
Бандурин TOE 1
.pdf
7. Встречное включение
|
|
Φ11 |
|
|
Φ21 |
|
|
Φ12 |
i1 |
|
i2 |
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
u1 |
|
* |
* |
|
Φ22 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.18. |
|
|
M |
* |
* |
|
L1 |
L2 |
i2 |
i1 |
|
|
u1 |
u2 |
+ |
+ |
|
|
|
Рис. 5.19. |
|
Включение двух катушек называется встречным, если их взаимные магнитные потоки Ф12 и Ф21 направлены навстречу друг другу. При этом токи катушек i1 и i2 ориентированы различным образом относительно одноименных зажимов (*).
Напряжения:
u = W |
d (Ф11 − Ф12 ) |
= L |
di1 |
− M |
di2 |
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
1 |
|
dt |
|
1 dt |
dt |
||||||||
u |
|
= W |
d (Ф22 − Ф21) |
= L |
di2 |
− M |
di1 |
. |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
2 |
dt |
|
|
2 dt |
|
dt |
При гармонических токах и напряжениях:
|
Uɺ |
= jω L Iɺ |
− jωMIɺ |
|
= Uɺ |
+ Uɺ |
|
|
, |
|
||||
|
1 |
1 1 |
|
|
2 |
|
L |
M |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Uɺ |
= jω L Iɺ |
|
− jωMIɺ |
= Uɺ |
+ Uɺ |
M |
. |
|
|||||
|
2 |
|
2 2 |
|
|
1 |
L |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
Где Uɺ |
= − jωMIɺ |
= − jХ |
M |
Iɺ , Uɺ |
M 2 |
|
= − jωMIɺ |
= − jХ |
Iɺ |
|||||
M1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
M 1 |
ставляющие, обусловленные взаимной индуктивностью.
(5.13)
(5.14)
– со-
91

|
|
|
+j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɺ |
|
UɺM 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
U L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
UɺM |
Uɺ |
|
|
|
Uɺ |
2 |
Iɺ |
|
|
|
1 |
L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uɺ1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Iɺ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.20. |
|
|
|
|
|
|
|
При встречном включении составляющие напряжений взаим- |
||||||||||
ной индукции Uɺ |
и Uɺ |
|
отстают от токов их создающих |
Iɺ |
и |
Iɺ |
||||
M |
M |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответственно на 90˚. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последовательное соединение индуктивно связан- |
|
|||||||||
|
|
|
ных элементов |
|
|
|
|
|
||
к |
jX L2 |
d |
R2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uɺ |
2 |
|
ɺ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U R |
|
|
|
|
|
|
|
|
jX M |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Eɺ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UɺR1 |
|
Uɺ1 |
|
|
|
|
|
||
а |
R1 |
b |
jX L1 |
|
с |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Рис. 5.21. |
|
|
|
|
|
|
|
Для схемы, изображенной на рис. 5.21 запишем уравнения по |
||||||||||
первому закону Кирхгофа |
Iɺ1 = Iɺ2 = Iɺ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и по второму закону Кирхгофа |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Eɺ = UɺR |
+ Uɺ1 + UɺR + Uɺ2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
92 |
|
|
|
|
|
|

или
|
Еɺ = R Iɺ+ ( jХ |
L |
Iɺ |
± jX |
M |
Iɺ) + R Iɺ+ ( jХ |
L |
Iɺ± jX |
M |
Iɺ) . |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
В |
результате |
Iɺ = |
|
|
|
|
Eɺ |
|
|
|
; X M = ω M , где |
||||
|
|
+ R2 |
+ j( ХL |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
R1 |
+ ХL ± 2 X M ) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
знак «+» – согласное включение, знак «-» – |
встречное включение. |
||||||||||||||
В результате больший ток Iɺ соответствует встречному вклю- |
|||||||||||||||
чению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Согласное включение (+) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
+j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uɺ |
|
|
|
UɺM 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Eɺ |
||||||
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
UɺL |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ɺ |
|
|
|
Uɺ |
|
|
|
UɺR2 |
|
d |
|
|
|
|
|
U 1 |
|
|
|
M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
UɺL1
Iɺ = Ie j 0°
а |
UɺR |
b |
+1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
Рис. 5.22. |
9. Встречное включение (-)
+j |
|
|
|
|
Uɺ |
|
|
|
|
|
М2 |
|
|
|
|
Uɺ |
к |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
UɺМ |
1 |
UɺL |
|
|
|
|
2 |
|
Uɺ |
|
|
c |
Eɺ |
d |
1 |
|
|
UɺR2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UɺL |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
+1 |
||
UɺR |
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
93

Рис. 5.23.
Параллельное соединение индуктивно связанных элементов
Iɺ |
|
|
jX М |
|
jX L2 |
||
|
|
|
|||||
jX L1 |
|
Uɺ1 |
Uɺ2 |
|
|||
Eɺ |
Iɺ1 |
|
|
Iɺ2 |
|||
Uɺ |
|
|
R1 |
UɺR |
|
|
R2 |
R |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.24.
Для схемы, изображенной на рис. 5.24 запишем уравнения по первому закону Кирхгофа
и по второму закону Кирхгофа
Eɺ = Uɺ |
+ Uɺ |
= R Iɺ |
+ ( jX |
L |
Iɺ |
± jX |
M |
Iɺ ) , |
|||||
R |
1 |
1 1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Eɺ = Uɺ |
+ Uɺ |
= R Iɺ |
+ ( jX |
L |
|
Iɺ |
|
± jX |
|
Iɺ |
) . |
||
R |
2 |
2 2 |
|
|
|
2 |
|
|
M 1 |
|
|||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
2 |
- (± jX |
M |
) |
|
|
Z |
1 |
- (± jX |
M |
) |
|
|||||||||
Iɺ1 |
= |
|
|
|
|
× Eɺ |
; Iɺ2 = |
|
|
|
|
|
|
|
× Eɺ; |
|||||||
Z1Z 2 + X M2 |
|
|
Z1 Z 2 + X M2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Z |
1 |
+ Z |
2 |
- 2(± jX |
M |
) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Iɺ= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× Eɺ. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Z1 Z 2 |
+ X M2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Развязка индуктивной связи
Развязка индуктивной связи применяется для ее исключения с целью упрощения расчетов и может быть доказана при помощи законов Кирхгофа в комплексной форме.
94

|
|
Два индуктивно связанных элемента подходят одинаковым |
|||||||||||||
|
|
образом к общему узлу (d) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
jX L |
|
|
|
|
|
j( X L |
− ХМ ) |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
а |
|
* |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
jX М |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
jX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
М |
jX L2 |
|
|
|
|
|
j( X L2 |
|
|
d |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
− ХМ ) |
||||||||
b |
|
* |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Два индуктивно связанных элемента подходят различным |
|||||||||||||
|
|
образом к общему узлу (d) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
jX |
L |
|
|
|
|
|
j( X L |
+ ХМ ) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
* |
|
jX М |
|
|
|
|
|
|
|
|
− jX М |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Х |
|
|
||
|
|
jX L |
|
|
|
|
|
|
j( X |
L |
М |
) |
d |
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
|
|
|
* |
|
|
b |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
После развязки индуктивной связи для расчета цепи можно |
|||||||||||||||
использовать любой известный метод в комплексной форме. |
|
||||||||||||||
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Z 1 |
* |
Z М |
* |
Z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eɺ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jɺ |
|
|
|
|
|
|
Iɺ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Eɺ = Ee jα , Jɺ = Je jβ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Z 1 = R1 + jX1 , Z 2 = R2 + jX 2 , Z = R + jX , Z М = jX М . |
|
||||||||||||
Определить: Iɺ = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
95 |
|
|
|
|
|
|
|
|

После развязки: |
|
|
|
Z 1 |
− Z М |
с |
Z 2 − Z М |
а |
|
b |
|
|
|
Z М |
|
Eɺ |
|
d |
Z |
|
|
|
|
|
|
Jɺ |
Iɺ |
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
Рис. 5.28. |
|
Используем метод эквивалентного генератора (рис. 5.29): |
|||
Z 1 |
− Z М |
с |
Z 2 − Z М |
а |
|
b |
|
|
|
Z М |
|
Eɺ |
|
d |
Uɺxx |
|
|
|
|
|
|
Jɺ |
|
|
|
к |
|
|
|
Рис.5.29. |
|
Напряжение холостого хода: |
|
||
EɺГ = Uɺxx = Eɺ + Jɺ× (Z1 - Z M ) = EГ e jα Г . |
|||
Сопротивление генератора: |
|
||
Z Г = (Z 2 - Z M ) + (Z1 - Z M ) = RГ + jX Г = Z Гe jα Г . |
|||
Ток в нагрузке: |
|
|
|
Iɺ = |
EɺГ |
= Ie jλ , I = |
|
EГ |
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|||||
|
Z Г + Z |
(RГ + R)2 + ( X Г + X )2 |
|
|
96

Активная мощность, потребляемая нагрузкой (рис. 5.30): |
|||||||||||||
|
P = I 2 R = |
(R |
|
EГ2 R |
|
+ X )2 |
= f ( R) |
|
|||||
|
|
|
|
+ R )2 + ( X |
Г |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = f (R) |
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
Rm |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.30. |
|
|
|
|
|
|
|
Сопротивление, при котором активная потребляемая мощность |
|||||||||||||
в нагрузке будет максимальной: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
R |
m |
= R |
2 |
+ ( X |
Г |
+ X )2 |
, P = |
|
EГ2 |
. |
|||
|
|
Г |
|
|
|
m |
2 |
(R |
|
+ R )2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
Г |
|
|
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɺ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I33 |
|
|
|
|
Iɺ |
|
Z M |
|
|
|
|
|
|
Jɺ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Iɺ2 |
|
|
|
Eɺ |
|
|
|
|
* |
* |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Iɺ |
|
|
|
|
|
Iɺ22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
Z н |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Z 2 |
|
|
ɺ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Iɺ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.31. |
|
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eɺ, Jɺ, Z 1, Z 2 , Z 3 , Z М , Z н. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
97 |
|
|
|
|
|
|
|

Определить: Iɺ, Iɺ1, Iɺ2 , UɺJ = ?
По методу контурных токов:
Iɺ33 = Jɺ,
Iɺ11(Z1 + Z 3 ) - Iɺ22 Z M - Iɺ33 Z 3 = Eɺ,
Iɺ22 (Z 2 + Z Н ) - Iɺ11 Z M - Iɺ33 × 0 = 0.
Далее находим:
Iɺ1 = Iɺ11; Iɺ2 = Iɺ22 ; Iɺ = Iɺ11 − Iɺ33 ; UɺJ = Eɺ − IɺZ 3 .
ЗАДАНИЕ №2
Линейные электрические цепи с гармоническими напряжениями и токами
Для заданной схемы с источниками гармонических ЭДС и
тока
e1(t) = 2E1 sin(ωt + α1); e2 (t) =
2E2 sin(ωt + α 2 );
e3 (t) = 0; J (t) = 2J sin(ωt + β ),
принимая ω = 314 рад/с и M=L/2 , выполнить следующее.
Записать систему независимых уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов.
Рассчитать без учета M комплексные сопротивления ветвей, соединяющих узлы, помеченные на схеме буквами и изобразить комплексную схему замещения с этими сопротивлениями для расчета комплексов действующих значений токов ветвей (номера и направления токов сохранить согласно заданию №1, причем параллельное соединение R и С представить в виде одного комплексного сопротивления).
Не исключая индуктивной связи, определить комплексы действующих значений токов всех ветвей и напряжение на зажимах источника тока:
по законам Кирхгофа, методом контурных токов.
Записать мгновенные значения тока в ветви ab и напряжения на зажимах источника тока.
Рассчитать балансы активной и реактивной мощностей.
98

Построить лучевую диаграмму токов и совмещенную с ней топографическую диаграмму напряжений.
Определить показание вольтметра.
Сделать развязку индуктивной связи и по методу эквивалентного генератора относительно сопротивления R ветви ab определить комплексное сопротивление активного двухполюсника (эквива-
лентного генератора) Z Г = Z Г × e jϕ Г , ЭДС генератора EɺГ и ток Iɺab в ветви ab, а затем при изменении сопротивления R ветви ab от 0 до 10 × Z Г рассчитать и построить зависимость для активной
мощности Pab = f ( R) .
Проанализировать результаты вычислений и сформулировать выводы по заданию.
Примечание: Схемы и таблицы к заданию №2 приведены в задании №1.
Методические указания к работе № 2.
Для заданной схемы дано: e1(t) = 2 × E1 × sin(ωt + α1) , В;
e2 (t) = 2 × E2 × sin(ωt + α2 ) , В; e3 (t ) = 0 , В;
J (t) = 2 × J ×sin(ωt + β ) , А.
E1 |
|
E2 |
|
J |
|
α1 |
|
α 2 |
β |
||
В |
|
В |
|
А |
|
град |
|
град |
град |
||
100 |
200 |
|
2 |
|
90 |
|
|
0 |
|
-60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R |
|
L |
C |
|
|
|
ω |
|
M |
||
Ом |
|
мГн |
мкФ |
|
|
рад/с |
|
мГн |
|||
100 |
|
318,47 |
31,8 |
|
|
314 |
|
L 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Схема:
99

Рис. 6.1. |
Записываем систему независимых уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов (функций времени). Для этого указываем номера и направления токов в ветвях схемы аналогично заданию 1. Так как e3 (t) = 0 , то узлы a и m, k и c объединяем. В результате полученная схема будет иметь: nу = 4 узла, nв = 7 ветвей;
n1 = nу − 1 = 3 уравнений по первому закону Кирхгофа, n2 = nв − n1 = 4
уравнений по второму закону Кирхгофа.
Выбираем 3 узла (например, a, b, d) и 4 контура, для которых составляем уравнения по законам Кирхгофа, учитывая, что индуктивно связанные элементы включены встречно:
узел a: J (t ) + i4 − iR − iC = 0 ,
узел b: i1 + i3 − i4 = 0 , узел d: −i1 − i2 − J (t ) = 0 ,
|
|
|
|
|
|
|
C |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
контур: |
3R × iR - |
1 |
|
|
iC |
× dt = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
контур: |
|
1 |
∫ |
iC dt + Ri4 + L |
di4 |
|
- M |
di3 |
+ L |
di3 |
- M |
di4 |
+ 2Ri3 = 0 , |
|||||||||||||
|
C |
dt |
|
|
dt |
dt |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|||||||||||
3 |
контур: -R ×i2 |
- 2R ×i3 |
- L |
di3 |
|
- M |
di4 |
|
= e1(t) - e2 (t) , |
|
|||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
- L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||||
4 |
контур: -R ×i4 |
di4 |
- M |
di3 |
= uJ (t) - e1(t) . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|