Бандурин TOE 1

Найти токи из этих дифференциальных уравнений весьма трудоемко. Поэтому используем символический метод, позволяющий дифференциальные уравнения с синусоидальными напряжениями и токами преобразовать к алгебраическим уравнениям с комплексными величинами, решить которые значительно проще.

Рассчитываем без учета взаимной индуктивности M комплексные сопротивления ветвей, соединяющих узлы a, b, c, d, причем,

Изображаем комплексную схему замещения с этими сопротивлениями и комплексами действующих значений:

101

встречное включение.

Не исключая индуктивной связи, определяем комплексы действующих значений токов всех ветвей и напряжение на зажимах источника тока.

Используем законы Кирхгофа в комплексной форме ( nу = 4 –

второму закону Кирхгофа): узел a: Jɺ + Iɺ4 − Iɺ5 = 0 , узел b: Iɺ1 + Iɺ3 − Iɺ4 = 0 , узел c: Iɺ2 − Iɺ3 + Iɺ5 = 0 ,

1 контур: Z 2 × Iɺ2 + (Z 3 × Iɺ3 - Z M × Iɺ4 ) = -Eɺ1 + Eɺ2 ,

Полученные n = n1 + n2 = nв = 6 уравнений записываем совместно в матричном виде т.е.

102

Контурные токи направляем так, чтобы через источник тока проходил один контурный ток и через каждое индуктивно связанное сопротивление проходил один свой контурный ток.

В результате получим следующие уравнения для контурных токов (встречное включение):

104

Эти уравнения можно решить подстановкой, методом Крамера или на ЭВМ при помощи программы MathCad. Для этого в программу вводим матрицы с числовыми значениями комплексных коэффициентов в алгебраической форме:

В результате токи в ветвях схемы будут следующими:

Iɺ1 = Iɺ22 - Iɺ11 = -0.795 + j 2.223 А;

Iɺ2 = Iɺ11 - Iɺ22 - Iɺ33 = -0.205 - j0.493 А;

Iɺ3 = Iɺ11 = 0.408 - j0.554 А;

Iɺ4 = Iɺ22 = -0.387 + j1.668 А;

Iɺ5 = Iɺ22 + Iɺ33 = 0.613 - j0.062 А.

Напряжение на зажимах источника тока найдем по 2 закону Кирхгофа в комплексной форме (контур adba):

UɺJ - Eɺ1 = -(Z 4 × Iɺ4 - Z M × Iɺ3 ) , тогда

UɺJ = Eɺ1 - (Z 4 × Iɺ4 - Z M × Iɺ3 ) = 233.298 - j × 7.703 В.

Таким образом, полученные результаты полностью совпали с результатами, найденными при помощи законов Кирхгофа.

Записываем мгновенные значения тока в ветви ab и напряжения на зажимах источника тока:

iab (t) = i4 (t) = 2 ×1.713 × sin(314t + 103 ) А; uJ (t) = 2 × 233.425 × sin(314t -1.9 ) В.

Рассчитываем балансы активной и реактивной мощностей.

Полная вырабатываемая мощность всех источников:

ков источников.

105

Для упрощения построения топографической диаграммы напряжений на комплексной схеме расставляем стрелки напряжений Uɺ2 ,Uɺ3 ,Uɺ4 ,Uɺ5 навстречу направлениям токов. Далее, используя закон Ома и учитывая наличие индуктивной связи, проводим расчет этих

напряжений (встречное включение):

Uɺ2 = Z 2 Iɺ2 = −20.5 − j49.3 = 53.39e− j112.6 В;

Uɺ3 = Z 3Iɺ3 − Z M Iɺ4 = 220.4 − j50.65 = 226.14e− j12.9 В; Uɺ4 = Z 4 Iɺ4 − Z M Iɺ3 = −233.2 + j107.7 = 256.9e− j155.21 В; Uɺ5 = Z 5Iɺ5 = 12.81 − j57.03 = 58.45e− j77.3 В;

Eɺ1 = j100 = 100e j90 В; Eɺ2 = 100 = 200e j 0 В;

UɺJ = 233.3 − j7.7 = 233.4e− j1.9 В.

Затем рассчитываем комплексные потенциалы узлов и точки k схемы, предварительно приняв, например, ϕb = 0 :

ϕɺa = ϕɺb + Uɺ4 = −233.2 + j107.7 В; ϕɺd = ϕɺb + Eɺ1 = j100 В;

ϕɺc = ϕɺb − Uɺ3 = −220.4 + j50.65 В;

107

Принимаем масштаб векторов напряжений и потенциалов узлов, например, mU = 50 В/см. На комплексной плоскости, где уже построены векторы токов, отмечаем точками потенциалы узлов и точки k, откладывая их вещественные и мнимые составляющие по вещественной и мнимой осям соответственно, в принятом масштабе mU . Далее соединяем точки потенциалов векторами напряжений согласно их направлениям на комплексной схеме замещения.

Определяем показание вольтметра аналитически и графически, как действующее значение напряжения, между точками включения вольтметра, т.е. между узлами a и d.

Аналитически:

108

Затем по 2 закону Кирхгофа составляем уравнение и находим

EɺГ :

EɺГ = − (Z 3 − Z M ) Iɺ3( xx) − Z 5 Iɺ5( xx) = −55.65 + j334.35 = 338.95e j99.45 В,

т.е. EГ = 338.95 В, α Г = 99.45 .

Во вспомогательной схеме ветвь с источником тока разрываем, ЭДС Eɺ1 и Eɺ2 закорачиваем и относительно зажимов сопротивления Rветви ab находим Z Г :

Рис. 6.8.