Свиркина - Учебное пособие 2 семестр матан ЭФ СПбГУ
.pdf
Задача 5.2.5. (дифференциальные уравнения в полных дифференциалах)
|
|
y |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
Решить уравнение |
|
|
|
|
y dx e y x |
|
|
|
|
dy 0 . |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
||||
|
y |
|
|
x |
y |
2 |
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: arctg xy xy e y C1 ,C1 1 C .
Глава 6. Двойные интегралы.
§1 Двойные интегралы в декартовой прямоугольной системе координат (ДПСК).
Рассмотрим два основных вида области D |
|
|
|
1) D ограничена слева и справа прямыми x a, x b a b , |
|||
снизу и сверху |
кривыми |
y 1 x и |
y 2 x |
1 x 2 x |
каждая из |
которых |
пересекается |
вертикальной прямой только в одной точке (см. Рис. 14).
Рис. 14
72
|
b |
2 |
x |
|
|
f x, y dxdy dx |
f x, y dy |
(6.1) |
|
D |
a |
1 |
x |
|
Сначала вычисляем внутренний интеграл, где x – постоянная, потом – внешний.
Определение. Интеграл в правой части (6.1) называется повторным или двукратным интегралом.
2) D ограничена снизу и сверху прямыми y c, |
y d c d , |
||
слева и справа |
кривыми |
x 1 y и |
x 2 y |
1 y 2 y |
каждая |
из которых |
пересекается |
горизонтальной прямой только в одной точке (см. Рис. 15)
Рис. 15
|
d |
2 |
y |
|
|
f x, y dxdy dy |
f x, y dx |
(6.2) |
|
D |
c |
1 |
y |
|
|
|
|
73 |
|
Замечание. Если область интегрирования D разбита на две области D1
иD2 , то
f x, y dxdy f x, y dxdy f x, y dxdy .
D |
D1 |
|
|
D2 |
Задача 6.1.1. (двойной интеграл в ДПСК) |
||||
Вычислить |
|
cos2 |
x sin2 |
y dxdy , где D – квадрат |
D
0 x 4 ,0 y 4 .
Подсказка.
Записываем интеграл в виде повторного (6.1) или (6.2) (без разницы).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
|
|
|
4 |
4 |
|
||
x sin2 |
y dxdy dx cos2 x sin2 |
y dy |
||||||
D |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
sin 2 y |
|
1 cos 2 y |
. |
|
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Ответ: |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 6.1.2. (двойной интеграл в ДПСК)
Двойной интеграл f x, y dxdy записать в виде повторного
D
интеграла и вычислить в случае f x, y xy, x 2,0 y x 2 .
Ответ: 323 .
74
Задача 6.1.3. (двойной интеграл в ДПСК)
Двойной интеграл f x, y dxdy записать в виде повторного
D
интеграла и вычислить в случае f x, y xy,0 x 1, x y x2 .
Ответ: 241 .
Задача 6.1.4. (двойной интеграл в ДПСК)
Двойной интеграл |
f x, y dxdy записать в виде повторного |
||
|
|
D |
|
интеграла и вычислить в случае f x, y xy, y x 2y,2 y 3 . |
|||
Ответ: |
195 |
. |
|
|
|
||
8 |
|
|
|
Домашняя работа (три номера) (к Занятию 14)
Задача 5.2.6. (дифференциальные уравнения в полных дифференциалах) x sin y dx xcos y sin y dy 0 .
Ответ: |
x2 |
x sin y cos y C |
, где C C 1. |
|
|||
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
Задача 5.2.7. (дифференциальные уравнения в полных дифференциалах)
Решить уравнение yex dx y ex dy 0 .
Ответ: ye x y2 C .
2
75
Задача 6.1.5. (двойной интеграл в ДПСК)
Двойной интеграл f x, y dxdy записать в виде повторного
D
интеграла и вычислить в случае f x, y xy,1 x 2,3 y 4 .
Ответ: 214 .
76
ЗАНЯТИЕ 13. Контрольная работа №2.
Аудиторная работа
Типы задач на контрольной работе №2
1.Вычислить определенный интеграл (к/з №11 стр. 53-56 [3], к/з №17 стр. 20-21 [1]), 5 интегралов;
2.Исследовать на сходимость несобственные интегралы (к/з №12 стр. 58-61 [3], к/з №19 стр. 22-23 [1]), 2 интеграла;
3.Вычислить площадь плоской фигуры (к/з №13 стр. 62-63 [3], к/з №18 стр. [1]), 1 задача.
По итогам проверки контрольной работы №2
1.Задачу на тему «площадь плоской фигуры» расписывать подробно, в том числе и как искали точки пересечения, и почему под интегралом брали нужный порядок функций.
2.При замене переменной в определенном интеграле надо обязательно менять пределы интегрирования в соответствии с произведенной заменой переменных. Чтобы избежать этой ошибки, лучше пользоваться приемом подведения функции под знак дифференциала.
77
ЗАНЯТИЕ 14. Двойные интегралы в декартовой прямоугольной системе координат (ДПСК) (продолжение). Проверка ориентации в теоретическом материале.
Аудиторная работа
Проверка домашнего задания (5.2.6, 5.2.7, 6.1.5)
(продолжение) Глава 6. Двойные интегралы.
(продолжение) §1 Двойные интегралы в декартовой прямоугольной системе координат (ДПСК).
Задача 6.1.6. (двойной интеграл в ДПСК)
Двойной |
интеграл |
f x, y dxdy |
записать в виде |
повторного |
|
D |
|
f x, y x y , а |
|
интеграла |
и вычислить |
его, если |
область D |
ограничена линиями x 0, y x, x y 4 .
Подсказка.
Рисуем область D
Рис. 16
78
И записываем повторный интеграл
24 x
x y dxdy dx x y dy
D |
0 |
x |
Ответ: 163 .
Задача 6.1.7. (двойной интеграл в ДПСК)
Двойной интеграл f x, y dxdy записать в виде повторного
D
интеграла, если f x, y x y , а область D ограничена линиями
y 0, y x, x y 2 .
Ответ: 23 .
Задача 6.1.8. (двойной интеграл в ДПСК)
Двойной интеграл f x, y dxdy записать в виде повторного
D
интеграла, если f x, y x y , а область D ограничена линиями
y x2 , x y2 .
Ответ: 0 .
Задача 6.1.9. (двойной интеграл в ДПСК)
Двойной интеграл f x, y dxdy записать в виде повторного
D
интеграла, если f x, y x y , а область D ограничена линиями y 2x, y 2x 6, x 2y, x 3 2y .
Подсказка.
79
Разбить |
прямой |
y 2 |
на |
две |
области |
D D1 0 y 2 D2 2 y 4 .
Рис. 17
Ответ: 3 .
Самостоятельная работа:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Исследовать на сходимость числовой ряд |
3n |
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
||||||||
2. |
Найти |
частные производные |
z |
и |
|
z |
, если |
||||||||||
x |
|
|
|
||||||||||||||
|
y |
||||||||||||||||
|
z f |
u, v sin |
u v |
, u x, y x |
|
, |
v x, y |
x |
. |
||||||||
|
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||
80
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
3. |
Найти частные |
производные |
x |
|
и |
|
|
, если |
функция |
|||
|
|
y |
||||||||||
|
z f u, v |
задана |
неявно |
|
следующим |
|
образом |
|||||
|
z3 xy2 2z2 x2 zxy2 2 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Решить задачу |
Коши |
для дифференциального |
уравнения |
||||||||
|
1 e2 x y2dy exdx, y 0 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Вычислить двойной |
интеграл |
|
f x, y dxdy , |
в |
котором |
||||||
|
f x, y 4x y , |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
область |
D |
|
ограничена |
|
линиями |
|||||
x 1, y x2 , y 3 
x .
Проверка ориентации в теоретическом материале первого и второго семестров, для желающих. Допускается использование своего рукописного конспекта лекций. Студенты, успешно ответившие на вопросы преподавателя, получают бонус на экзамене («+1» балл к общему количеству баллов).
Замечание к Занятию 14. Структура «Занятие 14» разрабатывается преподавателем для каждой учебной группы в отдельности. Она зависит от количества желающих студентов пройти проверку ориентации в теоретическом материале первого и второго семестров. Возможна параллельная работа по трем направлениям – решение дополнительных задач на тему «Двойные интегралы в ДПСК», решение задач самостоятельной работы, проверка ориентации в теоретическом материале.
Замечание к Семестру 2. Для расширенной проработки учебного материала второго семестра можно воспользоваться пособиями [2, 4, 5, 7].
81