UMF-BOOK

Ω= {x, y : x (−∞, +∞), y (0, δ)}.

Вкачестве λ взято направление y.

Совокупность данных единственная функция ϕ(x), которую будем считать непрерывной и ограниченной для любого x. То есть,

ϕ(x) C(−∞, +∞) = B2, |ϕ(x)| < ∞,

а B1 = C(Ω) – пространство функций, непрерывных и ограниченных в Ω.

За область определения оператора краевой задачи (6.2),(6.3) примем множество функций u(x, y) C(Ω), имеющих непрерывные вторые производные и удовлетворяю-

Следовательно, сколь угодно малые (по норме B2) изменения данных могут вызвать сколь угодно большие (по норме B1) изменения решения.

21

N

Пример 13. Гиперболическое уравнение:

λ1 = 1/2, λ2 = −1/2.

Уравнение (6.5) переходит в однородное уравнение колебаний струны (свободные колебания) при замене x1 = x + at, x2 = x − at.

Для (6.5) поставим задачу Дирихле в квадрате Ω = {x : 0 < x1, x2 < 1}

где k одна из сторон квадрата, k = 1, 4. Для непрерывности решения u(x, t) должны

выполняться условия

причем одна из постоянных F1(0) и F2(0) остается произвольной.

u = ϕ1(x2) + ψ1(x1) + A, A = const.

Так как из (6.6) следует, что u(0, 0) = ϕ1(0), то

ϕ1(0) = ϕ1(0) + ψ1(0) + A,

22

откуда A = −ψ1(0).

Таким образом,

u(x1, x2) = ϕ1(x2) + ψ1(x1) − ψ1(0),

тогда 1-е условие в (6.7) выполнено. Для выполнения, например, 4-го условия получим:

u(1, 1) = ϕ1(1) + ψ1(1) − ψ1(0) = ϕ2(1) (или = ψ2(1)).

Этого равенства нет в постановке задачи и оно в общем случае не выполняется. Таким образом, постановка задачи некорректна в паре (B1, B2).

Пусть F2(0) = 0. Тогда

F1(x1) = ψ1(x1), F2(x2) = ϕ1(x2) − ψ1(0).

Решение определено полностью. Выполняются первые два условия в (6.6) и 1-е условие в (6.7).

Равенство F2(0) = 0 вытекает из 1-го равенства в (6.7). Ясно, что удовлетворение оставшимся краевым условиям в (6.6) невозможно, если ϕ2 и ψ2 произвольны. Отсюда следует, что задача (6.5), (6.6) некорректна в паре C(Ω) и C( ).

N

23

Глава 2 Характеристики. Канонический вид

§ 1. Преобразование независимых переменных.

Как изменится (1.1) при преобразовании (1.2). Пусть в некоторой области изменения точки x преобразование (1.2) взаимно однозначно, а его якобиан не равен нулю.

Определение 1. Такое преобразование независимых переменных будем называть невырожденным.

Пусть все ξr имеют непрерывные вторые производные. Найдем производные в (1.1).

24

Из алгебры: при невырожденном преобразовании матрицы к диагональному виду количество положительных, отрицательных и нулевых собственных чисел данной матрицы соответственно равно количествам положительных, отрицательных и нулевых диагональных элементов преобразованной матрицы.

Пусть J – матрица Якоби преобразования (1.2). Ее определитель – якобиан этого преобразования, не равный нулю, поэтому существует обратная матрица J−1. Формула

(1.3) равносильна равенству

Тогда, согласно (1.5),

e

и матрица A сводится невырожденным преобразованием с матрицей J Σ к той же диагональной матрице D.

Отсюда количество положительных, отрицательных и нулевых собственных чисел

e

матриц A и A совпадают.

25

§ 2. Характеристики. Соотношение между данными Коши на характеристической поверхности.

Уравнение (2.2) уравнение характеристик дифференциального уравнения

(2.1).

Определение 1. Если ω(x1, . . . , xn) удовлетворяет уравнению (2.2), то поверхность (или линия при n = 2)

называется характеристической поверхностью (линией) или характеристикой

уравнения (2.1).

Формально уравнение характеристик строится так: составляется квадратичная форма – характеристическая форма

в которой следует положить tj = ∂ω и приравнять нулю. Важным свойством характери-

∂xj

стик является инвариантность при преобразовании независимых переменных. То есть, если ω(x1, . . . , xn) – решение уравнения (2.2) и если преобразование

∂ξα ∂ξβ

которое является уравнением характеристик для преобразованного уравнения (1.4).

26

Подставляя в (2.2), согласно (1.3), получим (2.6).

Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик, так как если (1.1) – эллиптического типа, то квадратичная форма (2.4) – определенная и обращается в 0 (при вещественных tj ) если tj = 0 для любых j. В этом случае единственное решение уравнения характеристик (2.2) есть ω ≡ const, что не определяет поверхности.

2.2 Зависимость данных Коши на характеристической поверхности. Пример уравнения теплопроводности.

Покажем, что на характеристической поверхности данные Коши связаны некоторым соотношением. Отсюда будет следовать, что на характеристической поверхности данные Коши нельзя задавать произвольно. Пусть данные Коши заданы на достаточно гладкой поверхности , определяемой уравнением

где λ некасательное направление к . Из (2.8) находятся все производные ∂u , j = 1, n ∂xj

на .

Введем новую систему координат ξ1, . . . , ξn−1() произвольно, а ξn = µ. Потребуем:

преобразование (1.2) взаимно однозначно, т. е. якобиан не равен нулю, и функции ∂2ξj

∂x2k

непрерывны. В координатах ξj уравнение поверхности (2.7) имеет вид

т. е. в новой системе координат кординатная поверхность. Пусть характеристическая поверхность. Тогда

∂2u

В силу равенства ξn = µ коэффициенты при обращается в 0, то есть

∂ξn2

27

Следовательно, уравнение (1.4) в переменных ξj дифференциальное уравнение первого порядка по отношению к переменной ξn.

Покажем, что на можно вычислить все производные, входящие в преобразован-

ное уравнение (1.4), исходя только из данных Коши (2.8). Действительно,

производные по направлениям, касательным к .

∂2u

(Вторая производная ∂λ2 неизвестна.)

∂2u

Из данных Коши нельзя найти единственную производную , но ее как раз нет

∂ξn2

в уравнении (1.4).

Итак, все слагаемые в левой части уравнения (1.4) вычисляются на поверхности Коши через заданные функции ϕ0, ϕ1, т. е. через данные Коши. Подставив все зна-

чения в (1.4), приходим к тому, что некоторая заданная функция тождественно равна нулю на . Это и есть соотношение между данными Коши на характеристике. Если оно

нарушено, то задача Коши с данными на характеристике решения не имеет. Замечание. Если поверхность Коши не характеричтическая, то производная

∂2u/∂ξn2 присутствует в преобразованном уравнении, и на поверхности Коши ее можно

выразить через остальные производные, т. е. через данные Коши.

Пример 14. Уравнение теплопроводности

где f – произвольная функция. Тогда уравнение характеристической поверхности

имеет вид

28

Таким образом, характеристики уравнения (2.10) есть плоскости (2.14). Пусть поверхность Коши есть плоскость

Отсюда следует, что достаточно задать только первое условие в (2.16), задавать второе нет смысла, так как ϕ1 определяется равенством (2.17).

N

2.3Поверхность слабого разрыва. Фронт волны.

Предположим, что существует решение u(x1, x2, . . . , xn) уравнения (2.1), которое имеет на поверхности , определяемой уравнением (2.7) разрыв первого рода для некоторых

производных второго или более высокого порядка, причем само решение и его частные производные первого порядка непрерывны при переходе через .

Считаем, что речь идет о разрывах только тех производных, которые не могут быть выражены через данные Коши на . В силу сказанного выше, поверхность (2.7),

которую можно рассматривать как поверхность Коши, может быть только характеристикой уравнения (2.1).

Определение 2. Говорят, что решение уравнения второго порядка (2.1) имеет на поверхности (2.7) слабый разрыв, если при переходе через эту поверхность это решение и его первые производные непрерывны, а некоторые производные порядка выше первого имеют разрыв первого рода.

В уравнениях математической физики исключительную роль играет время, как одна из независимых переменных. Обозначим xn = t, а остальные переменные как пространственные координаты x1, x2, . . . , xm точки m-мерного пространства Rm (m = n − 1). Тогда поверхность (2.7) будет представлять собой движущуюся поверхность слабого разрыва в пространстве Rm, т. е.

µ(x1, x2, . . . , xm, t) = 0,

29

Определение 3. Поверхность ν(x1, x2, . . . , xm) = t = const в пространстве Rm

называют фронтом волны.

С течением времени фронт волны перемещается в направлении вектора rν. Чтобы определить скорость перемещения фронта волны, возьмем некоторую точку M на поверхности (2.18) и проведем из нее нормаль n к поверхности в направлении вектора rν. Фронт волны в момент времени t + t пересечет нормаль n в некоторой точке M1, отстоящей от M на расстоянии n. Для скорости движения фронта волны имеем

Следовательно, вектор скорости движения фронта волны определяется формулой

Вслучае m = 2 фронтом волны является линия на плоскости x1, x2. Рассмотрим

вкачестве примера волновое уравнение

Подставив правую часть соотношения µ = t−ν(x1, x2) в уравнение (2.21), получим

§ 3. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду. Случай двух переменных

Рассмотрим линейное невырожденное преобразование

30