Свиркина - Учебное пособие 2 семестр матан ЭФ СПбГУ
.pdf
Задача 2.1.36. (неопределенный интеграл, интегрирование иррациональных дробей)
Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
2x 3 |
|
||||||||||
Подсказка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Замена переменной |
x 1 |
1 |
|
. Сократить числитель и знаменатель на |
||||||||||||||||||||
t |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 x2 2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ответ: |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C . |
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 x 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Задача 2.2.7. (несобственный интеграл) |
|
|||||||||||||||||||||||
Исследовать |
|
на |
|
сходимость |
несобственный |
интеграл |
||||||||||||||||||
1 |
1 x2 1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x5 |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подсказка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В |
x 0 функция не ограничена применяем формулу (2.5) (или |
|||||||||||||||||||||||
можно рассмотреть односторонний предел при a 0 ).
Ответ: интеграл расходится.
42
ЗАНЯТИЕ 7. Контрольная работа №1.
Аудиторная работа
Типы задач на контрольной работе №1
1.Вычислить пердел по Правилу Лопиталя (любая литература), 1 задача;
2.Исследовать функцию и построить график (к/з №8 стр. 39-41 [3], к/з №15 стр. 17-19 [1]), 2 задачи (одна из функций тригонометрическая).
По итогам проверки контрольной работы №1
1.Подписывать критические точки первого и второго рода, рассуждать про них.
2.Рассуждать и делать выводы про точки экстремумов и точки перегиба. Писать их координаты.
3.Указывать промежутки возрастания, убывания, выпуклости, вогнутости.
4.Асимптоты – вертикальные, горизонтальные, наклонные. Рассуждения про них должны присутствовать, даже если их нет.
5.Обязательно оформлять каждый пункт подробно, т.к. на экзамене задачи будут составлены по пунктам. Например, Задача 1. Исследовать функцию на экстремумы, найти интервалы возрастания, убывания. Задача 2. Исследовать функцию на точки перегиба, найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой.
6.На координатную плоскость наносить и подписывать все характерные точки и прямые (результаты исследований п. 1 – 7 общего алгоритма).
43
ЗАНЯТИЕ 8. Несобственные интегралы (продолжение). Вычисление площади плоской фигуры. Числовые ряды – основные понятия. Исследование на сходимость числовых рядов с положительными членами с помощью необходимого условия сходимости и признаков сравнения (I и II).
Аудиторная работа
Проверка домашнего задания (2.1.35, 2.1.36, 2.2.7)
(продолжение) Глава 2. Интегральное исчисление.
(продолжение) §2 Определенный интеграл.
(продолжение) п.2. Несобственные интегралы.
Задача 2.2.8. (несобственный интеграл)
1 dx
Исследовать на сходимость несобственный интеграл 0 x ln 2 x .
Подсказка.
График подынтегральной функции не ограничен в точках x 0, x 1.
Ответ: интеграл расходится.
Задача 2.2.9. (несобственный интеграл)
dx
Исследовать на сходимость несобственный интеграл x2 x 1 .
Ответ: 23 интеграл сходится.
п.3. Вычисление площади плоской фигуры.
1. Площадь |
криволинейной трапеции, ограниченной кривой |
|
y f x |
f x 0 , прямыми |
x a, x b и отрезком |
a, b оси Ox вычисляется по формуле: 44
|
b |
|
|
|
|
S f x |
dx |
|
|
|
a |
|
|
y f1 x и |
2. |
Площадь |
фигуры ограниченной |
кривыми |
|
|
y f2 x |
f1 x f2 x и |
прямыми |
x a, x b |
|
находится по формуле: |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
S f2 x f1 x dx |
|
|
|
|
a |
|
|
|
Задача 2.2.10. (площадь плоской фигуры) |
|
|
||
Найти |
площадь |
плоской фигуры, |
ограниченной прямыми |
|
y 2x 3, y 0, x 1, x 2 .
Подсказка.
Построить область на координатной плоскости. Воспользоваться вышеприведенным п.1.
Ответ: 12 кв.ед.
Задача 2.2.11. (площадь плоской фигуры)
Найти |
площадь плоской фигуры, ограниченной параболой |
y x2 |
x 6 и прямой y 2x 2 . |
Подсказка.
Построить графики, определить что брать за f1 x , а что за f2 x и использовать формулу пункта 2.
|
2 |
|
1 |
2 |
|
25 |
|
y x |
|
x 6 x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
Ответ: |
125 |
кв.ед. |
|
6 |
|||
|
|
||
Задача 2.2.12. (площадь плоской фигуры) |
|||
Найти |
площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми |
||
y 2x,2y x, x y 6 .
45
Подсказка.
S S1 S2 . Через вершину 2,4 провести прямую параллельную оси Oy .
Ответ: 6 кв.ед. |
|
|
|
|
Задача 2.2.13. (площадь плоской фигуры) |
|
|||
Найти |
площадь |
плоской |
фигуры, |
ограниченной |
y x3 , y 0, x 2, x 1.
Подсказка.
S S1 S2
График функции y x3 см. на Рис 9.
Рис. 9
Ответ: 174 кв.ед.
46
Глава 3. Числовые ряды.
§1 Основные понятия.
un , где un f n - общий член ряда.
n 1
Sn u1 u2 un - частичная сумма ряда.
lim Sn S (конечное число) - сумма ряда (ряд сходится).
n
Если предел частичной суммы равен бесконечности или не существует, ряд расходится.
Определение. |
|
Ряд |
|
|
|
|
|
|
|
a aq aq2 aqn 1 |
|
q |
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
составленный |
из |
членов |
|
|
любой |
убывающей |
геометрической |
||||||||||||||
прогрессии является сходящимся и имеет сумму S |
a |
||||||||||||||||||||
|
. |
||||||||||||||||||||
1 q |
|||||||||||||||||||||
Определение. Ряд 1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
называется гармоническим |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
и он расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. |
Ряд |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
1 n 1 называется рядом |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
Лейбница и он сходится (знакочередующийся ряд). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определение. |
Ряд |
|
|
|
|
|
сходится |
при p 1, и |
расходится при |
||||||||||||
|
p |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 p 1
Определение. Ряд составленный из «обратных квадратов» сходится
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
и его S |
2 |
. |
|
4 |
9 |
n2 |
6 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
47 |
|
|
Задача 3.1.1. (общий член ряда) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Найти общий член ряда |
1 |
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
7 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
22 |
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
||||||
Подсказка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 d n 1 , в |
||||
В числителе |
арифметическая |
|
прогрессия an |
||||||||||||||||||||
знаменателе геометрическая прогрессия. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ответ: u |
|
|
2n 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 3.1.2. (общий член ряда) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
2 |
|
|
4 3 |
5 |
|
4 |
||||||||
Найти общий член ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7 |
|
|
|
11 |
15 |
|
|
||||||||
|
|
|
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: un |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
§2 Исследование на сходимость числовых рядов с положительными членами.
п.1. Необходимое условие сходимости.
|
|
|
|
Если ряд un сходится, то |
lim un 0 |
, т.е. при |
n предел |
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
общего члена ряда равен 0. Обратно не всегда верно, т.е. если предел общего члена ряда равен нулю, то ряд не всегда сходится. Однако,
если lim un |
0 , то ряд однозначно расходится. |
|
|
n |
|
|
|
Задача 3.2.1. (необходимое условие сходимости) |
|
||
Исследовать |
на |
сходимость |
ряд |
0,6 0,51 0,501 0,5 0,1 n |
|
||
Подсказка.
48
un 0,5 101n .
Ответ: расходится (предел общего члена равен 0,5, не равен 0).
Задача 3.2.2. (необходимое условие сходимости)
|
n 1 |
|
|
|
2 |
Исследовать на сходимость ряд |
2 |
n . |
n 1 |
|
|
Ответ: ряд подозрительный на сходящийся (предел общего члена ряда равен 0).
п.2. Признаки сравнения (I и II).
Первый признак сравнения (I): ] даны два ряда
|
|
un |
(1) |
n 1 |
|
|
|
vn |
(2) |
n 1
и каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е. un vn , n 1,2, , тогда
если (2) сходится (1) сходится если (1) расходится (2) расходится.
Этот признак остается в силе, если неравенство un vn выполняется не при всех n, а лишь начиная с некоторого номера n=N.
Второй признак сравнения (II):
Если конечный и отличный от 0 предел lim un k , то оба ряда
n vn
un и
n 1
vn одновременно сходятся или расходятся.
n 1
49
Задача 3.2.3. (признак сравнения I)
1
Исследовать на сходимость ряд .
n 1 2n 1
Подсказка.
Пусть исходный ряд un (1) , сравним его с бесконечно
n 1
1
убывающей геометрической прогрессией .
n 1 2n
Ответ: сходится.
Задача 3.2.4. (признак сравнения II)
1
Исследовать на сходимость ряд .
n 1 4 2n 3
Подсказка.
Сравним его с бесконечно убывающей геометрической прогрессией
|
1 |
|
|
|
, т.е. рассмотрим предел отношения их общих членов. Предел |
||
n |
|||
n 1 |
2 |
|
равен 14 .
Ответ: сходится.
Задача 3.2.5. (признаки сравнения)
|
1 |
|
|
|
Исследовать на сходимость ряд |
|
|
. |
|
|
|
|
||
n |
|
|
||
|
||||
n 1 |
n |
|||
Подсказка.
1
Сравним его с гармоническим рядом .
n 1 n
Ответ: расходится.
50
Домашняя работа (шесть номеров)
Задача 2.2.14. (несобственный интеграл)
dx
Исследовать на сходимость несобственный интеграл 1 x2 .
Ответ: 1, |
интеграл сходится. |
|
|
|
|||
Задача 2.2.15. (площадь плоской фигуры) |
|
|
|||||
Найти |
площадь |
плоской |
фигуры, |
ограниченной |
параболой |
||
y x2 |
4x и осью Ox . |
|
|
|
|||
Ответ: |
32 |
кв.ед. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
||
Задача 2.2.16. (площадь плоской фигуры) |
|
|
|||||
Найти |
площадь |
плоской |
фигуры, |
ограниченной |
прямыми |
||
y x 2, y 3x 6, y 0 .
Подсказка.
S S1 S2 .
Ответ: 6 кв.ед.
Задача 3.2.6. (необходимое условие сходимости)
|
n |
|
|
Исследовать на сходимость ряд |
. |
||
|
|||
n 1 |
3n 1 |
||
Ответ: расходится по необходимому условию сходимости.
Задача 3.2.7. (необходимое условие сходимости)
|
n |
|
||
Исследовать на сходимость ряд |
. |
|||
|
|
|||
ln n 1 |
||||
n 1 |
|
|||
Ответ: расходится по необходимому условию сходимости.
51