Свиркина - Учебное пособие 2 семестр матан ЭФ СПбГУ
.pdf
функция возрастает, |
на промежутке 1,3 |
функция |
убывает, |
на |
||||||
|
3, |
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
промежутке |
функция |
возрастает; |
3, |
|
|
|
- |
min; |
в |
|
|
|
|||||||||
|
,0 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
промежутке |
кривая выпуклая, в объединении промежутков |
|||||||||
0,1 1, кривая вогнутая; |
0,0 - точка |
перегиба |
графика |
|||||||
функции.
Рис.6
Задача 1.2.18. (исследование функции и построение графика)
Исследовать функцию и построить график y x 3 
x 1 .
Ответ: D f , ; |
общего |
вида; непериодическая; точки |
||||
пересечения с |
осями координат |
0,0 , 1,0 ; точек разрыва нет; |
||||
вертикальных, |
горизонтальных |
и |
наклонных асимптот нет; на |
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
промежутке , 1 |
1, |
|
|
функция убывает, на промежутке |
||
|
|
|||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
, |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
, функция возрастает; |
|
|
|
|
|
|
|
- min; в промежутках |
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
и 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
, |
|
|
|
кривая |
вогнутая, |
в промежутке |
|
|
, 1 |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кривая |
выпуклая; |
|
|
, |
|
|
|
|
|
, 1,0 |
- |
|
точки перегиба |
графика |
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
функции.
Рис. 7
23
ЗАНЯТИЕ 4. Вычисление неопределенных интегралов. Непосредственное интегрирование. Прием подведения функции под знак дифференциала. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Аудиторная работа
Проверка домашнего задания (1.2.17, 1.2.18)
Глава 2. Интегральное исчисление.
§1 Неопределенный интеграл.
п.1. Вычисление неопределенных интегралов. Непосредственное интегрирование.
Таблица простейших интегралов
Здесь и далее везде С const .
1.dx x C
xn 1
2.xn dx n 1 C
3.dxx ln x C
4. |
|
|
|
dx |
arctgx C |
|||
|
2 |
|||||||
|
|
1 |
x |
|
|
|
||
5. |
|
|
|
dx |
|
arcsin x C |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
1 x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
6. |
ex dx ex C |
|||||||
7. |
a x dx |
|
a x |
C |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ln a |
||
8. |
sin xdx cos x C |
|||||||
24
9. |
cos xdx sin x C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10. |
sec2 |
xdx |
|
1 |
|
|
dx |
|
dx |
|
tgx C |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
cos |
2 |
x |
cos |
2 |
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11. |
cos ec2 xdx |
|
|
1 |
|
dx |
|
dx |
|
ctg x C |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
sin |
2 |
|
sin |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|||||||
12.shxdx chx C
13.chxdx shx C
14. |
|
dx |
thx C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ch |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
15. |
|
|
|
|
|
dx |
cthx C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
arctg |
x |
|
C |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
|
|
|
x2 a2 |
C |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x2 a2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|||||||||||||||
18. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
ln |
|
C |
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
2 |
|
|
x a |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
||||||||||||||
19. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
arcsin |
|
x |
|
C |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||||||||||||||
|
|
a2 x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Задача 2.1.1. (неопределенный интеграл, непосредственное интегрирование)
Вычислить интеграл 2x2 5x 6 dx .
Ответ: 2x3 5x2 6x C .
3 2
25
Задача 2.1.2. (неопределенный интеграл, непосредственное интегрирование)
|
|
1 2x2 x3 |
|||
|
3 x |
||||
Вычислить интеграл |
|
|
|
|
dx . |
Подсказка.
Разбить одну дробь на сумму трех дробей.
|
2 |
|
8 |
|
|
|
11 |
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
x |
|
|
|
3 |
|
|
|
C . |
|
Ответ: |
x 3 |
3 |
x 3 |
||||||||||||
2 |
4 |
11 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача 2.1.3. (неопределенный интеграл, непосредственное интегрирование)
Вычислить интеграл 4x3 3x 1dx .
2x 1
Подсказка.
В числителе последовательно выделять знаменатель, чтобы можно было разбить на две дроби, в первой сократить знаменатель и т.д.
4x3 2x2 2x2 3x 1 2x2 2x 1 2x2 x 2x 1 .
Ответ: 2 x3 x2 x ln 2x 1 C .
3 2
п.2. Прием подведения функции под знак дифференциала.
Задача 2.1.4. (неопределенный интеграл, под дифференциал)
Вычислить интеграл 1 x2 1 xdx .
2
Подсказка.
Заметим, что d 1 x2 2xdx .
Ответ: 1 1 x2 3 C .
2
3
26
Задача 2.1.5. (неопределенный интеграл, под дифференциал)
Вычислить интеграл x2 3x 1 10 2x 3 dx .
Ответ: x2 3x 1 11 C .
11
п.3. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Задача 2.1.6. (неопределенный интеграл, замена переменной)
Вычислить интеграл |
|
sin 3 |
|
x |
dx . |
||
3 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
x
Подсказка.
] t 3 
x x t3 dx 3t 2dt .
Ответ: 3cos 3 
x C .
Задача 2.1.7. (неопределенный интеграл, замена переменной и подведение под дифференциал)
Вычислить интеграл x2 
x3 5dx .
Подсказка. |
|
|
|
1 |
способ |
(замена |
переменной). |
t 
x3 5 x3 t 2 5 3x2dx 2tdt .
2 способ (подведение под дифференциал). x2 подвести под знак дифференциала.
Ответ: 2 x3 5 3 C .
2
9
27
Задача 2.1.8. (неопределенный интеграл, замена переменной)
Вычислить интеграл |
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
||||
2x 9 |
||||||
|
|
|
||||
Подсказка.
] t 
2x 9 .
Ответ: |
2 |
arctg |
|
2x 9 |
|
C . |
3 |
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
Задача 2.1.9. (неопределенный интеграл, из вышеупомянутых
методов)
Вычислить интеграл |
x3 x 1 |
|
|
dx . |
|
x2 1 |
||
Ответ: x2 arctgx C .
2
Задача 2.1.10. (неопределенный интеграл, из вышеупомянутых
методов)
Вычислить интеграл 3x 1dx .
3x 1
Ответ: ln 3 C .
Задача 2.1.11. (неопределенный интеграл, из вышеупомянутых
методов)
Вычислить интеграл e x2 xdx .
Ответ: 12 e x2 C .
28
Домашняя работа (девять номеров)
Задача 2.1.12. (неопределенный интеграл)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычислить интеграл x |
x |
|
5x |
|
dx . |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
ln |
|
x5 C . |
|
|
|
|
||
Ответ: |
x 2 |
x |
|
|
|
|
||||||
5 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2.1.13. (неопределенный интеграл)
Вычислить интеграл 1 x2 1 x2 dx .
x5
Ответ: 41x4 ln x C .
Задача 2.1.14. (неопределенный интеграл)
Вычислить интеграл 2x32 x53x dx .
Ответ: 2250x C .
ln 2250
Задача 2.1.15. (неопределенный интеграл)
Вычислить интеграл ln t 4 dtt .
Ответ: ln t 5 C .
5
Задача 2.1.16. (неопределенный интеграл)
Вычислить интеграл e3cosx sin xdx .
29
Ответ: 13 e3cos x C .
Задача 2.1.17. (неопределенный интеграл)
Вычислить интеграл 2ln x 3 3 dx .
x
Ответ: 18 2 ln x 3 4 C .
Задача 2.1.18. (неопределенный интеграл)
Вычислить интеграл |
|
x 2 |
||
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
||
x2 4 |
||||
Ответ: 
x2 4 2 ln x 
x2 4 C .
Задача 2.1.19. (неопределенный интеграл)
sin 2x
Вычислить интеграл 
3 cos4 x dx .
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: arcsin |
cos |
|
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
Задача 2.1.20. (неопределенный интеграл)
|
|
|
|
|
2 x 1 |
|
||
Вычислить интеграл |
e |
|
dx . |
|||||
|
|
|
|
|
||||
2x 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: e 2 x 1 C . |
|
|
|
|
|
|
||
30
ЗАНЯТИЕ 5. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Рекуррентная формула. Интегрирование рациональных дробей.
Аудиторная работа
Проверка домашнего задания (2.1.12, 2.1.13, 2.1.14, 2.1.15, 2.1.16, 2.1.17, 2.1.18, 2.1.19, 2.1.20)
(продолжение) Глава 2. Интегральное исчисление.
(продолжение) §1 Неопределенный интеграл.
п.4. Интегрирование по частям. udv uv vdu
Задача 2.1.21. (неопределенный интеграл, интегрирование по частям)
Вычислить интеграл ln xdx .
Подсказка.
u ln x, dv dx .
Ответ: x ln x 1 C .
Задача 2.1.22. (неопределенный интеграл, интегрирование по частям)
Вычислить интеграл xe x dx .
Подсказка.
u x, dv e x dx .
Ответ: e x x 1 C .
31