Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Бандурин TOE 1

.pdf
Скачиваний:
45
Добавлен:
15.03.2016
Размер:
2.08 Mб
Скачать

7. Встречное включение

 

 

Φ11

 

 

Φ21

 

 

Φ12

i1

 

i2

 

u2

 

 

 

 

u1

 

*

*

 

Φ22

 

 

 

 

Рис. 5.18.

 

 

M

*

*

 

L1

L2

i2

i1

 

u1

u2

+

+

 

 

Рис. 5.19.

 

Включение двух катушек называется встречным, если их взаимные магнитные потоки Ф12 и Ф21 направлены навстречу друг другу. При этом токи катушек i1 и i2 ориентированы различным образом относительно одноименных зажимов (*).

Напряжения:

u = W

d (Ф11 Ф12 )

= L

di1

M

di2

,

 

 

 

 

 

 

1

1

 

dt

 

1 dt

dt

u

 

= W

d (Ф22 Ф21)

= L

di2

M

di1

.

 

 

 

 

 

2

2

dt

 

 

2 dt

 

dt

При гармонических токах и напряжениях:

 

Uɺ

= jω L Iɺ

jωMIɺ

 

= Uɺ

+ Uɺ

 

 

,

 

 

1

1 1

 

 

2

 

L

M

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Uɺ

= jω L Iɺ

 

jωMIɺ

= Uɺ

+ Uɺ

M

.

 

 

2

 

2 2

 

 

1

L

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Где Uɺ

= − jωMIɺ

= −

M

Iɺ , Uɺ

M 2

 

= − jωMIɺ

= −

Iɺ

M1

2

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

M 1

ставляющие, обусловленные взаимной индуктивностью.

(5.13)

(5.14)

– со-

91

 

 

 

+j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ɺ

 

UɺM 2

 

 

 

 

 

 

 

 

U L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

UɺM

Uɺ

 

 

 

Uɺ

2

Iɺ

 

 

 

1

L1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Uɺ1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

Iɺ2

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.20.

 

 

 

 

 

 

При встречном включении составляющие напряжений взаим-

ной индукции Uɺ

и Uɺ

 

отстают от токов их создающих

Iɺ

и

Iɺ

M

M

2

 

 

 

 

 

2

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соответственно на 90˚.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последовательное соединение индуктивно связан-

 

 

 

 

ных элементов

 

 

 

 

 

к

jX L2

d

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Uɺ

2

 

ɺ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U R

 

 

 

 

 

 

 

 

jX M

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eɺ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UɺR1

 

Uɺ1

 

 

 

 

 

а

R1

b

jX L1

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.21.

 

 

 

 

 

 

Для схемы, изображенной на рис. 5.21 запишем уравнения по

первому закону Кирхгофа

Iɺ1 = Iɺ2 = Iɺ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и по второму закону Кирхгофа

 

 

 

 

 

 

 

 

Eɺ = UɺR

+ Uɺ1 + UɺR + Uɺ2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

92

 

 

 

 

 

 

или

 

Еɺ = R Iɺ+ (

L

Iɺ

± jX

M

Iɺ) + R Iɺ+ (

L

Iɺ± jX

M

Iɺ) .

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

В

результате

Iɺ =

 

 

 

 

Eɺ

 

 

 

; X M = ω M , где

 

 

+ R2

+ j( ХL

 

 

 

 

 

 

 

 

R1

+ ХL ± 2 X M )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

знак «+» – согласное включение, знак «-» –

встречное включение.

В результате больший ток Iɺ соответствует встречному вклю-

чению.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Согласное включение (+)

 

 

 

 

 

 

 

 

+j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Uɺ

 

 

 

UɺM 2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Eɺ

 

 

 

 

 

c

 

 

 

UɺL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

ɺ

 

 

 

Uɺ

 

 

 

UɺR2

 

d

 

 

 

 

U 1

 

 

 

M1

 

 

 

 

 

 

 

 

UɺL1

Iɺ = Ie j

а

UɺR

b

+1

 

1

 

 

 

 

 

Рис. 5.22.

9. Встречное включение (-)

+j

 

 

 

 

Uɺ

 

 

 

 

 

М2

 

 

 

 

Uɺ

к

 

 

 

 

2

 

 

 

UɺМ

1

UɺL

 

 

 

 

2

Uɺ

 

 

c

Eɺ

d

1

 

 

UɺR2

 

 

 

 

 

 

 

 

UɺL

 

 

 

 

1

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

+1

UɺR

 

 

1

 

 

 

 

 

93

Рис. 5.23.

Параллельное соединение индуктивно связанных элементов

Iɺ

 

 

jX М

 

jX L2

 

 

 

jX L1

 

Uɺ1

Uɺ2

 

Eɺ

Iɺ1

 

 

Iɺ2

Uɺ

 

 

R1

UɺR

 

 

R2

R

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.24.

Для схемы, изображенной на рис. 5.24 запишем уравнения по первому закону Кирхгофа

и по второму закону Кирхгофа

Eɺ = Uɺ

+ Uɺ

= R Iɺ

+ ( jX

L

Iɺ

± jX

M

Iɺ ) ,

R

1

1 1

 

 

1

 

 

2

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Eɺ = Uɺ

+ Uɺ

= R Iɺ

+ ( jX

L

 

Iɺ

 

± jX

 

Iɺ

) .

R

2

2 2

 

 

 

2

 

 

M 1

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

В результате:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

2

- (± jX

M

)

 

 

Z

1

- (± jX

M

)

 

Iɺ1

=

 

 

 

 

× Eɺ

; Iɺ2 =

 

 

 

 

 

 

 

× Eɺ;

Z1Z 2 + X M2

 

 

Z1 Z 2 + X M2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

1

+ Z

2

- 2(± jX

M

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Iɺ=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

× Eɺ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z1 Z 2

+ X M2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Развязка индуктивной связи

Развязка индуктивной связи применяется для ее исключения с целью упрощения расчетов и может быть доказана при помощи законов Кирхгофа в комплексной форме.

94

 

 

Два индуктивно связанных элемента подходят одинаковым

 

 

образом к общему узлу (d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jX L

 

 

 

 

 

j( X L

ХМ )

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

а

 

*

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

jX М

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

М

jX L2

 

 

 

 

 

j( X L2

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

ХМ )

b

 

*

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.25.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Два индуктивно связанных элемента подходят различным

 

 

образом к общему узлу (d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jX

L

 

 

 

 

 

j( X L

+ ХМ )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

*

 

jX М

 

 

 

 

 

 

 

 

jX М

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ Х

 

 

 

 

jX L

 

 

 

 

 

 

j( X

L

М

)

d

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

*

 

 

b

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.26.

 

 

 

 

 

 

 

 

После развязки индуктивной связи для расчета цепи можно

использовать любой известный метод в комплексной форме.

 

Пример:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 1

*

Z М

*

Z

2

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eɺ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jɺ

 

 

 

 

 

 

Iɺ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.27.

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eɺ = Ee jα , Jɺ = Je jβ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 1 = R1 + jX1 , Z 2 = R2 + jX 2 , Z = R + jX , Z М = jX М .

 

Определить: Iɺ = ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

95

 

 

 

 

 

 

 

 

После развязки:

 

 

 

Z 1

Z М

с

Z 2 Z М

а

 

b

 

 

Z М

 

Eɺ

 

d

Z

 

 

 

 

 

Jɺ

Iɺ

 

 

 

 

 

к

 

 

 

Рис. 5.28.

 

Используем метод эквивалентного генератора (рис. 5.29):

Z 1

Z М

с

Z 2 Z М

а

 

b

 

 

Z М

 

Eɺ

 

d

Uɺxx

 

 

 

 

 

Jɺ

 

 

 

к

 

 

 

Рис.5.29.

 

Напряжение холостого хода:

 

EɺГ = Uɺxx = Eɺ + Jɺ× (Z1 - Z M ) = EГ e jα Г .

Сопротивление генератора:

 

Z Г = (Z 2 - Z M ) + (Z1 - Z M ) = RГ + jX Г = Z Гe jα Г .

Ток в нагрузке:

 

 

 

Iɺ =

EɺГ

= Ie jλ , I =

 

EГ

 

.

 

 

 

 

 

 

Z Г + Z

(RГ + R)2 + ( X Г + X )2

 

 

96

Активная мощность, потребляемая нагрузкой (рис. 5.30):

 

P = I 2 R =

(R

 

EГ2 R

 

+ X )2

= f ( R)

 

 

 

 

 

+ R )2 + ( X

Г

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P = f (R)

 

 

 

 

0

 

 

Rm

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.30.

 

 

 

 

 

 

Сопротивление, при котором активная потребляемая мощность

в нагрузке будет максимальной:

 

 

 

 

 

 

 

R

m

= R

2

+ ( X

Г

+ X )2

, P =

 

EГ2

.

 

 

Г

 

 

 

m

2

(R

 

+ R )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

Г

 

Пример:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ɺ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I33

 

 

 

 

Iɺ

 

Z M

 

 

 

 

 

 

Jɺ

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Iɺ2

 

 

 

Eɺ

 

 

 

 

*

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Iɺ

 

 

 

 

 

Iɺ22

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

Z н

 

 

 

 

 

1

 

 

Z 2

 

 

ɺ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Iɺ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.31.

 

 

 

 

 

 

Дано:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eɺ, Jɺ, Z 1, Z 2 , Z 3 , Z М , Z н.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

97

 

 

 

 

 

 

 

Определить: Iɺ, Iɺ1, Iɺ2 , UɺJ = ?

По методу контурных токов:

Iɺ33 = Jɺ,

Iɺ11(Z1 + Z 3 ) - Iɺ22 Z M - Iɺ33 Z 3 = Eɺ,

Iɺ22 (Z 2 + Z Н ) - Iɺ11 Z M - Iɺ33 × 0 = 0.

Далее находим:

Iɺ1 = Iɺ11; Iɺ2 = Iɺ22 ; Iɺ = Iɺ11 Iɺ33 ; UɺJ = Eɺ IɺZ 3 .

ЗАДАНИЕ №2

Линейные электрические цепи с гармоническими напряжениями и токами

Для заданной схемы с источниками гармонических ЭДС и

тока

e1(t) = 2E1 sin(ωt + α1); e2 (t) = 2E2 sin(ωt + α 2 );

e3 (t) = 0; J (t) = 2J sin(ωt + β ),

принимая ω = 314 рад/с и M=L/2 , выполнить следующее.

Записать систему независимых уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов.

Рассчитать без учета M комплексные сопротивления ветвей, соединяющих узлы, помеченные на схеме буквами и изобразить комплексную схему замещения с этими сопротивлениями для расчета комплексов действующих значений токов ветвей (номера и направления токов сохранить согласно заданию №1, причем параллельное соединение R и С представить в виде одного комплексного сопротивления).

Не исключая индуктивной связи, определить комплексы действующих значений токов всех ветвей и напряжение на зажимах источника тока:

по законам Кирхгофа, методом контурных токов.

Записать мгновенные значения тока в ветви ab и напряжения на зажимах источника тока.

Рассчитать балансы активной и реактивной мощностей.

98

Построить лучевую диаграмму токов и совмещенную с ней топографическую диаграмму напряжений.

Определить показание вольтметра.

Сделать развязку индуктивной связи и по методу эквивалентного генератора относительно сопротивления R ветви ab определить комплексное сопротивление активного двухполюсника (эквива-

лентного генератора) Z Г = Z Г × e jϕ Г , ЭДС генератора EɺГ и ток Iɺab в ветви ab, а затем при изменении сопротивления R ветви ab от 0 до 10 × Z Г рассчитать и построить зависимость для активной

мощности Pab = f ( R) .

Проанализировать результаты вычислений и сформулировать выводы по заданию.

Примечание: Схемы и таблицы к заданию №2 приведены в задании №1.

Методические указания к работе № 2.

Для заданной схемы дано: e1(t) = 2 × E1 × sin(ωt + α1) , В;

e2 (t) = 2 × E2 × sin(ωt + α2 ) , В; e3 (t ) = 0 , В;

J (t) = 2 × J ×sin(ωt + β ) , А.

E1

 

E2

 

J

 

α1

 

α 2

β

В

 

В

 

А

 

град

 

град

град

100

200

 

2

 

90

 

 

0

 

-60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

L

C

 

 

 

ω

 

M

Ом

 

мГн

мкФ

 

 

рад/с

 

мГн

100

 

318,47

31,8

 

 

314

 

L 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема:

99

Рис. 6.1.

Записываем систему независимых уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов (функций времени). Для этого указываем номера и направления токов в ветвях схемы аналогично заданию 1. Так как e3 (t) = 0 , то узлы a и m, k и c объединяем. В результате полученная схема будет иметь: nу = 4 узла, nв = 7 ветвей;

n1 = nу − 1 = 3 уравнений по первому закону Кирхгофа, n2 = nв n1 = 4

уравнений по второму закону Кирхгофа.

Выбираем 3 узла (например, a, b, d) и 4 контура, для которых составляем уравнения по законам Кирхгофа, учитывая, что индуктивно связанные элементы включены встречно:

узел a: J (t ) + i4 iR iC = 0 ,

узел b: i1 + i3 i4 = 0 , узел d: i1 i2 J (t ) = 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

контур:

3R × iR -

1

 

 

iC

× dt = 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

контур:

 

1

iC dt + Ri4 + L

di4

 

- M

di3

+ L

di3

- M

di4

+ 2Ri3 = 0 ,

 

C

dt

 

 

dt

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

3

контур: -R ×i2

- 2R ×i3

- L

di3

 

- M

di4

 

= e1(t) - e2 (t) ,

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

4

контур: -R ×i4

di4

- M

di3

= uJ (t) - e1(t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]