16.Деформация при сложном напряженном состоянии

Относительная линейная деформация   некоторого стержня длиной Lопределяется следующим образом:, где—абсолютное перемещение концов стержня. Необходимо помнить, что в различных напряжениях стержня величина деформации в общем случае будетразлична, причём осевая деформация , как уже известно, вызывалась нормальными напряжениями  . В случаеплоского напряжённого состояния по площадкам работают также и касательные напряжения. Рассмотрим вопрос: какие виды деформации возможны при деформации материалов?  Рассмотрим плоское напряжённое состояние (рис.а).

Под действием нормальных напряжений  элемент со сторонамиувеличится на величины(рис.б) и линейные деформации в направлении осей Z и Y определяются:

Под действием же касательных напряжений прямоугольный элемент изменится,прямые углы обратятся в острые или тупые, изменившись на величину (рис.в). Этот угол называетсяуглом сдвига. Легко заметить, что различным напряжённым состояниям будут соответствовать и различные линейные и угловые деформации. Последние и определяютдеформационное состояние в точке. Причем, относительные удлинения  , которые соответствуютглавным напряжениям  , называются главными деформациями в данной напряжённой точке.

Нетрудно понять, что для изотропного тела направление главных напряжений и главных деформаций совпадают, поэтому формулы для определения главных деформаций имеют ту же структуру, как и уравнение для отыскания главных напряжений. Однако для построения тензора деформаций необходимо установитьзависимость между сдвигом элемента и его линейной деформацией. Эта зависимость выражается формулой:

Тензор деформации для плоского напряжённого состояния имеет вид:В развернутом виде это:

Решение этой записи имеет вид:

Для случая сложного напряжённого состояния имеем:

Вещественные корни  и представляют собойглавные деформации.Проверкой найденных значений  служит выражение:

Рисунок 3.

ПРИМЕР. σ_x =300 кГ/см², σ_y =-200 кГ/см², τ_xy=300 кГ/см². Найти величины и направления главных напряжений.

По формуле (2) находим:

Если смещения точек в направлении одной из координатных осей равны нулю, то деформация называется плоской. Например, если смещения ω в направлении оси z равны нулю, то деформация называется плоской.

17.Диаграмма напряжений. Модуль упругости, относительное удлинения.

Диаграмма напряжений показывает основные механические характеристики материалов (в основном металлов).

Для построения диаграммы используют диаграмму растяжения испытуемого образца, изготовленного из материала, характеристики которого требуется изучить.

После эксперимента по испытанию на растяжение, на полученной диаграмме F-Δl отмечаются несколько характерных точек, в которых определяются значения растягивающих усилий F и соответствующие им абсолютные деформации Δl.

Далее для полученных значений точек диаграммы определяются соответствующие им нормальные напряжения σ, по формуле:

σ_i=F_i / A₀

где:

F_i - значение растягивающей силы в характерной точке диаграммы;

A₀ - площадь поперечного сечения рабочей части образца,

и относительные деформации ε:

ε_i=Δl / l₀

где l₀ - начальная длина рабочей части испытуемого образца

Затем по полученным данным в системе координат σ-ε строится диаграмма напряжений (рис. 1)

Рис. 1 Условная и истинная диаграмма напряжений для малоуглеродистой стали

По этой диаграмме определяются следующие механические характеристики материала:

σ_пц - предел пропорциональности

Определяется как крайняя верхняя точка начального прямолинейного участка диаграммы.

σ_пц = F_пц / A₀

σ_Т - предел текучести

Точка после которой линия диаграммы некоторое время движется параллельно осидеформаций ε.

Практически горизонтальный участок диаграммы, следующий за пределом текучести называется площадкой текучести.

σ_Т = F_Т / A₀

σ_пч - предел прочности (σ_в - временное сопротивление)

Высшая точка условной диаграммы;

σ_пч = F_max / A₀

σ_р - напряжение в момент разрыва образца (σ_р^у - условное и σ_р^и - истинное)

Конечная точка диаграммы, при которой происходит разрыв образца.

- условное напряжение разрыва

σ_р^у = F_р / A₀

- истинное напряжение при разрыве

σ_р^и = F_р / A_ш

здесь A_ш - площадь поперечного сечения в области "шейки" образца.

Модуль упругости — общее название нескольких физических величин, характеризующих способность твёрдого тела (материала, вещества) упруго деформироваться (то есть не постоянно) при приложении к нему силы. В области упругой деформации модуль упругости тела в общем случае зависит от напряжения и определяется производной (градиентом) зависимости напряжения от деформации, то есть тангенсом угла наклона диаграммы напряжений-деформаций:

где:

• E  — модуль упругости;

•  — напряжение, вызываемое в образце действующей силой (равно силе, делённой на площадь приложения силы);

•  — упругая деформация образца, вызванная напряжением (равна отношению изменения размера образца после деформации к его первоначальному размеру).

Относительное удлинение δ представляет собой отношение приращения длины образца после его разрыва к первоначальной расчетной длине l₀ и выражается в процентах:

,

где l_к – длина образца после разрыва.

Относительное удлинение характеризует пластичность материала.