Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UMF-BOOK

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

948.39 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1714 15 16 17 > Следующая >>>

М.А. Греков	Уравнения математической физики

Доказательство. Докажем, прежде всего, что неотрицательная (неположительная) гармоническая в Rm функция u(x) постоянна в Rm.

Действительно, пусть u(x) ≥ 0, |x| < R, |ξ| = R, R радиус шара. Справедливо

неравенство

R − |x| ≤ |ξ − x| ≤ R + |x|.

(5.23)

Тогда из (5.15) и (5.23) имеем

ξ ≤

≤ |S1|R Z

(R − |x|)n

|S1|R Z

(R + |x|)n

R2 − |x|2

ϕ(ξ)d

u(x)

R2 − |x|2

ϕ(ξ)d

|ξ|=R

|a| − |b| ≤ |a − b| ≤ |a| + |b|

Домножим и разделим на Rm−2. Так как по свойству среднего арифметического

u(0) =

u(ξ)d ξ,

|S1|Rm−1

имеем

|ξ|=R

Rm−2

R − |x|

u(0)

≤

u(x)

≤

Rm−2

R + |x|

u(0),

R > 0.

(5.24)

(R + |x|)m−1

(R − |x|)m−1

Тогда для любого фиксированного x Rn при R → ∞ получаем u(x) = u(0).

Полагая теперь, что u(x) ≤ M для любого x Rn, где M = const, получим из

(5.24) для неотрицательной гармонической функции w = M − u(x) ≥ 0

равенство

M − u(x) = M − u(0),

тогда

u(x) ≡ u(0).

Из теоремы вытекает, чторассматриваемая задача Дирихле для полупространства xn > 0 в классе ограниченных функций не может иметь более одного решения.

Действительно, функция v(x) = u1(x) − u2(x), где u1, u2 решения указанной

задачи, удовлетворяющие краевому условию

v(x)|xn=0 = 0.

(5.25)

Рассмотрим функцию

v(x1, . . . , xn),

w(x) =

xn ≥ 0,

(5.26)

−

v(x1, . . . , xn), xn

≤

−

Функция

гармонична в

w x

const. так как

w(x) ограничена и

Rn, следовательно,

(

) =

w(x)|xn=0 = 0, то w(x) ≡ 0 для любого x Rn, тогда u1 ≡ u2.

131

М.А. Греков		Уравнения математической физики


2. Из принципа экстремума для гармонических функций и формулы Пуассона
	u(x) =	1	Z	R2 − \|x − x0\|2		ϕ(ξ)d
		\|S1\|R						(5.27)
				\|ξ − x\|n
			\|ξ−x0\|=R
можно доказать следующую теорему
Теорема 5.	(Теорема Гарнака) Если ряд				∞		гармонических функций
					k=1 uk(x)
uk(x) в Ω Rn, непрерывных в Ω , равномерно					сходится на			, то
					P

1)этот ряд равномерно сходится в Ω и

2)его сумма

X∞

u(x) =

uk(x)

гармонична в Ω и непрерывна Ω .

k=1

∞

Доказательство.

Так как ряд u(ξ) =

равномерно сходится на , то

k=1 uk(ξ)

есть ξ

то по определению равномерной

сходимости

ε > 0 N(ε) : n > N

k=N

uk(ξ)

< ε,

ξ .

(5.28)

Отсюда, так как конечная сумма

=N uk(x) гармонична в Ω и непрерывна в Ω

то из принципа экстремума

заключаем, что выполнение неравенства

k=N

x Ω

(5.29)

n uk(x) < ε

∞

является

необходимым

достаточным

условием

равномерной

сходимости

ряда

k=1 uk(x) для любых x

Ω .

Пусть x0 Ω и шар |x − x0| < R Ω. Тогда для гармонических функций uk(x) в

этом шаре справедлива формула Пуассона

|ξ − x|n

|S1|R

(x) =

− |x − x0|2

(ξ)d

|ξ−x0|=R

Следовательно, так как равномерно сходящийся ряд можно почленно интегриро-

вать, то

ξ x0

k=1

u(x) =

∞

(x) =

∞

− |x − x0

(ξ)d

− |x − x0|2

u(ξ)d

X X

| |

|ξ−x0|=R

| −

| |

|ξ−x0|=R

| −

откуда следует гармоничность u(x) в шаре |x − x0| < R. Так как x0 произвольная

точка, то u(x) гармонична для любой x Ω.

132

Глава 6 Теория потенциалов

Важное значение в развитии методов решения краевых задач математической физики имеют три интеграла, зависящие от переменной x как от параметра


Z	Z		E(x, ξ)µ(ξ)d ξ,		(0.1)
			∂
				E(x, ξ)σ(ξ)d ξ,	(0.2)
		∂ν
	Z		E(x, ξ)ρ(ξ)dΩ,		(0.3)

которые, в случае сходимости, носят название соответственно: (0.1) потенциал простого слоя, (0.2) потенциал двойного слоя, (0.3) объемный потенциал или потенциал объемных масс, распределенных по области Ω с плотностью ρ(ξ).

В дальнейшем будем считать, что Ω конечная область, ограниченная кусочногладкой поверхностью .

§ 1.

Объемный потенциал

Так как функция E(x, ξ) гармоническая при x 6= ξ, то объемный потенциал

u(x) = ZΩ

E(x, ξ)ρ(ξ)dΩ

(1.1)

является гармонической функцией

для любого x

m\(Ω S )

и при m >

u(x)

−→

→∞

Докажем следующее утверждение:

Теорема 6. Если функция ρ ограничена и непрерывна в Ω, то u(x) в (1.1) непре-

рывна и имеет непрерывные производные первого порядка в Rm, причем

∂u

= ZΩ

∂

E(x, ξ)ρ(ξ)dΩ,

k = 1, m.

(1.2)

∂xk

133

М.А. Греков	Уравнения математической физики

Доказательство. Возьмем некоторое ε > 0 и рассмотрим функцию

uε(x) = Eε(x, ξ)ρ(ξ)dΩ,	(1.3)
	(1.3)
Ω
где Eε(x, ξ) непрерывно дифференцируемая в Rm, причем вне шара Bε :	\|ξ − x\| < ε
выполнено
Eε(x, ξ) = E(x, ξ), \|ξ − x\| > ε.	(1.4)

В качестве Eε(x, ξ) в шаре |ξ − x| < ε (Bε) можно взять при m > 2 (что мы дальше

будем предполагать), например, функцию

ε	2(m − 2)εm−2		−		−	\|	ε2
E (x, ξ) =	1	m		(m		2)	ξ − x\|2	.	(1.5)
E (x, ξ) =		m		(m		2)		.	(1.5)

Функция uε(x), очевидно, непрерывно дифференцируема всюду в Rm, так как функция

∂Eε

ρ(ξ) непрерывна и ограничена в Ω, а следовательно, и интеграл

∂xk

ZΩ

∂Eε

ρ(ξ)dΩ

∂xk

существует и непрерывен. Таким образом

∂uε

∂Eε

= ZΩ

ρ(ξ)dΩ

∂xk

E(x, ξ)] ρ(ξ)dΩ

uε(x)

u(x)

[Eε(x, ξ)

[Eε(x, ξ) + E(x, ξ)] rm−1dr =

−

m 1

так как Eε и

r, dBε = d rdr, d r = r

− d 1,

d = |Sr| = |S1|r − ,

зависят только от

E(x, ξ) =

−

2)rm−2

− ε2(m + 2)

| 1|

2(m 2)εm−2

2(m2 4)

−

mrm

m − 2

−

|S1|M

rm+2

+ r2εm−2

= S M

m + 6 ε2,

где M = supξ Ω |ρ(ξ)|, r = |ξ − x|.

Отсюда следует, что

uε(x) u(x).

134

М.А. Греков			Уравнения математической физики

Следовательно, u(x) непрерывна в Rn. Справедливо равенство
	∂uε	= ZΩ		∂Eε(x, ξ)
							ρ(ξ)dΩ, k = 1, m.

	∂xk			∂xk
Утверждение. Несобственный интеграл
		vk = ZΩ			∂E(x, ξ)			ρ(ξ)dΩ

						∂xk

равномерно сходится и поэтому (1.1) можно дифференцировать под знаком интеграла.

Доказательство.

ZΩ

∂E(x, ξ)

ρ(ξ)dΩ =

ΩZ

∂E(x, ξ)

ρ(ξ)dΩε +

∂E(x, ξ)

ρ(ξ)dξ+

∂xk

j ·

|ξ−x|≤δ

n−1

ξk

− xk

ρ(ξ)dξ =

f(sin ζ

cos ζ

)ρ(ξ) dr dζ1 . . . dζ

|ξ−x|≤δ

Докажем, что для ε > 0 δ(ε) > 0, не зависящий от x, такой, что

∂E(x, ξ)

ρ(ξ)dξ < ε, x Ω.

∂xk

|ξ−x|≤δ

∂E(x, ξ)

ρ(ξ)dξ

∂E(x, ξ)

ρ(ξ)dξ

< M

∂E(x, ξ)

dξ

∂xk

∂ξk

ξ x δ

| − |≤

→

−

n 2

−

ξ x =δ

= M

E(x, ξ) cos(~n, ξk)d

= M|S1|δn

−→

≤ n

r −

δ 0

| − |

−

| ≤ |

−

| −

не зависимо от x. А так как

ξk

≤

−

1 .

ξk −n xk ρ(ξ)dξ

dξn

|≤

−

Тогда для разности

∂uε(x)

∂

− vk(x) = ZΩ

[Eε(x, ξ) − E(x, ξ)] ρ(ξ)dΩ

∂xk

135

М.А. Греков Уравнения математической физики

получаем оценку, равномерную относительно x

∂uε

m + 2

∂xk

− vk ≤ |S1

|M Z

εm

rm−1

rm−1dr = |S1|M

m + 1

ε,

которая не

зависит от x.

∂uε

∂u

vk =

∂xk

Отсюда, как и выше, учитывая непрерывность функции ∂uε(x), заключаем, что

∂xk

функция u(x) имеет непрерывные частные производные первого порядка x Rm, ко-

торые могут быть вычислены по формуле (1.2).

1.1Существование производных второго порядка объемного потенциала

Теорема 7. Покажем теперь, что если плотность ρ(ξ) имеет непрерывные частные производные первого порядка, ограниченные в Ω, то потенциал (1.1) имеет частные производные второго порядка в Ω.

Доказательство. Очевидно равенство

∂E(x, ξ)

= −

∂E(x, ξ)

∂xk

∂ξk

Тогда (1.2) можно записать в виде

∂u

∂E(x, ξ)

= − ZΩ

ρ(ξ)dξ

∂xk

∂ξk

или после интегрирования по частям

∂u

= − ZΩ

∂

(Eρ) − E

∂ρ

dξ =

= − Z

∂xk

∂ξk

E(x, ξ)ρ(ξ) cos(ν, ξk)d + ZΩ

E(x, ξ)

∂ξk

dξ .

∂ρ(ξ)

}

(1.6)

(1.7)

I:При x Ω имеет непрерывные производные по xj , которые могут быть получены внесением операции дифференцирования под знак интеграла (так как ξ , а x Ω).

136

М.А. Греков

Уравнения математической физики

II: Так как

∂ρ

непрерывна и ограничена в Ω, то II имеет непрерывные производные

∂ξk

первого порядка (по предыдущему)

∂

∂ρ

∂ρ ∂E(x, ξ)

ZΩ

E(x, ξ)dξ = ZΩ

dξ,

i, k = 1, m.

∂xi

∂ξk

∂xi

Таким образом, доказано существование непрерывных производных второго по-

рядка у функции u(x) при x Ω, причем

∂2u

∂E(x, ξ)

∂ρ ∂E(x, ξ)

= − Z

ρ(ξ) cos(ν, ξk)d + ZΩ

dξ =

∂xk2

∂xk

∂ξk

∂xk

= Z

∂E(x, ξ)

ρ(ξ) cos(ν, ξk)d − ZΩ

∂ρ ∂E(x, ξ)

dξ,

∂ξk

тогда при x Ω имеем

u = Z

m ∂E(x, ξ)

ρ(ξ) cos(ν, ξk)d − Z

∂ρ ∂E(x, ξ)

dξ =

k=1

∂ξk

k=1

∂ξk ∂ξk

∂E

ρ(ξ)d

lim

∂ρ ∂E(x, ξ)

dξ,

∂ν

−

ε→0 Z

k=1

∂ξk

(1.8)

Ωε

где Ωε = Ω\{ξ : |ξ − x| ≤ ε}.

Так как в Ωε

∂2E

ξE =

= 0

∂ξ2

k=1

и тогда при ξ 6= x

∂ρ ∂E

∂

∂E

k=1 ∂ξk ∂ξk

= k=1

∂ξk

ρ∂ξk

то интегрируя по частям и применяя формулу Остроградского, находим

∂ρ ∂E

∂

∂E

∂E(x, ξ)

dξ = Z

ρ(ξ)

d −

ρ(ξ)

d .

k=1

∂ξk

k=1

∂ξk

∂ν

Ωε

|ξ−x|=ε

(1.9)

Из (1.8) и (1.9) следует

lim

ρ(ξ)

∂E(x, ξ)

= −

lim

ρ(ξ)d

|ξ − x|m−1

ε→0 Z

∂ν

ε→0

|ξ−x|=ε

137

М.А. Греков Уравнения математической физики

−

lim

ρ(ξ) ρ(x)

ρ x

lim

−|

ρ(x),

εm−1

ε→0

εm−−1

− ( )

ε→0

|ξ−x|=ε

так как для δ > 0 ε > 0 : |ξ − x| ≤ ε |ρ(ξ) − ρ(x)| < δ.

Таким образом, объемный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона
u = −\|S1\|ρ(x).	(1.10)

Использование формулы Остроградского предполагает, что граница области Ω

является гладкой поверхностью.

От этого требования можно отказаться, так как функцию u(x) можно представить в виде x Ω

u(x) =ΩZ	E(x, ξ)ρ(ξ)dξ +	Z	E(x, ξ)ρ(ξ)dξ,	(1.11)
R		\|ξ−x\|≤R

где шар |ξ − x| ≤ R Ω, а ΩR = Ω\BR, BR шар.

Первый интеграл гармоническая функция, а для второго годится приведенное выше рассуждение и имеет место формула (1.10).

Аналогично выводится формула при m = 2:
u = −2πρ(x).	(1.12)

1.2Задача Дирихле для уравнения Пуассона

На основании (1.10) заключаем, что функция u(x), определенная формулой
u(x) = −	1	ZΩ	G(x, ξ)f(ξ)dξ,
	\|S1\|			(1.13)

где G(x, ξ) функция Грина задачи Дирихле для гармонических функций в области Ω, а f(x) ограничена и имеет непрерывные первые производные, ограниченные в Ω,

является регулярным решением уравнения Пуассона

		u = f(x),			x Ω.			(1.14)
Можно показать, что функция u(x) удовлетворяет краевому условию
lim u x			,	x	,	x	.	(1.15)
x	→	x0 ( ) = 0			Ω	0		(1.15)
	→
Доказательство этого факта можно найти в книге А.В.Бицадзе.
Таким образом, при известной функции Грина G(x, ξ) объемный потенциал
u(x) = −\|S1\| ZΩ				G(x, ξ)f(ξ)dξ
		1

138

М.А. Греков	Уравнения математической физики

дает решение однородной задачи Дирихле (1.15) для уравнения Пуассона (1.14). Например, можно написать в квадратурах решение задачи Дирихле для уравнения

Пуассона в случае, когда Ω шар или полупространство.

Решение неоднородной задачи Дирихле для уравнения Пуассона

				u = f(x),						(1.16)
lim u x				ϕ x	0)	,	x	Ω	, x
x	→	x0	( ) =	(	0)			Ω	0
	→

при тех же условиях, что и в однородной задаче, сводится к нахождению решения соответствующей однородной задачи следующим образом:

Пусть v(x) гармоническая в Ω функция и

lim v x				ϕ x	0)	, x	Ω	, x	,	(1.17)
x	→	x0	( ) =	(	0)		Ω	0		(1.17)
	→

а u(x) искомое решение задачи (1.16), тогда функция w(x) = u(x) − v(x) будет регу-

лярным решением однородной задачи Дирихле для уравнения Пуассона, то есть

w = f(x)

(1.18)

lim w(x) = 0.

x→x0

§ 2. Интеграл Гаусса

Определение 1. поверхность Ляпунова в Rm, если

1)для x существует нормаль ~n к .

2)для x0 можно ввести местную систему координат ξ1, . . . , ξm с началом в точке x0 и осью ξm, направленной по нормали ~n к в точке x0, так, что существует d > 0, для которого часть d поверхности , находящейся внутри сферы Sd (сфера Ляпунова) радиуса d с центром в точке x0 определяется уравнением

ξm = f(ξ0),

где ξ0 = (ξ1, . . . , ξm−1) точка плоскости ξm = 0.

3) функция f(ξ0) имеет непрерывные первые производные и выполнены условия Лип-

шица для

∂f

, t любое направление в плоскости ξm = 0

∂t

∂t 0

−

∂t 0

≤ A |ξ0

− η0|α ,

(2.1)

)

∂f(ξ

∂f(η

≤

ξ0

, η0

A >

< α

лежат в плоскости ξ

При

< α <

условие Липшица

(или Lip) называется условием Гельдера (или H).

139

М.А. Греков

Уравнения математической физики

Из (2.1) следует, в частности, при m = 2 угол между нормалями к в точках ξ и

η удовлетворяет условию Липшица.

∂f

∂2f

Замечание 1. При

α > 1

≡ const, так как

= 0.

∂t

∂t2

Теорема 8. Пусть конечная область Ω Rm ограничена поверхностью Ляпу-

нова . Тогда справедлива следующая формула:

2πm/2

∂

−|S1| = − (m/2), x Ω

(x) =

E(x, ξ)d =

(2.2)

x R

∂ν

1 S1 =

πm/2

, x .

−

| | −

(m/2)

Интеграл

w0(x) = Z

∂

E(x, ξ)d

(2.3)

∂ν

носит название интеграла Гаусса, ν нормаль к в точке ξ.

Доказательство. Во-первых, заметим, что первые два равенства справедливы для кусочно-гладких поверхностей .

1. Второе равенство вытекает из свойств гармонических функций, так как при ξ Ω и x Rm\{Ω S } гармоническая функция в Ω то есть по ξ.

2. Пусть теперь x Ω . Введем обозначение

Bε0 = {ξ : |ξ − x| < ε, ξ Ω, x Ω } = Ω ∩ Bε.

Ωε = Ω\(Bε0 2)
При достаточно малом ε > 0 граница области Ωε
ε = ∂Ωε =	2, x Ω
		Ωε
		1 2, x .

Так как E(x, ξ) гармонична при x = ξ, то есть в , то
∂ΩZep	6
	∂E(x, ξ)	d = 0,

	∂ν

E(x, ξ)

(2.4)

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1714 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.2015165.89 Кб47uchebnik-stihoslozheniya.doc
#
17.08.2019841.22 Кб2uchebnoe_posobie.doc
#
11.11.20191.12 Mб4Uchebnoe_posobie_po_strakh_SFU2008.doc
#
20.12.20181.85 Mб10uchit_mikra.docx
#
01.08.2019313.34 Кб3UIP_bragintsa.doc
#
21.03.2016948.39 Кб47UMF-BOOK.pdf
#
18.08.20192.25 Mб38UMK_Kriminologija.doc
#
30.10.20182.35 Mб19UMK_TGP(2).doc
#
31.08.2019108.03 Кб1Understanding Negotiations - 1final.doc
#
22.07.201968.61 Кб0Unit1.doc
#
22.07.201981.92 Кб0Unit2.doc