UMF-BOOK

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Если u, v - гармонические в Ω и непрерывные в Ω и u ≤ v для

любой x , то u ≤ v для любой x Ω.

Если u, v - гармонические в Ω и непрерывные в Ω и |u| ≤ v для

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

948.39 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

М.А. Греков Уравнения математической физики

и, в частности, при u = v

∂u ∂u

∂u

βγ=1 gβγ

∂zβ

∂zγ

α=1

∂xα

= (grad u)2 = (ru)2,

(2.7)

Таким образом, gjk коэффициенты в выражении (ru)2, преобразованном к но-

вым переменным. В новых переменных zk уравнение (2.2) принимает вид:

∂u ∂η

Z "β,γ=1 gβγ

∂zβ

∂zγ

− fη# J dΩ = 0.

(2.8)

Проинтегрировав по частям, с учетом η| = 0, получим

− Z η

"β,γ=1 ∂zγ gβγJ

∂zβ + fJ# dΩ = 0.

∂

∂u

Заменим γ на α. В силу произвольности функции η(x) и равенства (2.1), находим

∂

∂u

xu =

αβ=1

gαβ J

∂zα

∂zβ

Для ортогональной системы координат zk величины gjk

gjj = Hj−2, получим:

Hj2

∂zj .

u = J

j=1

∂zj

∂

∂u

В дифференциальной геометрии

(2.9)

= 0, j =6 k. Обозначив

(2.10)

J = H1H2 · . . . · Hn.

(2.11)

Коэффициенты Hj называются параметрами Ламе и имеют следующий

геометрический смысл.

Обозначим элемент длины через ds. Тогда в декартовой прямоугольной системе

координат x1, x2, . . . xn
ds2 = dx12 + dx22 + · · · + dxn2 .			(2.12)
Запишем обратное преобразование для (2.3)
			(2.13)
xk = xk(z1, z2 . . . , zn), k = 1, n.

В R3: zj = Cj = const семейство координатных поверхностей криволинейной системы координат zj . Уравнение координатной линии z1 определяется двумя равенствами z2 = const, z3 = const. Аналогично для линий z2 и z3.

111

М.А. Греков		Уравнения математической физики

Направляющие косинусы линий zj пропорциональны соответственно
	∂x1	,	∂x2	,	∂x3	(j = 1, 2, 3).	(2.14)
	∂zj
			∂zj		∂zj

Условие ортогональности ребер элементарного криволинейного "параллелепипеда лежащих на координатных линиях zj ортогональной криволинейной системы коор-

динат имеет вид

∂x1 ∂x1

∂x2 ∂x2

∂x3 ∂x3

= 0,

j 6= k.

(2.15)

∂zj ∂zk

∂zk

∂zj

Так как

dxj =

∂xj

dz1

∂xj

dz2

∂xj

dz3

(j = 1, 2, 3),

(2.16)

∂z1

∂z2

∂z3

то

ds2 = H1dz2

+ H2dz2 + H3dz2,

(2.17)

где

∂xk

Hj2 = k=1

j = 1, 2, 3.

(2.18)

∂zj

Элемент длины координатной линии z1 (z2 = const, z3 = const) равен

ds1 = H1dz1

(2.19)

Тогда объем элементарного криволинейного "параллелепипеда" с ребрами Hjdsj

равен

dv = ds1ds2ds3 = H1H2H3dz1dz2dz3 = Jdz1dz2dz3.

(2.20)

В R3 в криволинейной ортогональной системе координат zj действие оператора

Лапласа имеет вид

∂ H2H3 ∂u

∂ H3H1 ∂u

∂ H1H2 ∂u

4u =

(2.21)

H1H2H3

∂z1

∂z2

H2 ∂z2

∂z3

Пример 18.

Оператор Лапласа в сферических координатах.

z1 = r, z2 = Θ1, . . . , zn = Θn−1.

x1 = r cos Θ1,

x2 = r sin Θ1 cos Θ2,

. . .

1 = r sin Θ1

cos Θn

−

· · ·

−

xn = r sin Θ1 · · · sin Θn−1.

112

М.А. Греков

Уравнения математической физики

Θ1 . . . Θn−2 [0, π],

Θn−1 [0, 2π],

H1 = 1, Hj = r√

, r ≤ j ≤ n,

gj−1

gj = (sin Θ1 sin Θ2 . . . sin Θj−1)2,

j ≥ 2, g1 = 1,

J = rn−1 sinn−2 Θ1 sinn−3 Θ2 . . . sin Θn−2,

∂2

n − 1

∂

δ.

∂r2

∂r

− r2

∂

m−1

∂

sinn−j−1 Θj

δ = − j=1

qj sinn−j−1 Θj

∂Θj

При n = 3:

z1 = r, z2 = θ, z3 = ψ.

x1 = r sin θ cos ψ,

x2 = r sin θ sin ψ,

x3 = r cos θ.

[0, π], ψ

[0, 2π],

H1 = 1,

H2 = r,

H3 = rsinθ,

1 ∂

∂u

1 ∂

∂u

1 ∂2u

u =

sin θ

r2 ∂r

∂r

r2 sin θ

∂θ

r2 sin2 θ

∂ψ2

Пример 19. Оператор Лапласа в цилиндрических координатах, n = 3.

z1 = ρ, z2 = ϕ, z3 = z.

x1 = ρ cos ϕ,

x2 = ρ sin ϕ, x3 = z.

H1 = 1, H2 = ρ, H3 = 1,

1 ∂

∂u

1 ∂2u

∂2u

u =

ρ ∂ρ

∂ρ

ρ2 ∂ρ2

∂z2

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

2.1Два случая замены переменных, не меняющей вида уравнения Лапласа

1. На двумерной плоскости конформное преобразование не нарушает гармоничности функции. Покажем это. Пусть Ω – область комплексной плоскости z = x + iy, D – область комплексной плоскости ζ = ξ + iη и пусть голоморфная функция

z = z(ζ) = x(ξ, η) + iy(ξ, η)

(2.26)

113

М.А. Греков	Уравнения математической физики

конформно отображает D на Ω. Голоморфная функция – однозначная аналитическая функция. Пусть u(x, y) – гармоническая функция в Ω, т. е.

∂2u

= 0

∂y

∂x

и выполнены условия гармоничности u. Покажем, что функция

ξ, η

x ξ, η), y(ξ, η))

гармоническая в D, т. е.

) =

(

ζ u =

∂

= 0.

Так как

∂xe

∂ye

x =

z +

, y =

z −

, ξ =

ζ + ζ

ζ − ζ

, η =

то

∂z

= 2 ∂x − i

∂y ,

∂z

= 2

∂x + i∂y

∂

откуда

∂2u

zu = 4

∂z∂z

∂2u

∂

∂u ∂z

ζ u = 4

∂ζ∂ζ

= 4

∂ζ

∂z

∂ζ

∂z

∂ζ

∂z

∂u ∂ z

∂ u

∂z

∂ u

∂z

∂ u ∂z ∂z

= 4

+ 4

= 4

∂z

∂ze ∂ζ ∂ζ

∂z∂z ∂ζ ∂ζ

∂z

e ∂ζ∂ζ

В силу голоморфности функции z(ζ),

= 0.

∂ζ

∂z

ζ u =

∂ζ

4Δzu.

(2.27)

∂z

Так как отображение конформно, то ∂ζ =6 0, и следовательно zu = 0 ζ ue = 0.

Это означает, что ue гармоническая в D.

2. При n > 2 также существует преобразование, сохраняющее гармоничность

функции. Это преобразование носит название преобразования Кельвина. Рассмотрим преобразование инверсии

	R2			R2		(2.28)
y =		x,	x =		y.
	\|x\|2			\|y\|2

114

М.А. Греков	Уравнения математической физики

Точки x, y называют симметричными относительно сферы SR. Они удовле-
творяют соотношению
		\|x\|\|y\| = R2.				(2.29)
Преобразование (2.28) взаимнооднозначно преобразует внешность шара DR на
DR\{0}.
Определение 1.	Пусть функция u(x) - гармоническая вне шара DR, тогда
функция:
	u(y) =	Rm−2	u	Rm−2	y	(2.30)
	u(y) =	y m−2	u	y m−2	y	(2.30)
называется преобразованиемeКельвина\| \|			функции\| \|		u(x).

Покажем, что при преобразовании Кельвина гармоничность сохраняется, т.е. функция ue(y) гармонична в DR\{0}. Возьмем m = 3, перейдем к сферическим коор-

динатам

x = (r, θ, ψ), θ [0, π], ψ [0, 2π]. u(x) = v(r, θ, ψ).

x → y = (ρ, θ, ψ),

где ρ =

. Тогда, согласно (2.30), при m = 3 имеем:

ue(y) = ve(ρ, θ, ψ) =

, θ, ψ),

откуда

1 ∂

∂v

∂

∂v

∂2v

u(y) =

ρ2

∂ρ

ρ2

∂ρ

ρ2 sin Θ

∂Θ

sin Θ

∂Θ

ρ2 sin2 Θ

∂ψ2

= R5

∂r2 + r ∂r

+ r2 sin Θ ∂Θ sin Θ

∂Θ + r2 sin2

Θ ∂ψ2

r5 e

∂2v 2 ∂v

∂

∂v

∂2v

Таким образом

yue(y) =

xu(x).

В общем случае

(2.31)

u(x).

(2.32)

rn+2

(2.33)

yu(y) =

u(x).

Замечание 1. Докажем, чтоe

Rn+2

1 ∂

∂v

∂2v 2 ∂v

ρ2

∂ρ

∂r2

∂r

115

М.А. Греков

Уравнения математической физики

Действительно:

R2 ∂

r2 ∂

∂

∂ dr

= −

ρ2 ∂ρ

ρ2

∂ρ

∂r

dρ

ρ2

∂r

= R4

∂r2

ρ v

−R2

∂r

−R2

∂r ρ v

1 ∂

∂v

∂

∂ R

∂2

= R4

∂r2

= R5

∂r2 + r ∂r

∂2

∂2v 2 ∂v

§ 3. Основные свойства гармонических функций

Пусть Ω

R , = ∂Ω кусочно-гладкая поверхность, u(x), v(x) гармонические

(1)

(Ω). Согласно 1-й и 2-й формулам Грина для оператора Лапласа

в Ω функции, u, v C

соответственно получаем равенства, справедливые для гармонических функций

∂u

∂v ∂u

Z v

d = ZΩ

dΩ, α = 1, n,

(3.1)

∂n

∂xα

∂u

∂v

Z v

− u

d = 0.

(3.2)

∂n

Если {∞} Ω, то дополнительно требуем абсолютной интегрируемости (или аб-

солютной суммируемости, если интегралы понимаются в смысле Лебега) от подынтегральных выражений.

Из (3.1), (3.2) вытекают основные свойства:

Свойство 1. Единственности гармонической функции. Если гармоническая функция u(x) непрерывна в Ω вместе со своими первыми производными и u(x) = 0 для x , то

u(x) ≡ 0, x Ω.

Доказательство. Полагая в (3.1) v = u, получим:

ZΩ k=1	∂xα			dΩ = 0, k=1	∂xα	= 0, u = const.
n			2	n		2
X		∂u		X	∂u

А так как на границе u(x) = 0, то u(x) ≡ 0 для x Ω.

116

М.А. Греков

Уравнения математической физики

∂u

Свойство 2. = 0 для гармонической в Ω функции u(x), непрерывной в Ω

∂n

вместе со своими первыми производными, то

u(x) = const, x Ω.

Доказательство аналогичное.

Свойство 3. Если гармоническая в Ω функция u(x) непрерывна в Ω вместе

со своими первыми производными, то
∂u
Z ∂nd = 0	(3.3)

Это следует из (3.1) при v = 1.

Свойство 4. Интегральное представление гармонической функции. Для гармонической в Ω функции u(x), непрерывной в Ω вместе со своими первыми

производными справедлива формула	∂ν d −	\|S1\| Z u(ξ)
u(x) = \|S1\| Z E(x, ξ)			∂ν	d ,	(3.4)
1	∂u	1	∂E(x, ξ)
					2πn/2
где E(x, ξ) фундаментальное решение уравнения Лапласа, \|S1\|				=		– площадь
					(n/2)

единичной сферы в Rn, (x) гамма-функция Эйлера.

Доказательство.

Для вывода (3.4) рассмотрим область

Ωε = Ω\{ξ : |ξ − x| ≤ ε}

и к Ωε применим формулу (3.2), полагая v(ξ) = E(x, ξ). Тогда

∂u

∂E(x, ξ)

∂u

∂E(x, ξ)

Z ε E(x, ξ)

− u(ξ)

d ε = Z|ξ−x|=ε E(x, ξ)

− u(ξ)

d ε, =

∂ν

сделав замену, где

= −

внешняя нормаль к границе шара ε, получим

d ε

Z|ξ−x|=ε E(x, ξ)

∂ν d ε − Z|ξ−x|=ε [u(ξ) − u(x)]

∂ν

d ε − u(x) Z|ξ−x|=ε

∂ν

∂u

∂E(x, ξ)

(3.5)

На сфере ε имеем

E(x, ξ) =

n > 2

(3.6)

(n 2)εn−2

−

ln−ε,

n = 2,

117

М.А. Греков

Уравнения математической физики

где

∂E(x, ξ)

производная по направлению.

∂ν

∂E(x, ξ)

∂ν

ε =

∂r

ε =

∂ε

εn−1

, n ≥ 2.

(3.7)

∂E(x, ξ)

lim Z|ξ−x|=ε [u(ξ) − u(x)]

d ε = 0,

∂ν

так как

d ε

= d 1 элемент поверхности единичной сферы.

εn−1

Z|ξ−x|=ε

d ε

= |S1|.

εn−1

Так как u(x) C(Ω), то для любого δ > 0 существует ε1 > 0 такое, что если

|ξ − x| < ε1, то

|u(ξ) − u(x)| < δ,

откуда

Z|ξ−x|=ε

d ε

u(ξ)

−

u(x)

< δ

| −−→→

−

δ 0

С учетом последних соотношений из (3.5) следует (3.4).

Свойство 5. Формулы о среднем арифметическом гармонической функции. Если шар |ξ − x| ≤ R Ω и u(ξ) гармоническая в Ω, то значение u(x) в центре

шара равно среднему арифметическому ее значений на сфере.

Доказательство. Применим формулу (3.4) к шару. В силу (3.3) и равенств (3.6), (3.7) имеем


	1				Z\|ξ−x\|=R u(ξ)d R.
	u(x) =							(3.8)
			\|S1\|Rn−1
Записывая (3.8) для \|ξ − x\| = ρ ≤ R в виде
	1				Z\|ξ−x\|=ρ u(ξ)d ρ,
	ρn−1u(x) =							(3.9)
				\|S1\|
домножая (3.9) на dρ и интегрируя в промежутке 0 ≤ ρ ≤ R, получим
	n					1
u(x) =		Z\|ξ−x\|≤R u(ξ)dV =					Z\|ξ−x\|≤R u(ξ)dV,	(3.10)
	\|S1\|Rn					VR

где VR = (|S1|Rn)/n объем шара, dV элемент объема. Таким образом, (3.8) фор-

мула о среднем арифметическом для гармонической функции по поверхности шара, т.е. по сфере, а (3.10) формула о среднем арифметическом для гармонической функции

118

М.А. Греков Уравнения математической физики

по объему шара. При n = 2, n = 3 в полярных координатах формула (3.8) имеет соот-

ветственно вид

		1		Z0		2π
u(x1, x2) =		1				u(x1 + R cos ϕ, x2 + R sin ϕ)dϕ,

			2π
где d R = Rdϕ.
1			2π				2π
1		Z0			dϕ Z0
u(x1, x2, x3) =							u(x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) sin ϕdψ,
u(x1, x2, x3) =	4π						u(x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) sin ϕdψ,
где d R = R2 sin ϕdϕdψ, \|S1\| = 4π,
y1 = R sin ϕ cos ψ,					y2 = R sin ϕ cos ψ, y3 = R sin ϕ cos ψ.

Свойство 6. Принцип экстремума гармонической функции. Из (3.10)

следует, что если гармоническая в Ω функция u(x) 6= const, то ни в одной точке x Ω она не может принимать значения ни своей верхней, ни своей нижней границы.

Доказательство.
M = sup u,	m = inf u.
x Ω	x Ω

Если M = +∞ или m = −∞, то это очевидно, т.к. в каждой точке x Ω функция u(x) конечна. Докажем от противного: пусть существует x0 Ω : u(x0) = M. Рассмотрим шар Dε(x0, ε) Ω. Тогда в нем в каждой точке u(x0) = M, так как если бы существовала такая ξ Dε, в которой u(ξ) < M, то из (3.10) мы бы получили, применяя

формулу для Dε(x0, ε), что M < M.

Беря затем некоторую точку x Ω и соединяя ее с точкой x0 непрерывной кривой l Ω, будем последовательно передвигать шары Dε(ξ, ε) вдоль кривой l, пока точка x не окажется в шаре. За ε следует взять расстояние, меньшее, чем расстояние от l до границы . Для гармонической функции v(x) = −u(x):

inf u = sup v,

x Ω x Ω

следовательно, для inf доказательство то же.

Если u(x) гармоническая в Ω и непрерывная в Ω , то, очевидно, точки экстремумов u(x) лежат на .

x , то |u| ≤ v для x Ω.

119

М.А. Греков	Уравнения математической физики

§ 4. Постановка основных краевых задач для уравнения эллиптического типа

Основные задачи теории эллиптических уравнений задачи Дирихле и Неймана сформулируем в общем случае эллиптического уравнения второго порядка.

Определение 1. Краевая задача для эллиптического уравнения называется внутренней, если искомая функция должна быть определена в конечной области и внешней – если в бесконечной.

Как и ранее, рассмотрим конечную или бесконечную область, ограниченную конечным числом конечных, кусочно-гладких поверхностей. Различают первую краевую задачу задачу Дирихле и вторую краевую задачу задачу Неймана.

Рассмотрим эллиптическое уравнение общего вида

	∂2u		∂u
Aαβ		+ Aα		+ A0u = F (x), α = 1, m, x Rn	(4.1)
	∂xα∂xβ		∂xα

Внутренняя задача Дирихле. Пусть Ω – конечная область с кусочно-гладкой границей и ϕ(x) – заданная и непрерывная на функция. Требуется найти u(x) C2(Ω) ∩ C(Ω), удовлетворяющую (4.1) и условию

u(x) = ϕ(x), x .

(4.2)

Условие (4.2) для разрывной функции ϕ(x) следует рассматривать в точках непрерывности. Так же обстоит дело и в случае кусочно-гладкой границы .

Внутренняя задача Неймана. Найти u(x) C2(Ω) ∩ C(Ω) удовлетворяющую

(4.1) и на множестве точек x , в которых существует нормаль к , и условию

0	∂u(x0)		(4.3)
lim Aαβ (x )	∂xα0	cos(n, xβ) = ψ(x),	(4.3)
x0→x	∂xα0

x0 Ω и лежит на нормали, проведенной к поверхности в точке x; ψ(x) заданная функция на ; x0k компоненты вектора x0.


Для случая, когда u(x) C1(Ω), условие (4.3) можно записать в виде:
	∂u

Aαβ	∂xα	cos(n, xβ)	= ψ(x).	(4.4)

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.2015165.89 Кб47uchebnik-stihoslozheniya.doc
#
17.08.2019841.22 Кб2uchebnoe_posobie.doc
#
11.11.20191.12 Mб4Uchebnoe_posobie_po_strakh_SFU2008.doc
#
20.12.20181.85 Mб10uchit_mikra.docx
#
01.08.2019313.34 Кб3UIP_bragintsa.doc
#
21.03.2016948.39 Кб47UMF-BOOK.pdf
#
18.08.20192.25 Mб39UMK_Kriminologija.doc
#
30.10.20182.35 Mб19UMK_TGP(2).doc
#
31.08.2019108.03 Кб1Understanding Negotiations - 1final.doc
#
22.07.201968.61 Кб0Unit1.doc
#
22.07.201981.92 Кб0Unit2.doc