Свиркина - Учебное пособие 2 семестр матан ЭФ СПбГУ
.pdf
Задача 3.2.8. (признаки сравнения)
|
3 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследовать на сходимость ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
n n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
n 1 |
|
|
n |
|
|
|
|
||||||
Подсказка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Сравнить со сходящимся рядом |
|
|
|
. |
|||||||||
|
1 |
|
13 |
||||||||||
n 1 n n n |
6 |
|
|
|
|
n 1 n |
6 |
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
Ряд |
сходится при |
p 1, и расходится при 0 p 1. |
||
p |
||||
n 1 |
n |
|
||
Ответ: сходится по первому признаку сравнения.
52
ЗАНЯТИЕ 9. Исследование на сходимость числовых рядов с положительными членами с помощью признака Коши, признака Даламбера, интегрального признака. Функции двух независимых переменных – основные понятия, частные производные первого и второго порядков.
Аудиторная работа
Проверка домашнего задания (2.2.14, 2.2.15, 2.2.16, 3.2.6, 3.2.7, 3.2.8)
(продолжение) Глава 3. Числовые ряды
§2 Исследование на сходимость числовых рядов с положительными членами.
п.3. Признак Коши.
Признак Коши:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если для ряда un |
lim n un |
C , |
то этот ряд сходится при C 1 |
|||||||||
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и расходится при C 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 3.2.9. (признак Коши) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Исследовать на сходимость ряд |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
2n 1 |
|
||||
Ответ: сходится, предел равен |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
п.4. Признак Даламбера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Признак Даламбера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
un 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
Если для ряда un |
lim |
D , |
то этот ряд сходится при D 1 |
|||||||||
|
||||||||||||
n 1 |
n u |
n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и расходится при D 1 .
53
Задача 3.2.10. (признак Даламбера)
2n
Исследовать на сходимость ряд .
n 1 n10
Подсказка.
|
n10 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 10 |
|
|
1 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: расходится, предел равен 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
п.5. Интегральный признак. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Интегральный признак: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если f x |
при |
x 1непрерывная, |
положительная |
и |
монотонно |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
убывающая функция, то ряд |
un , |
где un |
f |
сходится или |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
расходится в зависимости |
от |
того, сходится |
или |
расходится |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
несобственный интеграл f x dx, N 1 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3.2.11. (интегральный признак) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
Исследовать на сходимость ряд |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n 1 ln n 1 |
|
|
|
||||||
Подсказка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим |
функцию f x |
|
|
1 |
|
. |
При |
x 1 это |
||||||||||
|
||||||||||||||||||
x 1 ln x 1 |
||||||||||||||||||
непрерывная, |
положительная, |
монотонно |
убывающая |
функция |
||||||||||||||
dx
1 x 1 ln x 1 .
54
Ответ: расходится, предел в несобственном интеграле равен .
Задача 3.2.12. (интегральный признак)
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Исследовать на сходимость ряд |
|
|
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 2n |
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
сходится, |
предел в несобственном интеграле равен |
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
arctg 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 3.2.13. (интегральный признак) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Исследовать на сходимость ряд |
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
n ln |
|
n |
|
|
|||
Ответ: сходится, предел в несобственном интеграле равен |
1 |
. |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
Глава 4. Функции двух независимых переменных.
§1 Основные понятия, частные производные и дифференциалы первого и второго порядков.
Задача 4.1.1. (область определения)
Найти область определения функции u 
a2 x2 y2 . Изобразить её на координатной плоскости.
Подсказка. Область определения либо часть плоскости Oxy , либо вся плоскость Oxy .
Ответ:
55
Рис. 10
Задача 4.1.2. (область определения)
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
Найти область определения функции |
u arcsin |
|
|
|
. Изобразить её |
|||
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
на координатной плоскости. |
|
|
|
|
|
|||
Подсказка. |
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y 0, |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
||
56
Рис. 11
Задача 4.1.3. (область определения)
Найти область определения функции u |
|
1 |
. Изобразить её на |
|
|
||
x2 |
y |
||
координатной плоскости. |
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
Рис. 12
57
Задача 4.1.5. (частные производные первого и второго порядков)
Вычислить частные производные первого и второго порядков функции
f x, y xy xy .
Подсказка. |
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
. Частная производная функции |
fx , f y |
, fxx |
, f yy |
, fxy |
f yx |
|||
двух независимых переменных |
f x берется как производная функции |
||||||
одной независимой переменной по x, при условии, что y выступает как константа.
|
|
|
|
1 y |
|
|
|
x |
1 |
|
|
2 y |
|
|
2x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y x2 |
y2 |
x |
x3 |
y3 , |
||||||||||||||||
Ответ: |
f x |
, f y |
, fxx |
, f yy |
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y2 x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
fxy |
f yx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Домашняя работа (семь номеров)
Задача 3.2.14. (числовые ряды с положительными членами, признак Коши)
|
n |
|
n2 |
||
|
|||||
|
|
||||
Исследовать на сходимость ряд |
|
|
. |
||
|
|||||
n 1 |
n 1 |
|
|
||
Подсказка.
n 1 1 nn 1
|
|
|
1 |
|
n |
|
n |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|||
|
|
|
n 1 |
|
|
||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|||
58
Далее использовать замечательный предел последовательности
|
|
1 |
n |
e . |
lim 1 |
|
|
||
|
||||
n |
|
n |
|
|
Ответ: сходится, предел равен 1e .
Задача 3.2.15. (числовые ряды с положительными членами, признак Даламбера)
n
Исследовать на сходимость ряд n .
n 1 32
Ответ: сходится, предел равен 1 .
3
Задача 3.2.16. (числовые ряды с положительными членами, признак Даламбера)
n 1 2
Исследовать на сходимость ряд .
n 1 2n
Ответ: сходится, предел равен 12 .
Задача 3.2.17. (числовые ряды с положительными членами)
|
|
|
|
2n |
n |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
Исследовать на сходимость ряд |
|
. |
||||
|
||||||
|
n 1 |
|
3n 1 |
|
||
Ответ: сходится, предел равен |
2 |
. |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3.2.18. (числовые ряды с положительными членами)
2n
Исследовать на сходимость ряд .
n 1 n!
59
Ответ: сходится, предел равен 0.
Задача 3.2.19. (числовые ряды с положительными членами)
|
1 |
|
|
Исследовать на сходимость ряд |
. |
||
|
|||
n 2 |
n ln n |
||
Ответ: расходится, несобственный интеграл равен .
Задача 4.1.6. (частные производные первого и второго порядков)
Вычислить частные производные первого и второго порядков функции
f x, y x y .
Подсказка. |
|
|
|
|
|
|
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
fx , f y |
, fxx |
, f yy |
, fxy |
f yx . |
||
|
|
|
y 1 |
|
|
|
y y 1 x |
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
fx yx |
, f y x |
y |
ln x, fxx |
, f yy |
x |
y |
ln |
2 |
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
y 1 |
1 y ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
fxy f yx x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
60
ЗАНЯТИЕ 10. Полный дифференциал первого и второго порядков функции двух независимых переменных. Дифференцирование сложных и неявных функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения - основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Аудиторная работа
Проверка домашнего задания (3.2.14, 3.2.15, 3.2.16, 3.2.17, 3.2.18, 3.2.19, 4.1.6)
(продолжение) Глава 4. Функции двух независимых переменных.
(продолжение) §1 Основные понятия, частные производные и дифференциалы первого и второго порядков.
Задача 4.1.7. (полный дифференциал первого и второго порядков)
Вычислить полный дифференциал первого и второго порядков функции f x, y 
x2 y2 .
Подсказка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dz |
z |
dx |
|
z |
|
dy , |
|
d 2 z |
2 z |
dx |
2 |
2 |
|
2 z |
dxdy |
|
2 z |
dy2 . |
|||||||||||||||
x |
y |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
y2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|||||||||
Ответ: |
dz |
|
|
|
|
x |
|
|
dx |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
dy , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x2 y2 |
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
d 2 z |
|
y2 |
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
2xy |
|
|
|
dxdy |
|
|
x2 |
|
dy2 . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
61