Бандурин TOE 1

5.2. Метод преобразований (упрощаем исходную схему до одноконтурной)

5.3.Метод эквивалентного генератора

5.3.1.По методу контурных токов определяем токи ХХ

R2R

5.3.3.Определяем ток эквивалентного генератора Ig

71

По закону Ома:

u = R × i, В .

Действующее значение тока

Действующее значение напряжения

Действующее значение гармонического тока i численно равно такому постоянному току I, который за время T в том же сопротивлении R выделяет такое же количество тепла W. Действующие значения тока и напряжения не зависят от угловой частоты ω и начальной фазы α. В результате:

i = 2I sin (ωt + α ), u = 2U sin (ωt + α ).

5.2.Символический метод

Символический метод применяется для расчета линейных цепей с гармоническими токами и напряжениями. Этот метод основан на изображении гармонических величин комплексными числами. При этом проекция вращающегося вектора на любой из диаметров окружности, описываемая его концом, является гармонической функцией времени. Следовательно, синусоидальная величина может быть изображена вращающимся вектором на комплексной плоскости (рис. 5.1 а, б), причем этот вектор записывается в показательной,

тригонометрической и алгебраической формах.

i = Im sin (ωt + α ) = 2I sin (ωt + α ) = Im 2Ie j(ωt +α ) = Im 2Ieɺ jωtIɺ= Ie jα = I cosα + jI sinα = a + jb ,

где Im[2 Ieɺ jωt ] – мнимая составляющая вращающегося вектора, j = −1 – мнимая единица.

74

Iɺ– комплекс действующего значения тока.

Символический метод позволяет перейти от расчета линейных цепей с переменными во времени напряжениями и токами к расчету комплексной схемы замещения с постоянными напряжениями и токами. Для комплексных схем замещения справедливы все метод расчета, используемые при постоянных напряжениях и токах, но в комплексной форме.

5.3.Действия с комплексными числами

Где:

Fɺ = F × e jα = a + jb – комплексное число; F – модуль;

α – аргумент (фаза);

a – вещественная составляющая; b – мнимая составляющая.

1.Переход от алгебраической формы записи к показательной форме

a + jb Fe jα , где F = a2 + b2 , α = (180 ) + arctg b . При этом a

180 градусов учитывается при a<0.

2.Переход от показательной формы записи к алгебраической форме

Fe jα a + jb ,гдеa=Fcosα, b=Fsinα.

75

j = e j90 ; − j = e− j90 ; 1 = e j0 ; −1 = e j180 .

5.4.Действия с синусоидальными величинами

Рассмотрим действия с синусоидальными величинами, имеющими одинаковую угловую частоту ω.

1. Сложение

f (t ) = 2F sin (ωt + α ) = f1 (t ) + f2 (t ) ; f1 (t ) = 2F1 sin (ωt + α1 ) ® Fɺ1 = F1e jα 1 ;

f2 (t ) = 2F2 sin (ωt + α 2 ) ® Fɺ2 = F2e jα 2 ;

Для определения F и α используются: а) комплексные числа

F1e jα 1 + F2e jα2 = Fe jα определяются F и α; б) вектора на комплексной плоскости (рис. 5.2)

76

+j

Fɺ1

Fɺ = Fe jα

α1>

α

0 α2>0 +1

Fɺ2

Рис. 5.2

2. Вычитание

f (t ) = 2F sin (ωt + α ) = f1 (t ) − f2 (t ); f1 (t ) → Fɺ1 = F1e jα 1 ;

f2 (t ) → Fɺ2 = F2e jα 2 ;

Fɺ2

Рис. 5.3

77

3. Дифференцирование

f (t ) = 2F sin (ωt + α ) → Fɺ = Fe jα ;

df (t ) = 2ω F sin (ωt + α + 90 ) → ω Fe j(α +90 ) = jω Fɺ. dt

В результате при f (t ) ® Fɺ имеем df (t ) → jω Fɺ . dt

Таким образом, дифференцированию синусоидальной функции соответствует умножение изображающего ее комплекса на jω.

3. Интегрирование

Таким образом, интегрированию синусоидальной функции соответствует деление изображающего ее комплекса на jω.

Закон Ома в комплексной форме

Закон Ома в комплексной форме основан на символическом методе и справедлив для линейных цепей с гармоническими напряжениями и токами. Этот закон следует из физической взаимосвязи между током и напряжением отдельных элементов цепи.

78

+1

На комплексной плоскости вектор напряжения резистивного элемента совпадает по направлению с вектором своего тока.

+1

На комплексной плоскости вектор напряжения индуктивного элемента опережает по направлению вектор своего тока на 90 градусов.

79

+j

Iɺ

UɺC

На комплексной плоскости вектор напряжения емкостного элемента отстает по направлению от вектора своего тока на 90 градусов.

Где: XL=ωL – индуктивное сопротивление (Ом);

Например, комплексная схема замещения цепи (рис. 5.4): jX L

80