Кликс Ф. Пробуждающееся мышление. У истоков интеллекта. 1983

Развитие понятия числа рассматривалось нами до сих пор несколько изолированно. Это давало возможность в относительно чистом виде проанализировать когнитивные механизмы, действие которых непосредственно привело к этим выдающимся достижениям человеческого разума. Недостаток такого изложения состоит в том, что реальные мотивы, лежавшие в основе стимуляции этих когнитивных механизмов, практически остались вне рассмотрения. К тому же не было уделено внимания зависимости представления чисел от способов вычисления и измерения. Ведь числа нужны не только для обозначения абстрактных множеств. Они позволяют также выражать определенные отношения между реальными предметами и их свойствами. С психологической точки зрения это понятия, с которыми могут осуществляться различные операции преобразования мысленных или реальных данных. Преобразование мыслимого содержания обусловлено связью чисел с когнитивными структурами. Оперирование объективно данным обусловлено связью чисел с реальностью. Подобно звуковой речи и письменности, счет является в равной степени результатом и инструментом познавательной деятельности человека.

ЧИСЛА И КОГНИТИВНЫЕ ОПЕРАЦИИ: ВЫЧИСЛИМОСТЬ КАК ПОТРЕБНОСТЬ, РЕАЛЬНОСТЬ И ПРОБЛЕМА

Обсуждая возникновение ранних городов-государств на Востоке, мы отмечали, что по мере развития производительных сил и дифференциации социальных отношений происходило все большее переплетение интересов различных групп населения. В зависимости от степени общности экономического и социального положения, определяющего общественные потребности таких групп, они могли сливаться в более крупные таксономические единицы — слои и классы. Нередко они объединяют представителей различных профессий, например гончаров, плотников, каменотесов. Когда некоторый слой характеризуется выраженной социальной изоляцией, подчеркивающей превосходство его положения в обществе, говорят о касте. Часто это общественное положение получает также мифологическое обоснование, приобретая культовый оттенок. Так приобретаются дополнительные социальные преимущества, особенно важные для эксплуатации представителей других слоев общества. Упрочение власти одной из каст — в ранних городах-государствах прежде всего касты жрецов — является постоянной задачей, решение которой оказывается тем проще, чем меньше знают угнетаемые массы и чем сильнее их вера в справедливость кастовых претензий на господство. Монополизация социально важного знания является исторически древнейшим способом стабилизации отношений угнетения и захвата власти.

Развитие меновой торговли в связи с дифференциацией профессий, установлением определенных обязанностей по отношению к храму, другим группам и отдельным лицам осуществлялось первоначально без использования денег. Однако какое-то сопоставление сто-

222

имостей должно было иметь место. Оно осуществлялось с помощью промежуточных товаров, выполняющих роль эквивалента. Часто (например, в Урукс) при количественной оценке стоимости самых разнообразных товаров использовались различные емкости зерна. Эта гомогенизация стоимости является основой общей технологий обмена. Она, очевидно, очень близка к гомогенизации предметных особенностей множеств при их числовом обозначении. Просто в случае обмена особое значение приобретают сами процедуры измерения и сравнения количественных показателей, ведущие к констатациям «уже слишком много» или «еще слишком мало», а также определению того, «насколько много» или «насколько мало». Обмен основывается на установлении общего кратного, общепризнанного эквивалента меры стоимости. Будет ли он выражаться в мерах пшеницы, четвериках ячменя, трудоднях или как-либо иначе, конечно, никакого значения не имеет.

При измерении веса повторяется обсуждавшаяся выше группировка чисел. В силу этого постепенно утвердились одни и потеряли значение другие единицы измерения. (Этот процесс продолжается и в наше время: в качестве единицы измерения сохранил свое значение 1 грамм, исчезли австрийско-немецкая дека = 10 г и фунт = 500 г, используются килограммы и тонны, а в последнее время также мегатонны). То, какой статус в конце концов приобретают стихийно сложившиеся меры длины, веса и т. п., зависит от частоты и масштабов их использования. Чтобы служить эквивалентом, эти меры должны быть нормированы. Локоть и фут, сажень и дюйм говорят об индивидуальных мерах, совершенно аналогичных именованным числовым рядам, о которых говорилось выше. Однако когда в Чатал-Гуюке (7 тыс. лет до н. э.) нужно было построить дом, то уже тогда длина стропил не могла определяться более длиной рук плотников. Наименование осталось, а характерные свойства понятия изменились.

Не только размеры и масса, но и время требует измерения. Звездное небо над головой могло привлекать внимание уже на самых ранних стадиях архаического мышления и рефлексии человека по поводу себя и окружающей природы. Параллель между сменой дня и ночи, с одной стороны, и циклами бодрствования — с другой, закономерное перемещение картины созвездий по небосклону, смена и постоянное повторение фаз луны — все эти явления с незапамятных времен вновь и вновь давали повод для возникновения мыслей о количественных соотношениях и измерении временных характеристик естественных процессов. Регистрация устойчивого ритма создает условия для предсказуемости восходов и заходов солнца или луны, смены времен года, наступления весеннего и осеннего равноденствия и т. п. Но эта же когнитивная процедура создает возможность и для измерения времени. Будучи усиленной приемами коммуникации, опосредствованной письменностью, регистрация астрономических событий открывает путь для создания универсального временного масштаба. Учет фактора времени при различного рода межличностных соглашениях (продолжительность времени до

2 2 3

возвращения долга, время встречи, момент начала и окончания какого-либо совместного дела), вероятно, не выходил за рамки одного или нескольких лет. Счет годам велся на основании фиксации сезонных периодических изменений. В качестве единиц измерения более коротких временных промежутков, по-видимому, уже примерно за 10 тыс. лет до новой эры использовались фазы луны и периодические изменения положения солнца. Мощные общественные и, конечно, индивидуальные потребности требовали количественного описания свойств реальности. Перед лицом этих сил существующие системы счисления должны были доказать свою эффективность. Взаимодействие требований и результатов постепенно приводило к развитию вычислительного потенциала этих систем.

Кэтому присоединялось действие еще одного фактора. Размышления

опричинах успехов и неудач при решении задач, связанных с вычислениями, обусловили возникновение нового идеального предмета деятельности, так как приемы представления чисел и способы оперирования с ними сами стали поводом для интенсивной мыслительной работы. Подобная «метаплоскость» мышления служит необходимой платформой для качественного усиления познавательных способностей. Эти новые возможности впервые полностью раскрылись в формах мышления, характерных для эллинистической Греции.

Мы собираемся теперь описать на нескольких примерах особенности осуществления вычислительных операций в более ранний исторический период. Это необходимо, чтобы показать, как и благодаря чему преодолеваются ограничения того или иного этапа развития техники вычислений. При этом мы иногда не будем следовать строго временной последовательности, так как она не всегда совпадала с направлением прогресса — исторически более поздние числовые системы могли оказаться относительно примитивными. В какой-то степени это относится уже к нашему первому примеру, который иллюстрирует некоторые особенности выполнения вычислений в Древнем Египте.

ПИСЦЫ ФАРДОН'А:

ОСОБЕННОСТИ ИХ МЫШЛЕНИЯ В СЧЕТЕ

Уже во времена Среднего (2050—1700 лет до н. э.), но в особенности Нового (1600 — ок. 1070 гг. до н. э.) Царства — за исключением примерно столетнего периода чужеземного господства — писцы стали пользоваться в Египте исключительно высоким авторитетом и вполне реальной властью как посредники между народом и жрецами, окружавшими самого «богоподобного» фараона. Для обучения писцов существовали специальные школы, писцы жили значительно лучше, чем простой народ, но от них многое и требовалось. Эрдманн перевел (цит. по: Ван дер Варден, 1959, с. 20) в одном из папирусов следующее: «Я хочу объяснить тебе, что это такое, когда ты говоришь: „Я писец, дающий приказы армии". Тебе поручено выкопать озеро. Ты приходишь ко мне, спрашиваешь о запасах для солдат и говоришь: „Сосчитай мне это" ...Должно сделать насыпь

2 2 4

I

I

иератическому шрифту древнеегипетской письменности. Знаки справа в основном еще имеют вид иконических идеограмм (по WuBing, 1962).

для подъема в 730 локтей длины и 55 локтей ширины... На верхнем ! конце она имеет высоту в 60 локтей, а в середине — 30 локтей...

Спрашивают у военачальников, сколько понадобится кирпичей, и у всех писцов, и ни один ничего не знает. Все они надеются на тебя и говорят: „Ты искусный писец, мой друг, сосчитай это для нас поскорей..."». Много времени занимали также расчеты, связанные с определением количества зерна, необходимого для изготовления пива или выпечки хлеба, и, разумеется, чисто бухгалтерский учет запасов, долгов, налогов и т. п.

Но как же осуществлялись все эти вычисления? В основном с помощью суммирования и использования принципа удвоения. Математическое мышление древних египтян было в первую очередь адди-

Iтивным. Это было обусловлено особенностями египетской числовой системы. Для нее была характерна группировка десятками (то есть она была десятичной), но позиционный, или поместный, принцип кодирования отсутствовал (см. подробнее WuBing, 1962). На рис. 64 представлены индивидуальные знаки египетской системы счисления.

Слева направо расположены единицы, десять и сто. Цветок лотоса обозначает тысячу (в качестве древнего синтаксического знака множественного числа он значил первоначально просто «очень много»), 10 тыс. обозначено с помощью изображения тростника, который в

jизобилии рос по берегам Нила. Лягушка означает сто тысяч, а миллион представлен иероглифическим знаком бога неба, безграничного пространства. На рис. 65 представлена запись числа 2246. Она построена линейно с использованием частичной группировки. Обозначаемое множество может быть получено с помощью последовательного сложения чисел, обозначенных отдельными символами.

Типичной задачей древнеегипетской математики было умножение. Оно описывается ниже на примере умножения 13 X 12 по папирусу Ринда № 321. На рис. 66 справа в двух колонках (в современ-

1 Имеющиеся в настоящее время сведения об особенностях вычислений в Древнем Египте основаны главным образом на анализе двух папирусов математического содержания. Один из них — папирус Ринда — находится в Лондоне, а другой — в Москве, в Музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина. —.

Прим. ред.

2 2 5

f < ? n n i l l i < ? n n i n

Р и с . 65. Число 2246 в египетской форме записи. Видно отсутствие позиционного принципа. Знаки записываются друг около друга, и конечный результат получается путем суммирования.

ной, «арабской», форме изображения чисел) представлены кратные двойке коэффициенты и слагаемые. Чтобы получить искомое число

подобных вычислений писцы сокращали промежуточные символы и сразу же записывали результаты. Этот принцип сокращения как способ облегчения и ускорения процесса решения математической задачи будет встречаться нам вновь и вновь. Мы остановимся на нем подробнее при обсуждении более важных примеров.

Деление понималось египтянами как обратное умножению, иными словами, при делении определялось, сколько раз необходимо взять (сложить) делитель, чтобы получить делимое. Первоначальная форма записи была чрезвычайно громоздкой, но постепенно и здесь утвердились сокращенные приемы обозначения: значок <2> и под

Используемый здесь знак двойной дуги первоначально встречался в качестве обозначения определенной меры емкости зерна. Его заимствование и применение в новом контексте свидетельст-й^ет· о происхождении чисто когнитивных образований от практических (в данном случае измерительных) действий, имеющих социальную значимость. Данную форму записи не следует, впрочем, путать с нашей записью дробей, состоящих из числителя и знаменателя. Речь идет просто о символическом обозначении части, а не о некоторой вычислительной операции.

Египтяне различали «натуральные» и «основные» дроби. В качестве «натуральных» рассматривались дроби, особенно часто встречающиеся в повседневном обиходе: половина, треть, две трети, чет-

2 2 6

ливо выступает принцип удвоения с последующим суммированием чисел, сумма которых образует заданный сомножитель (13) (по WuBing, 1962).

верть, три четверти. Для них также имелись особые обозначения. В так называемом лондонском «кожаном свитке» очень подробно описаны различные способы обращения с дробями (см. также Ван дер Варден, 1959, с. 24 и далее). Прежде всего в нем вводятся отношения между дробями:

Кроме того, вводится эквивалентное обозначение для — :

После установления подобных равенств формулировались правила вычислений с «половинами», «третями», «четвертями» и «шестыми», которые каждый египетский писец должен был знать наизусть.

Среди приемов вычислений есть громоздкие и явно ненужные, которые, по-видимому, обусловлены традицией. В некоторых местах речь идет о «священных числовых рядах». Характерными для древнеегипетской математики являются так называемые «2/п — таблицы», содержащие числовые значения удвоения дробей. Соответствующие предписания содержатся в папирусе Ринда1.

Согласно общему правилу, чтобы удвоить , можно разделить η на 2. Например, для п = 4 найти 4:2, что дает 2. В результате получается, что -L в два раза больше, чем _L, или половина в два раза больше четверти. Как правильно замечает ван дер Варден, для

утерянных более древних источников. Для сколь-нибудь точного определения времени появления соответствующих когнитивных операций нужно было бы знать именно эти последние источники.

2 2 7

это было иначе. Они понимали дроби исключительно как доли

ного искусства в проведении вычислений. Именно поэтому египтяне широко применяли для упрощения вычислений вспомогательные

таблицы разложения дробей вида 2-, Таким образом, там, где мы

η

видим одну операцию, египтяне использовали два совершенно различных правила. В нашем мышлении это связано с представлением о делении и умножении как об обратных, зеркальных операциях. Этот момент не был понят математиками Древнего Египта, которые сводили умножение к сложению, деление к умножению и это последнее снова к сложению. Отсюда вытекала необходимость запоминать такое большое число правил разложения и эквивалентов дробей. Ведь лишь определенные разложения позволяют осуществлять деление.

Но и в рамках этих ограничений наблюдалась явная тенденция к максимальному упрощению. Так, в папирусе Ринда приводятся следующие примеры сокращенной записи последовательностей одина-

|-на^-·Принцип сокращения в качестве когнитивного правила снижает трудности выполнения некоторой цепочки операций. Но его нельзя считать примером творческого принципа, так как он не меняет саму структуру мыслительных процессов, вследствие чего вся так сказать «когнитивная технология» остается прежней.

Имеются свидетельства того, что в Древнем Египте изучалась систематика вычислительных операций. По-видимому, этим занимались писцы, чтобы задавать друг другу «сложные задачи», определяя таким образом уровень математических умений и знаний.

Некоторые задачи египетской арифметики сводились к операции, названной «исчислением кучи» и соответствовавшей решению линейного уравнения с одним неизвестным. Так, в Московском папирусе задача № 19 (она была поставлена примерно за 2000 лет до н. э.) выглядит следующим образом: «Ты считаешь кучу. Сосчитанная полтора раза вместе с 4, она составляет 10. Как ты назовешь кучу?» После этого следуют указания для вычислений. «Определи

величину 10 над 4. Получается 6. Теперь считай с l-f, чтобы найти 1. Получается JL. Высчитай теперь у от 6. Получается 4 и знай,

2 2 8

что 4 есть имя кучи». Совершенно очевидно, что речь идет в этой задаче о решении уравнения:

Ц 1 х+ 4 = 10 .

Интерес представляет здесь получение 1 на основе подсчета обратной величины к коэффициенту при неизвестном и ее применения в качестве фактора к обеим сторонам уравнения. Складывается впечатление, что приемы «исчисления кучи» возникли из. опыта решения практических задач, связанных с определением различного рода количественных соотношений.

Итак, мы познакомились на ряде примеров с возможностями и ограничениями процедур вычислений, которыми пользовались древние египтяне. Достаточно явно при этом выступила связь обнаруженных ограничений с особенностями представления чисел и числовой системы. Скажем, каким образом можно извлечь из суммы дробей

математики Вавилона решали задачи извлечения квадратного корня просто играючи. Причины того, что неразрешимая в Древнем Египте задача оказывалась в Вавилоне столь простой, станут нам скоро понятны.

Разумеется, в ряде случаев египтянам удавалось продемонстрировать блестящие достижения своего вычислительного искусства. Одним из таких достижений является вычисление числа π, которое широко использовалось при расчетах, связанных с определением длины окружности и площадей. Приближение египтян было следующим:

Это значение было гораздо более точным, нежели соответствующий результат, полученный столь достойными восхищения во всех прочих отношениях математиками Вавилона.

Математические папирусы египтян содержали не одни только вычисления. Во введении к уже многократно упоминавшемуся папирусу Ринда говорится, что он содержит «правила проникновения в природу и познания всего, что существует, всех чудес... всех таинств...» Приемы счета сами оставались большей частью тайным искусством привилегированной касты. За хорошую службу фараоны жаловали писцам сан бессмертного. Это был ответный подарок, ибо предоставляемые в их распоряжения интеллектуальные знания и опыт укрепляли власть фараонов. Менее значимым было то, имели ли эти знания реальную основу — что позволяло иногда добиваться действительно поразительных результатов (как, например, предсказание наводнения на Ниле с подъемом Сириуса через каждые 365 дней) — или использовались для определения дня принесения жертвы богам перед войной, получая мощное подкрепление в случае успеха военных действий.

В это же время далеко на Востоке, между Тигром и Евфратом,

2 2 9

Шумер был захвачен семитскими племенами аккадов (около 2300 года до н. э.). Старые звуковые знаки шумерской клинописи были использованы в новом диалекте: аккадский язык получил всеобщее распространение, тогда как шумерский остался на столетия языком ученых. В качестве признака владения привилегированным знанием он превратился в отличительный признак касты. По мере концентрации власти вокруг Вавилона старая шумерская система счисления оставалась почти без изменений. Ее полезность и совершенство было одним из факторов, приведших к расцвету и могуществу Вавилонского государства.

ШУМЕР И ВАВИЛОН: ДРЕВНЯЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ С ПОРАЗИТЕЛЬНЫМИ ВОЗМОЖНОСТЯМИ

Ван дер Варден и другие математики, анализировавшие особенности математического мышления египтян, вавилонян и древних греков, единодушны в том, что египетской математической мысли было свойственно внимание не столько к процедурам оперирования с числами, сколько к самим вычисляемым субстанциям и параметрам: содержимое емкости, потребность в камнях или древесине, необходимых для определенной постройки и т. д. В этом пункте вавилонское мышление отличалось от египетского. Хотя оно и базировалось на исторически более древнем шумерском понятии числа, для него в целом был характерен существенно более высокий уровень развития.

Основой высокого уровня математической культуры Вавилона была своеобразная система счисления. Первоначально у шумеров она была десятичной. Где-то между 3000 и 2800 гг. до н. э. произошла замена этой системы на шестидесятиричную. В период семитизации (2500—2000 гг. до н. э.) она, видимо, уже полностью сформировалась, так как была заимствована аккадами. Как уже отмечалось, семиты сохранили свой язык, но зато переняли шумерскую систему счисления. По-видимому, ее удивительные достоинства были понятны даже относительно менее развитым в культурном отношении завоевателям. Вавилоняне, арамейцы (завоевавшие этот регион в период между 1500 и 1250 гг. до н. э.), а затем вновь вавилоняне и ассирийцы до основателя Нововавилонского царства Набопаласара и Навуходоносора II старательно сохраняли данную систему счисления. Это было время замечательного прогресса в наблюдениях за движениями звезд, затмениями, периодами обращения планет. В результате таких наблюдений были созданы звездные календари. Вавилонская числовая система утвердилась настолько, что еще во II в. н. э. Птолемей использовал при вычислениях шестидесятиричную систему, а мы до сих пор делим минуту на 60 секунд, час на 60 минут, день в часах состоит из пятой части этого целого, месяц в днях — из половины, а год — примерно из 60 дней, взятых шесть раз.

Каковы же причины такого широкого распространения и устойчивости структур вавилонской математической мысли? Как известно, десятичная система покоится на естественном, связанном со схемой

230

Р и с . 67. Первоначальные (вверху) и более поздние (внизу) числовые знаки древних вавилонян.

собственного тела основании. Но почему 60? Почему итерация всякий раз начинается именно после этой границы? Нам придется попытаться хотя бы гипотетически ответить на этот вопрос.

Между вавилонскими и египетскими числовыми знаками есть два различия. На рис. 67 вверху показаны старые (восходящие еще к шумерскому периоду около 3000 лет до н. э.) числовые знаки, а внизу — классические вавилонские клинописные знаки. Верхние выдавливались в мягкой глине с помощью круглого стержня: чтобы получить кружок, надавливали вертикально, для получения полукруга стержень держали наклоненным. Клинопись получалась сходным образом, только стержень имел не цилиндрическую, а призматическую форму (см. рис. 57). При этом можно было получить два базовых знака: 10 и 60. В числах они повторялись, что указывает на двойную группировку. Можно предположить, что десятка была границей группировки при устном наименовании чисел, тогда как цифра 60 играла критическую роль при записи результатов вычислений. Эта вторая граница была отодвинута достаточно далеко, чтобы с учетом имевшихся вычислительных средств обеспечивать максимально наглядное и обозримое представление больших количественных соотношений. Но это еще не главное преимущество. Изучение клинописных чисел обнаруживает использование уже описанного принципа когнитивного сокращения. Имеется знак для 10 (горизонтальный широкий клин) и знак для 60 (вертикальный узкий клин). Можно начинать оперативное конструирование чисел. 10 рядом с 60 дает 600, 10 рядом с 60 2 = 3600. Здесь появляется символ для обозначения 602 — венчик из клиньев. Значок 60, вписанный в середину этого венчика, дает обозначения для 603 = 216 000 и т. д. Эта упрощенная форма записи чисел не только более удобна, чем древнеегипетская, но и позволяет сделать следующий шаг. Этот шаг и есть переход к позиционному принципу репрезентации чисел.

Имеющееся в виду различие хорошо видно на рис. 68. Слева показано число в относительно ранней форме клинописной записи.

Справа показана более поздняя запись того же числа, в которой вместо отдельных групп знаки представлены линейно. Вначале использование такой формы записи могло возникнуть совершенно случайно, как результат скорописи. Но, раз возникнув, такая форма

231