Свиркина - Учебное пособие 2 семестр матан ЭФ СПбГУ
.pdfУДК 517
ББК 22.1 П24
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. Камачкин А.М. (С.- Петерб.гос.ун-т); д-р физ.-мат. наук, ведущий науч.сотр. Кирпичникова Н.Я. (Петерб.отд.мат.ин-та им. В.А. Стеклова Рос.ак.наук)
Печатается по постановлению учебно-методической комиссии
факультета прикладной – математики процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета
П24 Практические занятия по математическому анализу для студентов экономического факультета. Семестр 2: Учебно-
методическое пособие / Свиркина Л.А. СПб.: СОЛО, 2016. - 90 с.
Настоящее пособие содержит материалы практических занятий по математическому анализу второго семестра, которые включают в себя краткие теоретические сведения, задачи для аудиторной и самостоятельной домашней работы.
Данная публикация предназначена для обучающих и обучающихся по экономическим и физико-математическим направлениям. Адресована в первую очередь студентам образовательных программ «Экономика» и «Управление персоналом».
Библиогр. 7 назв. Ил. 19.
© Свиркина Л.А., 2016
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебно-методическое пособие содержит материалы практических занятий по математическому анализу второго семестра (всего их два) и рассчитано на четырнадцать занятий. Два занятия посвящены написанию контрольных работ, результаты которых позволяют преподавателю контролировать процесс усвоения материала. И двенадцать практических занятий проходят в обычном познавательно-рабочем режиме. Каждое занятие содержит название, краткие теоретические сведения, задачи для аудиторной работы и задачи для домашней работы. Практически каждая задача снабжена «Подсказкой», которая задает направление движения в сторону правильного решения.
Настоящее пособие содержит следующие разделы высшей математики: производная и исследование функций одной независимой переменной (раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя, формулы Тейлора и Маклорена, приложение производной: экстремумы функции, наибольшее и наименьшее значение функции, выпуклость, вогнутость, точки перегиба, асимптоты, исследование функций и построение графиков), интегральное исчисление (вычисление интегралов и исследование их свойств - вычисление неопределенных интегралов, непосредственное интегрирование, прием подведения функции под знак дифференциала, замена переменной в неопределенном интеграле, интегрирование по частям, интегрирование рациональных дробей, интегрирование простейших иррациональных дробей, вычисление определенных интегралов, несобственные интегралы, вычисление площади плоской фигуры), числовые ряды (основные понятия, исследование на сходимость числовых рядов с положительными членами - необходимое условие сходимости, первый и второй признаки сравнения, признак Коши, признак Даламбера, интегральный признак), функции двух независимых переменных (основные понятия, частные производные и дифференциалы первого и второго порядков, дифференцирование
3
сложных и неявных функций), обыкновенные дифференциальные уравнения (дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, дифференциальные уравнения в полных дифференциалах), двойные интегралы в декартовой прямоугольной системе координат.
Каждая задача данного пособия снабжена номером, состоящим из трех цифр. Первая цифра означает номер главы, вторая цифра – номер параграфа, третья цифра – идентификационный номер задачи. В скобках напротив номера задачи находится название темы.
На одном из последних занятий второго семестра, по желанию студента, проводится проверка ориентации в теоретическом материале. Допускается использование своего рукописного конспекта лекций. Студенты, успешно ответившие на вопросы преподавателя, получают бонус на экзамене.
Как и в первом семестре [6], во втором формируется рейтинговая таблица «Активность», которая включает в себя следующие позиций: посещение практических занятий, выход к доске с решенной задачей, успешное выполнение и прохождение уточняющего собеседования по задачам домашних заданий второго семестра. Десять процентов от числа студентов группы, набравшие большее количество баллов в рейтинговой таблице «Активность», получают возможность перейти на одну позицию «выше» в шкале оценивания на экзамене.
Данная публикация может рассматриваться как отдельное издание, и как продолжение пособия [6].
При создании настоящего учебно-методического пособия были использованы некоторые методические приемы и задачи из учебных пособий [3-5].
4
ЗАНЯТИЕ 1. Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя. Формула Тейлора. Формула Маклорена. Признаки возрастания и убывания функции одной независимой переменной.
Аудиторная работа
Глава 1. Производная и исследование функций одной независимой переменной.
§1 Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Формула Тейлора. Формула Маклорена.
Правило Лопиталя
Задача 1.1.1. ( 00 , правило Лопиталя)
Вычислить предел по правилу Лопиталя
lim |
x x |
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
ln x x 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подсказка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Раскрытие неопределенностей типа |
0 |
и |
|
(правило Лопиталя) |
||||||||
|
|
|||||||||||
0 |
||||||||||||
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
lim |
|
f x |
и т.д. |
|
|
|
|
||||
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x a |
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: 2 .
Задача 1.1.2. (1 , правило Лопиталя)
lim tgx tg 2 x ?
x
4
Подсказка.
Неопределенности типа 1 , 00 , 0 раскрываются с помощью предварительного логарифмирования и нахождения предела
логарифма степени uv eln uv ev ln u . 5
Ответ: e 1 . |
|
|
|
|
||
Задача 1.1.3. ( |
0 |
правило Лопиталя) |
||||
0 |
||||||
|
|
|
|
|
||
lim |
3tg 4x 12tgx |
? |
||||
|
|
|
|
|||
3sin 4x |
12sin x |
|||||
x 0 |
|
|||||
Ответ: 2 . |
|
|
|
|
||
|
|
|
Формула Тейлора. Формула Маклорена |
|||
Если f x |
|
дифференцируема (n+1)-раз в некотором интервале |
||||
содержащем a , то для любого x из этого интервала она может быть
представлена в следующем виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f x f a |
|
f a |
x a |
|
f a |
x a 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
n a |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
R |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
f n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
R |
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
( лежит межу точками a |
и x, т.е. |
|||||||||||||||||||||
n 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a x a ,0 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.1) |
|||||||||||||||
(1.1) называется формулой Тейлора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
При a 0 получаем формулу Маклорена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
f x f 0 |
|
f 0 |
x |
|
f 0 |
x |
2 |
|
|
|
f n 0 |
x |
n |
|
f n 1 x |
x |
n 1 , |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1! |
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
n! |
|
n 1 ! |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1. |
||||
Разложение основных функций в ряд Маклорена: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
I |
|
ex 1 x |
x2 |
|
xn |
o xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
II |
sin x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n 1 |
|
|
|
o x2n |
||||||||||||||||||||||||||||
3! |
|
5! |
2n 1 ! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
III |
cos x 1 |
x2 |
|
|
x4 |
|
1 n |
|
|
x2n |
|
o x2n 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2n ! |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
IV |
|
|
|
|
|
m m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m m 1 m n 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 x m 1 mx |
x2 |
xn o xn |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
V |
ln x 1 x |
x2 |
1 n 1 |
xn |
o xn |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача 1.1.4. (формула Тейлора) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f x 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Представить функцию |
|
x |
в виде многочлена пятой степени |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
относительно двучлена x 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Подсказка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Здесь в (1.1) a 1, n 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Вычисляем производные до пятого порядка |
в |
точке |
a 1 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подставляем в формулу Тейлора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f a |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
f n a |
|
|
|
n |
|||||||||||
f x |
f a |
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
x a R . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x 1 2 |
|
|
10 x 1 3 |
|
|
80 |
|
x 1 4 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3 x 1 |
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
2! |
|
|
|
|
27 |
|
|
3! |
|
|
|
81 |
|
4! |
||||||||||||||||||
880 x 1 5
243 5! R5 .
Задача 1.1.5. (формула Маклорена)
Разложить функцию |
f x |
|
1 x 100 |
|
до члена с |
x2 |
|
1 |
2x 40 1 |
2x 60 |
|||||
|
|
|
|
включительно.
7
Подсказка. |
|
|
|
|
Представим |
исходную |
функцию |
в |
виде |
f x 1 x 100 1 2x 40 1 2x 60 .
Каждый из трех сомножителей разложим в ряд Маклорена по IV и перемножим.
1 x 100 1 100x 50 99x2 o x2
1 2x 40 1 80x 80 41x2 o x21 2x 60 1 120x 120 61x2 o x2
Ответ: f x 1 60x 1950x2 o x2 .
§2 Приложение производной. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции. Выпуклость. Вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты. Исследование функций и построение графиков.
п.1. Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значение.
Признаки возрастания, убывания:
Пусть f x определена и дифференцируема на интервале a,b .
1. |
Если f x0 0, x0 |
a,b f x |
строго |
монотонно |
возрастает на a,b , а x0 является точкой возрастания функции, |
||||
2. |
Если f x0 0, x0 |
a,b f x |
строго |
монотонно |
убывает на a,b , а x0 является точкой убывания функции.
Определение. Пусть f x определена в некоторой окрестности x0 .
Тогда |
x0 называется точкой строгого локального максимума (точкой |
||
строгого локального минимума) функции |
f x , если такое 0 , |
||
что |
f x x f x0 , |
если |
x (соответственно |
f x x f x0 ).
8
Далее, для простоты, точки строго локального максимума и строгого |
||||||
локального |
минимума |
будем |
обозначать |
max |
и |
min |
соответственно. |
|
|
|
|
|
|
Определение. |
max или |
min |
функции |
называется |
точкой её |
|
экстремума (внутренняя точка области определения).
Определение. x0 : |
f x0 0 называется |
стационарной точкой, |
|
f x0 - стационарным значением. |
|
|
|
Необходимое условие экстремума: |
f x в |
x0 имеет экстремум |
|
f x0 0 или f x0 . |
|
|
|
Определение. ки: |
f x0 0 |
или |
f x0 называются |
критическими точками первого рода или просто критическими точками.
Замечание.
Не всякая критическая точка является точкой экстремума, она может быть, например, точкой разрыва.
Задача 1.2.1. (признаки возрастания, убывания) y x3 3x2 , x1 3, x2 1, x3 1, x4 0,5
В каких токах функция возрастает/убывает?
Ответ: возрастает, убывает, возрастает, убывает.
Домашняя работа (четыре номера)
Задача 1.1.6. ( , правило Лопиталя)
|
|
1 |
|
1 |
? |
|
lim |
|
|
|
|||
|
|
|||||
x 1 |
ln x |
|
x 1 |
|
||
Подсказка.
Приводим к общему знаменателю.
9
Ответ: |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 1.1.7. ( |
0 |
, правило Лопиталя) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
ex2 |
cos x |
? |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 1.1.8. (1 , правило Лопиталя) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim 1 tg 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
? |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: e 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задача 1.1.9. (на IV) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Разложить |
f x |
1 x x2 |
до члена с |
x 4 включительно. |
||||||||||||||||||
1 x x2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подсказка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f x |
1 x x2 x x |
1 |
|
2x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 x x2 |
|
x2 x 1 |
|||||||||||||
x3 1 x 1 x2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Дальше воспользуемся IV для 1 x3 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||
Ответ: |
f x 1 2x 2x2 2x4 |
o x4 . |
||||||||||||||||||||
10
ЗАНЯТИЕ 2. Признаки возрастания и убывания функции одной независимой переменной (продолжение). Экстремумы функции (Правило 1, Правило 2, Правило 3). Наибольшее и наименьшее значение функции.
Аудиторная работа
Проверка домашнего задания (1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, 1.1.9)
(продолжение) Глава 1. Производная и исследование функций одной независимой переменной.
(продолжение) §2 Приложение производной. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции. Выпуклость. Вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты. Исследование функций и построение графиков.
(продолжение) п.1. Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значение.
Задача 1.2.2. (признаки возрастания, убывания)
Найти интервалы возрастания и убывания функции y x 1 
x .
Ответ: функция возрастает во всей области определения 0, .
Задача 1.2.3. (экстремум функции, Правило 1)
Исследовать на экстремум функцию y x 5 ex используя Правило 1.
Подсказка.
Правило 1. (для критических точек, не точек разрыва)
Пусть x0 - критическая точка, не являющаяся точкой разрыва.
Если для д.м. h 0
f x0 |
h 0 и |
f x0 |
h 0 f x в x0 max , |
(возр) |
|
(убыв) |
|
f x0 |
h 0 и |
f x0 |
h 0 f x в x0 min . |
(убыв) |
|
(возр) |
|
|
|
|
11 |