Свиркина - Учебное пособие 2 семестр матан ЭФ СПбГУ

Далее находим координаты экстремумов, подставив значение x0 в саму функцию.

точками экстремума могут быть лишь внутренние точки области определения функции.

Задача 1.2.5. (экстремум функции, Правило 3)

Исследовать на экстремум функцию y x 1 4 используя Правило

3.

12

отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, выбрать наибольшее (наименьшее).

Задача 1.2.6. (наибольшее и наименьшее значение)

Найти наибольшее и наименьшее значение функции f x 3x x3 на отрезке 2,3 .

Ответ: наибольшее значение равно 2 (в стационарной x 1 и в

граничной x 2 ), наименьшее значение равно -18 (в граничной

x 3 ).

Задача 1.2.7. (наименьшее значение)

Найти положительное число, которое будучи сложено с обратным дает наименьшую сумму.

13

Подсказка. ] h 0, f h min .

Ответ: число 1.

Задача 1.2.8. (наибольшее значение)

Из круглого листа бумаги радиуса R вырезать сектор, чтобы при его сворачивании получилась воронка наибольшей вместимости. Найти

V и .

Подсказка.

V 13 r 2 H

Выразить r и H через .

V max

Рис. 1

14

Домашняя работа (два номера)

Задача 1.2.9. (наибольшее значение)

Проволока длиною l согнута в прямоугольник. Каковы размеры этого прямоугольника, если его площадь наибольшая?

Подсказка.

] a -длина одной стороны , S a max .

Ответ: это квадрат со стороной 4l .

Задача 1.2.10. (наибольшее значение)

Из квадратного листа жести со стороной a, выкроить коробку (без крышки) наибольшей вместимости.

Подсказка.

] x -высота коробки,V x max .

Ответ: Vmax 272 a3 наибольший объем коробки, x a6 .

15

ЗАНЯТИЕ 3. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции одной независимой переменной. Асимптоты. Исследование функций и построение графиков.

Аудиторная работа

Проверка домашнего задания (1.2.9, 1.2.10)

(продолжение) Глава 1. Производная и исследование функций одной независимой переменной.

(продолжение) §2 Приложение производной. Экстремумы функции. Наибольшее наименьшее значение функции. Выпуклость. Вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты. Исследование функций и построение графиков.

п.2. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Достаточные признаки выпуклости, вогнутости:

Пусть функция f x определена и дважды дифференцируема на

a,b

(син: выпуклый вверх) « » в этом интервале.

Определение. Пусть f x определена в некоторой окрестности x0

и непрерывна в этой точке. Тогда называется точкой

перегиба, если она является одновременно концом интервала выпуклости и концом интервала вогнутости.

Задача 1.2.11. (промежутки выпуклости/вогнутости)

Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции

y x5 5x 6 .

16

Ответ: если x ,0 кривая выпуклая, если x 0, кривая вогнутая.

Задача 1.2.12. (экстремумы, точки перегиба)

Найти экстремумы функции y x 1 2 x 2 и точки перегиба её графика.

Задача 1.2.13. (асимптоты)

Найти асимптоты кривой y 2x cos x .

x

Ответ: x 0 вертикальная асимптота, горизонтальных асимптот нет, y 2x наклонная асимптота. График функции показан на Рис. 2.

17

Рис. 2

Задача 1.2.14. (асимптоты)

Найти асимптоты кривой y x2e x .

Подсказка.

Ответ: вертикальных асимптот нет, y 0 горизонтальная асимптота, наклонных асимптот нет. График функции показан на Рис. 3.

18

Рис. 3

п.4. Исследование функции и построение графика функции.

Алгоритм

1.Найти область определения функции.

2.Исследовать функцию на четность/нечетность.

3.Исследовать функцию на периодичность.

4.Найти ки пересечения графика функции с осями координат

Ox,Oy .

5.Исследовать функцию на непрерывность, найти ки разрыва (если они ) и установить характер разрыва. Найти асимптоты кривой.

6.Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции.

7.Найти интервалы выпуклости, вогнутости кривой и её ки перегиба.

8.Используя исследования пунктов 1-7 и навыки решения задач на тему преобразование графиков функций [6], построить итоговый график функции.

Задача 1.2.15. (исследование функции и построение графика)

Исследовать функцию и построить график y x3 3x2 . 19

Ответ: D f , ; функция общего вида; непериодическая;

точки пересечения с осями координат 0,0 , 3,0 ; точек разрыва нет; вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет; на промежутке ,0 функция возрастает, на промежутке 0,2

функция убывает, на промежутке 2, функция возрастает; 0,0 - max, 2, 4 - min; в промежутке ,1 кривая выпуклая, в

промежутке 1, кривая вогнутая; 1, 2 - точка перегиба графика функции.

Рис. 4

Задача 1.2.16. (исследование функции и построение графика)

горизонтальных и наклонных асимптот нет; т.к. функция периодическая, то рассмотрим её экстремумы на промежутке 0,2 ,

2

на промежутке 0, функция возрастает, на промежутке

3

,0 - точка перегиба графика функции.

Рис. 5

Домашняя работа (два номера)

Задача 1.2.17. (исследование функции и построение графика)