Бандурин TOE 1

Законы Кирхгофа в комплексной форме

Сложению и вычитанию гармонических токов и напряжений с одинаковой угловой частотой ω в законах Кирхгофа соответствует сложение и вычитание их комплексных величин.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме

Для любого узла комплексной схемы замещения цепи алгебраическая сумма комплексов значений токов равна нулю (5.1).

Например:

Iɺ1

Узел a: − Iɺ1 + Iɺ2 + Iɺ3 = 0 .

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме

Для любого контура комплексной схемы замещения цепи алгебраическая сумма комплексов напряжений на пассивных элементах равна алгебраической сумме комплексов ЭДС и напряжений на источниках тока (5.2).

81

Eɺ

Мощность при гармонических напряжениях и токах

u (t ) = 2U sin (ωt + α ), (В); i (t ) = 2I sin (ωt + β ), (А).

Мощность в функции времени:

P = UI cosϕ , (Вт) – средняя или активная мощность;

S = UI , (ВА) – амплитуда гармонической составляющей мощности или полная мощность; ϕ = α − β ,(град) – угол сдвига фаз между напряжением и током;

cosϕ = P £ 1, т.е S ³ P – коэффициент мощности.

S

82

ВP(t

S+P

S

P S

t

S–P

Рис. 5.7.

Когда P(t)>0 – энергия поступает в двухполюсник, P(t)<0 – энергия поступает из двухполюсника во внешнюю цепь.

Пусть задано:

+ а Iɺ

b

Рис. 5.8.

Uɺ = Ue jα , (В);

Iɺ = Ie jβ , (А);

Z = Ze jϕ = R + jX , (Ом).

При Iɺ* = Ie− jβ находим

– комплекс полной мощности, где Iɺ* – сопряженное значение тока.

83

в) треугольник мощностей

φ

P

Топографические и лучевые векторные диаграммы

Топографические и лучевые векторные диаграммы использу-

ются при анализе и расчете цепей с синусоидальными напряжениями и токами. Эти диаграммы строятся совмещенными на комплексной плоскости в масштабах напряжения и тока. Лучевые векторные диаграммы строятся для комплексов действующих значений и токов, когда их вектора выходят из начала координат каждый под своим углом. Эти диаграммы используются для графической проверки пер-

вого закона Кирхгофа. Топографические векторные диаграммы

строятся для комплексов действующих значений напряжений, когда их вектора подстраиваются один к другому, образуя замкнутые контуры. Эти диаграммы используются для графической проверки второго закона Кирхгофа.

Пример 1 (рис. 5.9 и рис. 5.10):

Рис. 5.9.

85

86

UɺL

Iɺ

UɺC b

Рис. 5.12.

Пример 3 (рис.5.13 и рис. 5.14):

а

Рис. 5.13.

87

UR b

Рис. 5.14.

Линейные электрические цепи со взаимной индуктивностью

Электрические цепи со взаимной индуктивностью образуют трансформаторы, электрические машины и другие устройства с магнитными потоками, характеризуемые индуктивной связью. Две катушки с токами индуктивно связаны, если часть магнитного потока одной катушки сцепляется с витками другой катушки и наоборот. Параметрами индуктивной связи являются взаимная индуктивность М и коэффициент связи КСВ, причем М пропорциональна взаимным магнитным потокам Ф12=Ф21.

Взаимная индуктивность

Различают согласное и встречное включение двух индуктивно связанных катушек.

88

6. Согласное включение

Включение двух катушек называется согласным, если их взаимные магнитные потоки Ф12 и Ф21 совпадают по направлению между собой (рис. 5.15). При этом токи катушек i1 и i2 ориентированы одинаковым образом относительно одноименных зажимов (*) (рис. 5.16).

Напряжения:

При гармонических токах и напряжениях:

89

.

ответственно на 90˚.

90