)

 

откуда следует

 

Z

G(x, ξ)

 

 

 

d .

u(x) =

1

∂u

− u(ξ)

∂G(x, ξ)

 

 

 

|S1|

∂n

∂n

124

М.А. Греков

Уравнения математической физики

 

 

Так как G(x, ξ)| = 0, то есть v(x, ξ)| = −E(x, ξ)| , а u(x)| = ϕ(x), то получаем

окончательно

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x) = −

1

 

 

 

∂G(x, ξ)

ϕ(ξ)d ,

 

x Ω.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.5)

|S1|

 

 

 

 

∂n

 

 

 

Электростатическая интерпретация:

 

 

1

E(x, ξ) потенциал точечного заряда в

 

 

|S1|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

свободном пространстве,

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

4πR

4π|x − ξ|

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Второе слагаемое v| = −

|S1|

E(x, ξ) , v потенциал поля зарядов, индуциро-

ванных на проводящей поверхности .

Определение функции G сводится к определению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

индуцированного поля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если G(x, ξ) известна, (5.5) дает решение задачи Дирихле в следующей постановке:

 

Ищется гармоническая в Ω функция u(x), непрерывная в Ω и удовлетворяющая

краевому условию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim u x

ϕ(ξ

)

,

x

 

Ω,

ξ

 

.

(5.6)

 

x

ξ

( ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гармоничность (5.5) следует из гармоничности функции G(x, ξ) по x при x =6 ξ.

Тот факт, что эта функция удовлетворяет краевому условию (5.5) требует специального доказательства. Это связано с возможностью применимости формулы Грина, а так же с существованием частной производной ∂G/∂n на , которое не следует прямо из определения функции G.

Исследование формулы (5.5) подробно было проведено Ляпуновым А.М., который показал применимость формулы для широкого класса поверхностей Ляпунова при весьма общих условиях.

5.2Решение задачи Дирихле для шара

Построим функцию Грина, если Ω шар и в этом случае покажем, что гармоническая функция u(x), представленная формулой (5.5), действительно удовлетворяет

условию (5.6).

Пусть Ω : |x| < 1 и x, ξ Ω. Точка

ξ0 = ξ

|ξ|2

симметрична точке ξ относительно сферы S : |x| = 1.

125

М.А. Греков

Уравнения математической физики

 

 

Покажем, что для шара |x| < 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

G(x, ξ) = E(x, ξ) − E(|x|ξ,

 

 

).

 

 

 

 

 

 

 

|x|

Действительно, имеем

= |x|2|ξ|2 − 2ξx + 1

 

 

 

 

 

 

|ξ|x −

|x|ξ −

x

 

1/2

=

 

| |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x −

 

ξ

 

= |x|

ξ −

 

 

x

 

 

 

 

= |ξ|

 

 

 

 

 

 

,

 

 

|

ξ

2

|

x

2

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда следует, в силу того, что

 

 

 

 

 

 

 

|

 

|

 

 

 

 

 

|

|

 

 

 

 

 

|

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

> 1, x 6=

ξ

,

 

 

,

 

 

 

 

ξ 2

ξ 2

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.7)

ξ =

|ξ|

(5.8)

условие:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|x|ξ −

 

 

6= 0, |x| < 1, |ξ| < 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

|x|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция g(x, ξ) = −E |x|ξ,

 

x

при |x| < 1, |ξ| < 1

является гармонической как

 

 

|x|

по x, так и по ξ, что вытекает из (5.8). При |ξ| = 1 имеем

|x|ξ −

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|x − ξ| = (x2 − 2xξ + 1)1/2 = |ξ|x −

|

ξ

|

 

=

 

x

 

 

 

 

 

(5.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

| |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда G(x, ξ) = 0 на ∂Ω.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, функция (5.7) удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к

функции Грина. При

|

ξ

| = 1

, учитывая (5.9), а также равенства ξ

 

 

 

 

 

 

 

n, ξ

 

,

 

m

ξ2

1, имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

= cos(

 

j)

Pj=1 j =

 

 

 

ξ =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− | |

.

 

 

 

 

=

j=1

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

|

 

 

 

=

 

 

∂n

 

 

 

 

 

ξ x

 

 

− | |

 

x ξ

 

 

 

 

 

 

 

xj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ x

 

 

 

 

∂G(x, ξ)

| |

 

 

X

 

| − |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x|

 

ξ =1

 

 

 

 

| − |

2

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда (5.5) принимает вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x) =

 

1

 

 

 

1 − |x|2

ϕ(ξ)d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|S1| Z

|ξ − x|m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|ξ|=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– формула Пуассона.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При m = 3 и m = 2 в полярных координатах из (5.10) получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π 2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x , x , x ) =

1

Z Z

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − |x|2

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ(ξ

, ξ

, ξ

) sin θdψ,

 

 

 

(5.11)

 

 

 

(1 − 2|x| cos γ + |x|2)3/2

 

 

 

 

 

 

1 2

3

 

 

 

 

 

1

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

126

М.А. Греков

Уравнения математической физики

 

 

 

где

 

 

 

ξ1 = sin θ cos ψ, ξ2 = sin θ sin ψ, ξ3 = cos θ

 

|x| cos γ = xξ,

то есть γ – угол между радиус-векторами точки x и точки ξ, лежащей на поверхности

единичного радиуса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x , x ) =

1

 

Z0

 

 

 

1 − |x|2

 

 

 

ϕ(cos ψ, sin ψ)dψ,

(5.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

1 − 2|x| cos(θ − ψ) + |x|2

 

 

 

где θ – полярная координата точки x, ψ – точки ξ.

 

 

 

 

 

 

x1 = |x| cos θ,

x2 = |x| sin θ,

ξ1 = cos ψ,

ξ2 = sin ψ.

 

Если u(x) гармонична в шаре |x| < R, непрерывна в |x| ≤ R и удовлетворяет

краевому условию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim u x

 

ϕ

ξ

,

|

x < R,

|

ξ

| =

R,

(5.13)

 

 

x

ξ

( ) =

(

)

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то функция

x = Ry,

ξ = Rt,

 

|y| < 1,

 

 

|t| < 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v(y) = u(Ry)

 

 

 

 

 

 

гармонична в |y| < 1, непрерывна в |y| ≤ 1 и удовлетворяет краевому условию

lim v(y) = ϕ(Rt),

|

y

|

< 1,

t

= 1.

 

y

t

 

 

 

 

 

 

 

 

|

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, на основании (5.10),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v(y) =

1

 

 

Z

1 − |y|2

ϕ(t)d

.

 

 

 

|S1|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|t − y|m

 

t

 

 

(5.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|t|=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v(y) = v(

x

) =

 

 

1

 

 

Z

 

R2 − |x|2

Rm−1ϕ(Rt)d

,

 

 

 

 

 

|Rt − x|m

 

 

R |S1|R

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|t|=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или, введя замену ξ = Rt, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x) =

 

1

 

 

Z

 

R2 − |x|2

ϕ(ξ)d

.

 

|S1|R

 

 

 

 

 

 

 

 

|ξ − x|m

 

 

ξ

 

(5.15)

|ξ|=R

Для шара радиуса R с центром в точке x0 имеем: пусть u(x) гармонична в точке

|x − x0| < R, непрерывна в |x − x0| ≤ R и limx→ξ u(x) = ϕ(ξ), x − x0 < R, |ξ − x0| = R.

127

М.А. Греков Уравнения математической физики

Замена: x = y +x0, ξ = t+x0. Так как w(y) = u(y +x0) гармонична в |y| < R, непрерывна

в |y| ≤ R и

lim w(y) = ϕ(t + x ),

y

|

< R,

t

R,

 

 

 

y

t

 

 

 

 

 

 

 

0

|

 

 

| | =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то из (5.15) следует, что

 

 

 

 

 

 

|S1|R

Z

|t − y|m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

t

 

 

 

 

w(y) =

1

 

 

 

R2

− |y|2

ϕ(t + x )d

,

 

 

 

 

 

 

|t|=R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда при y + x0 = x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x) = w(x

x ) =

 

1

 

Z

 

R2 − |x − x0|2

ϕ(ξ)d

.

 

|S1|R

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

|ξ − x|m

 

ξ

 

(5.16)

|ξ−x0|=R

При x = x0 формула (5.16) определяет значение u(x0) как среднее арифметическое значение u на поверхности шара.

5.3Проверка краевых условий. Обоснование формулы Пуассона.

Покажем теперь, что u(x), определенная по формуле Пуассона (5.10), удовлетво-

ряет краевому условию (5.6) и, стало быть, (5.10) дает решение задачи Дирихле для шара.

Для наглядности рассмотрим m = 2. Так как u(x) = 1 гармоническая функция,

удовлетворяющая условию

 

 

 

 

 

lim u(x) = 1,

x

 

< 1,

|

ξ

|

= 1,

 

 

 

 

 

 

 

x

ξ

 

| |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то из (5.10) получим

 

 

Z0

|ξ − x|2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

1 − |x|2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dψ = 1,

ξ

 

= cos ψ, ξ = sin ψ.

 

(5.17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (5.10) и (5.17), при умножении (5.17) на ϕ(ξ0), следует

| |

 

 

 

0

 

 

Z0

|ξ − x|2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1 − |x|2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x)

ϕ(ξ ) =

 

 

 

[ϕ(ξ) ϕ(ξ )] dψ = 1,

x < 1.

(5.18)

Непрерывная функция ϕ(ξ) на окружности |ξ| = 1 как на замкнутом множестве равномерно непрерывна, то есть для ε > 0 δ(ε) > 0, такой, что для ψ и ψ0, для которых ξ1 = cos ψ, ξ2 = sin ψ, ξ10 = cos ψ0, ξ20 = sin ψ0, удовлетворяющих условию |ψ − ψ0| < δ, справедливо неравенство

|ϕ(ξ) − ϕ(ξ0)| < ε.

(5.19)

128

М.А. Греков Уравнения математической физики

Перепишем (5.18) в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x) − ϕ(ξ0) = I1 + I2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

I1 =

Z

Dδψ,

I2 =

Z

+

Z

Dδψ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

ψ0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

ψ0−δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

ψ0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ0−δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D =

1 − |x|2

 

[ϕ(ξ)

ϕ(ξ

)] .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|ξ − x|2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (5.17) и (5.19) следует |I1| < ε. После выбора δ(ε) возьмем x так близко к ξ0,

чтобы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

<

,

M =

 

max

 

|

ϕ(ξ)

, 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

0

 

ψ

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так как

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дуги

1 − |x| −→x→ξ0 0, то это всегда можно достичь. Так как ξ0 лежит вне

 

x

 

2

>

0 −δ, ψ+δ), то под интегралом точка ξ

 

лежит вне этой дуги и, следовательно,

|

ξ

|

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

const для любых ξ, x. В то же время |1 − |x|

| ≤ 2|1 − |x|| −→x→ξ0 0, ξ0 , 0| = 1.

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

πε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|I2| <

 

 

 

2M

= ε,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|u(x) − ϕ(ξ0)| < 2ε,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а значит,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim u x

ϕ ξ

0)

,

 

 

x

< 1,

 

ξ

0| = 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

ξ0

 

( ) =

(

 

 

 

 

| |

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.4Решение задачи Дирихле для полупространства

Пусть D = {x : xm > 0} полупространство. Потребуем, чтобы решение задачи

Дирихле было ограничено.

Пусть x, ξ D, ξ0 = (ξ1, . . . , ξm−1, −ξm) Rm\(Ω ) – точка, симметричная точка ξ относительно плоскости ξm = 0. Функция g(x, ξ) = −E(x, ξ0) – гармоническая функция

в D при xm > 0, ξm > 0 по x и по ξ.

 

 

 

 

E(x, ξ) =

 

 

1

.

 

 

 

 

 

(m

2) m−2

 

 

 

 

 

 

Кроме того, на плоскости

 

 

 

 

E(x, ξ) − E(x, ξ0) = 0

 

при ξm = 0.

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

G(x, ξ) = E(x, ξ) − E(x, ξ0)

(5.20)

функция Грина для полупространства D.

 

 

 

 

129

М.А. Греков

Уравнения математической физики

 

 

Предположим, что для искомого решения u(x) задача Дирихле в данном случае справедлива формула (5.5). Это заведомо так, если для любых x D при |x| → ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

∂u

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|u(x)| ≤

 

, |

| ≤

 

 

 

, i = 1, m, h = m − 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|x|h

∂xi

|x|h+1

 

 

 

 

 

где A > 0, h > 0 – постоянные.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В соответствии с этим при

δ =

 

 

 

m−1

 

2

 

1/2

→ ∞ и заданная на плоскости ym = 0

 

 

 

 

 

i=1

yi

 

 

 

 

 

функция

ϕ

y

, . . . , y

m−1) должна

 

удовлетворять условию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

1

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|ϕ| <

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив (5.20) в (5.5) и учитывая, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂G

 

=

 

 

∂G(x, ξ)

 

=

 

 

 

ξm − xm

ξm + xm

 

 

=

 

 

 

 

2xm

 

 

,

 

∂ν

 

 

∂ξm

 

 

 

 

 

|

ξ

x m

|

ξ0

x m

 

 

 

 

m 1

 

2

2 m/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

k=1 k

xk) + xm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξm=0

 

 

 

 

 

ξm=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξm=0

 

 

P

 

 

 

 

 

получим формулу Пуассона

для полупространства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x) =

2xm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ(ξ)

 

 

 

 

dξ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

S1

|

ξm=0

 

 

 

 

m−1

 

 

 

 

 

2

2

m/2

 

 

 

 

(5.21)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

xk) + xm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

k=1 k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.21) – решение задачи Дирихле с краевыми условиями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

u(x) = ϕ(ξ1, . . . , ξm−1),

xm > 0,

ξm = 0.

 

 

 

(5.22)

 

 

 

 

 

 

 

x→ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство того, что (5.21) удовлетворяет условию (5.22) аналогично решению для шара.

Решение задачи Дирихле для полупространства

Xm

akxk − b > 0

k=1

редуцируется к рассматриваемому случаю, если учесть, что вместе с u(x) гармонической

является функция

v(y) = u(λCx + h),

где λ скаляр, C постоянная ортогональная матрица, h – постоянный вектор.

5.5Следствия из формулы Пуассона для шара

Теорема 4. (Теорема Лиувилля) Если гармоническая в Rm функция u(x)

ограничена сверху (снизу), то она постоянна.

130

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]