Бандурин TOE 1

1.Изобразить схему, достаточную для расчета токов ветвей, соединяющих узлы, помеченные буквами, указав их номера и направления.

2.Определить токи во всех ветвях схемы и напряжение на зажимах источника тока:

∙по законам Кирхгофа,

∙методом контурных токов,

∙методом узловых потенциалов.

∙Составить баланс вырабатываемой и потребляемой мощностей.

∙Определить ток в ветви ab:

∙методом наложения,

∙методом преобразований.

3.Рассматривая цепь относительно сопротивления R ветви ab как активный двухполюсник, заменить его эквивалентным генератором, определить параметры эквивалентного генератора и рассчитать ток в ветви ab, построить внешнюю характеристику эквивалентного генератора и по ней графически определить ток в ветви ab.

4.Для любого контура без источника тока построить потенциальную диаграмму.

5.Определить показание вольтметра.

6.Сравнить результаты вычислений, оценить трудоемкость методов расчета и сформулировать выводы по выполненным пунктам задания.

51

“ закороткой”, а емкостный элемент C при постоянном напряжении представляет собой “ разрыв” ветви, причем взаимная индуктивность M влияния на постоянные токи не оказывает. Указываем произвольно номера и направления токов в ветвях схемы. Данная схема имеет: nу = 4 узла, nв = 6 ветвей, nI = 5 неизвестных токов.

Определяем токи во всех ветвях схемы и напряжение на зажимах источника тока.

Используем законы Кирхгофа

Рассчитаем число уравнений, которые необходимо составить: n1 = nу −1 = 3 уравнений по первому закону Кирхгофа, n2 = nв − n1 = 3

уравнений по второму закону Кирхгофа.

Выбираем 3 узла (например, a, b, с) и составляем уравнения по первому закону Кирхгофа:

54

узел a: J + I4 - I5 = 0 , узел b: I1 + I3 - I4 = 0 , узел с: I2 - I3 + I5 = 0 .

Для трех элементарных контуров составляем уравнения по второму закону Кирхгофа

1контур: -R × I2 - 2R × I3 = E1 - E2 ,

2контур: 2R × I3 + R × I4 + 3R × I5 = 0 ,

3контур: -R × I4 = U J - E1 .

Полученные n = n1 + n2 = nв = 6 уравнений записываем совместно в матричном виде т.е.

которые решаем на ЭВМ при помощи программы MathCad. Для этого в программу вводим матрицу коэффициентов при заданном

R = 100 Ом:

0

−100

55

Далее вводим в программу уравнение X := A−1 × B и получаем решение:

Таким образом, значения токов и напряжения на источнике то-

ка получились следующие:

I1 = −2.143 А; I2 = 0.143 А; I3 = 0.429 А; I4 = −1.714 А; I5 = 0.286А; U J = 271.429 В.

Для предварительной проверки полученных результатов подставляем найденные токи и напряжение U J в одно из уравнений, составленное по первому закону Кирхгофа, и в одно уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа.

Например:

a: J + I4 − I5 = −1.714 − 0.286 + 2 = 0 ,

3контур: -R × I4 = -100 × (-1.714) =171.4 = U J - E1 = 271.429 -100 =

=171.429 , т.е. уравнения выполняются.

Рассчитываем число контурных токов, которые необходимо направить в схеме – nкт = nв − nу + 1 = 3 , и число контурных уравне-

ний, которые необходимо будет решить – nку = nI − nу + 1 = 2 .

56

Обозначаем nкт = 3контурных тока как I11, I22 , I33 и направляем их в независимых контурах, которые отличаются друг от друга наличием хотя бы одной новой ветви, причем, через источник тока должен проходить один контурный ток, например, I33 , тогда I33 = J .

Для двух неизвестных контурных токов I11 и I22 составляем nку = 2 уравнения

для I11 : ( R + 2R) × I11 - 2R × I22 - 0 × I33 = E1 - E2 ;

для I22 : -2R × I11 + ( R + 2R + 3R) × I22 - R × I33 = 0 .

Полученные контурные уравнения можно записать в матрич-

и решить на ЭВМ при помощи программы MathCad как в п.2.1. Эти уравнения можно решить также методами подстановки, Крамера или Гаусса.

Например, для решения системы из двух контурных уравнений

используем метод Крамера. Найдем определители системы уравнений:

Напряжение на зажимах источника тока найдем при помощи второго закона Кирхгофа для контура с I33 :

U J - E1 = -R × I4 ,

57

тогда U J = E1 - R × I4 = 271.4 В.

Найденные токи в ветвях схемы и напряжение на зажимах источника тока совпадают с результатами п.2.1.

Используем метод узловых потенциалов.

Потенциал одного из узлов принимаем равным нулю. Таким

и решить на ЭВМ при помощи программы MathCad как в п.2.1. или методами подстановки, Крамера или Гаусса.

Например, для решения системы из двух уравнений

58

используем метод Гаусса. Для этого перепишем эти уравнения следующим образом

Далее используем обобщенный закон Ома и первый закон Кирхгофа:

Таким образом, найденные токи и напряжение на зажимах источника тока совпадают с результатами п.2.1. и п.2.2.

Для проверки правильности расчетов составляем баланс вырабатываемой Pв и потребляемой Pп мощности:

Pв = E1I1 + E2 I2 + U J J = 357,192 Вт;

59

Pп = I22 × R + I32 × 2R + I42 × R + I52 ×3R = 357, 217 Вт.

Таким образом, получаем допустимую относительную по-

грешность расчетов

P - P

δP % = в п ×100 = 0,0069% £ 3% .

Pв

Определяем ток в ветви ab тремя методами.

Используем метод наложения

Для расчета тока I4 , который протекает в ветви ab, исходную схему с постоянными токами разобьем на три подсхемы с одним источником ЭДС или тока.

Расчет подсхемы с ЭДС E1 .

правилу разброса находим частичный искомый ток, создаваемый ЭДС E1 :

Расчет подсхемы с ЭДС E2 .

60