Свиркина - Учебное пособие 2 семестр матан ЭФ СПбГУ

Глава 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

§1 Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение. Наивысший порядок производной, входящий в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Пример.

1.Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка y x2 , y y x .

Перепишем его dydx x2 .

Интегрируем левую и правую части.

63

y x3 C - общее решение (см.п.1 Примера).

3

y 1 2 x0 1, y0 2 .

Из общего решения найдем C: 2 13 C C 53 .

Т.о. искомое решение данного дифференциального уравнения

(см. Рис. 13).

64

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Задача 5.1.1. (дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными)

Решить уравнение x y2 4 dx ydy 0 .

Подсказка.

y2 4 0 y 2 - подставляем в исходное уравнение – истинно. 65

дифференциального уравнения.

Задача 5.1.2. (дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, задача Коши)

Решить уравнение ln y y cos x y, y 0 1.

66

67

ЗАНЯТИЕ 11. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными (продолжение). Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Консультация по пройденному материалу на семинарских занятиях. Проверка успешного выполнения домашних заданий второго семестра, уточняющее собеседование по ним.

Аудиторная работа

Проверка домашнего задания (4.2.4, 4.2.5)

(продолжение) Глава 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

(продолжение) §1 Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Задача 5.1.3. (дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными)

Решить уравнение ln cos ydx xtgydy 0 .

Подсказка.

ln x C ln xC1 , где C ln C1

Ответ: y arccos exC1 - общее решение.

Задача 5.1.4. (дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными)

Решить уравнение yy 2x sec y .

Подсказка. По частям.

Ответ: y sin y cos y x2 C - общее решение.

Задача 5.1.5. (дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, задача Коши)

полных дифференциалах. Т.е. левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции u x, y .

du 0 u C - решение данного уравнения.

Нижние пределы интегрирования произвольные, и такие что интегралы в (5.1) имеют смысл, т.е. не должны быть расходящимися.

Задача 5.2.1. (дифференциальные уравнения в полных дифференциалах)

Консультация по пройденным практическим заданиям

(аудиторные задачи, домашние задачи, задачи контрольной работы №1). Консультантами выступают - преподаватель и хорошо успевающие студенты.

Уточняющее собеседование по выполненным домашним заданиям второго семестра, для желающих получить дополнительные баллы в таблицу «Активность».

Замечание к Занятию 11. Структура «Занятия 11» разрабатывается преподавателем для каждой учебной группы в отдельности. Она зависит от количества желающих студентов пройти уточняющее собеседование по выполненному во втором семестре домашнему заданию и получить дополнительные баллы в рейтинговую таблицу «Активность». Возможна параллельная работа по трем направлениям – решение дополнительных задач на тему «Обыкновенные дифференциальные уравнения», консультация по пройденным практическим заданиям, уточняющее собеседование по выполненным домашним заданиям.

Домашняя работа (два номера)

Задача 5.1.6. (дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными)

Решить уравнение x1 y2 dx y1 x2 dy 0 .

Ответ: 1 y2 1 x2 C - общее решение.

Задача 5.1.7. (дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, задача Коши)

Решить уравнение yyx e y 0, y 1 0 .

Ответ: 2e y y 1 x2 1 - решение задачи Коши.

70