Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. - Геодезия

à ë à â à 17

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ПУНКТОВ

∙

17.1. ПЕРЕДАЧА КООРДИНАТ С ВЕРШИНЫ ЗНАКА НА ЗЕМЛЮ

Дополнительные (уединенные) пункты устанавливают для сг˝у- щения геодезической сети до необходимой плотности пункт˝ами

съемочного обоснования. Плановое положение этих пунктов˝ оп-

ределяют: передачей координат с вершины знака на землю, пр˝я- мой, обратной, комбинированной и линейной засечками, луче˝выми и полярными системами.

Координаты с вершины знака на землю передают в том случае˝, когда необходимо привязать полигонометрический (теодол˝итный)

ход к пункту À существующей сети (рис. 17.1), на котором нельзя

встать с прибором (шпиль башни, колокольня церкви и др.). Для˝ привязки хода выбирают вблизи пункта À на земле пункт Ð ñ òà-

ким расчетом, чтобы с него был виден пункт À и два удаленных исходных пункта Â è Ñ (один из них для контроля определения координат пункта Ð) и было удобно измерить два базиса для опре-

деления недоступного расстояния ÀÐ.

нем используют для контроля определения расстояния ÀÐ и повышения точности его окончательного значения, а угол δ′ — для контроля правильности произведенных измерений, выписки исходных данных и повышения точности определения координа˝т точки Ð (если их получают по результатам решений двух вариан-

тов задачи).

Рассмотрим порядок решения задачи.

 û ÷ è ñ ë å í è å ä è ð å ê ö è î í í û õ ó ã ë î â (ÀÂ), (ÀÑ) è

ð à ñ ñ ò î ÿ í è é ÀÂ = S, ÀÑ = S′. По координатам исходных пунк-

òîâ À è Â вычисляют дирекционный угол

=

àзатем расстояние ÀÂ = S

==

481

Рис. 17.1. Схема передачи координат с вершины знака на землю

Если полученные значения S различаются на две единицы последнего знака, то за окончательное принимают среднее ари˝фме-

тическое из них. Если расхождение больше указанного, то, уб˝е- дившись в правильности вычислений, за окончательное прин˝има-

ют значение, полученное по большему (по абсолютному значе˝- нию) значению тригонометрической функции (точнее, по

значению функции, имеющему большее число значащих цифр). Расстояние S может быть вычислено и по формуле

=+

Точно так же определяют дирекционный угол (ÀÑ) и расстоя-

íèå ÀÑ. Иногда дирекционные углы (ÀÂ), (ÀÑ) и расстояния ÀÂ, ÀÑ не приходится вычислять, так как они бывают известны из материалов исходной геодезической сети.

Î ï ð å ä å ë å í è å í å ä î ñ ò ó ï í î ã î ð à ñ ñ ò î ÿ í è ÿ ÀÐ = d. Из двух вспомогательных треугольников с базисами b è b′ по теореме синусов находят

Разность |d1 – d2| не должна превышать 2d · 1/T, ãäå 1/Ò — ïðå-

дельная относительная погрешность измерения базисов b è b′.

За окончательное значение расстояния ÀÐ принимают среднее арифметическое значение

482

Затем вычисляют вспомогательные углы

ϕ= 180° – (δ + ψ), ϕ′ = 180° – (δ′ + ψ′)

èпо ним определяют два значения дирекционного угла (ÀÐ):

(ÀÐ)1 = (ÀÂ) ± ϕ, (ÀÐ)2 = (ÀÂ) ± ϕ′.

Знаки «+» и «–» в этих формулах берут в зависимости от распо˝-

ложения углов ϕ è ϕ′ относительно направлений ÀÂ è ÀÑ.

Расхождение между значениями (ÀÐ)1 è (ÀÐ)2 должно удовлетворять неравенству

w = |(AP)1 – (AP)2| < 6mβ,

ãäå mβ — средняя квадратическая погрешность измерения угла.

 û ÷ è ñ ë å í è å ê î î ð ä è í à ò ò î ÷ ê è Ð. По расстоянию

ÀÐ = d и дирекционному углу (ÀÐ) находят приращения коорди-

За окончательные значения координат принимают средние арифметические значения

õ = (õ1 + õ2)/2, ó = (ó1 + ó2)/2.

Пример решения задачи по передаче координат с вершины знака на землю приведен в таблице 17.1.

17.1. Вычисление координат пункта при его передаче с вершины˝ знака на землю

483

квадратической погрешностью положения точки называют с˝реднее значение смещения относительно ее точного положения˝, оп-

ределяемое в общем случае соотношением

=+

Âданном случае средняя квадратическая погрешность поло˝жения точки Ð может быть получена по формуле

484

Ï ð è ì å ð: d = 100 ì, S = 1200 ì, d = 97°, y = 6°, md = 5 ñì, òd = 20²:

Средняя квадратическая погрешность определения недосту˝п-

ного расстояния md может быть предвычислена по формуле

теоретический анализ которой показывает, что оптимальны˝ми

для решения задачами являются не равносторонние вспомог˝а- тельные треугольники с базисами b è b¢ (см. рис. 17.1), а прямоугольные с прямыми углами g. Значение угла b2 äëÿ ýòèõ òðå-

угольников зависит от соотношения точностей угловых и ли˝ней-

ных измерений.

Каким должно быть расстояние ÀÐ, чтобы значение Ì áûëî ïî

возможности меньше и не выходило за определенные пределы˝, зависит от многих факторов. В частности, выбор расстояния ÀÐ ñâÿ-

зан с высотой знака на пункте À, точностью применяемых приборов, требуемой точностью определения положения точки Ð.

При близком расположении точки Ð относительно пункта À неудобно проводить наблюдения из-за большого значения уг˝ла

наклона nÀ. Кроме того, большая разность углов nÀ è n вызывает дополнительные погрешности в измерении горизонтальных ˝углов

из-за отклонения оси вращения прибора от вертикального по˝ло-

жения и изменения фокусировки при наблюдениях на близкий˝ и далекий пункты.

17.2. ПРЯМАЯ ЗАСЕЧКА

Сущность прямой засечки состоит в определении координат˝ третьего пункта по координатам двух исходных пунктов, дву˝м исходным дирекционным углам (в случае отсутствия видимости˝ между исходными пунктами) и двум измеренным углам при исходных пунктах.

Для контроля правильности определения координат измеря˝ют

еще угол при третьем исходном пункте.

Таким образом, для решения задачи с контролем необходимо видеть определяемый пункт с трех исходных и измерить при ˝них три угла. Углы между смежными направлениями на определяем˝ый

пункт должны быть не менее 30 и не более 150°.

Существуют различные формулы и схемы для решения задачи прямой засечкой. Рассмотрим некоторые из них.

485

Имея в виду формулу (17.2), а также выражения

(ÀÐ) = (ÀÂ) – b1 è g = 180° – (b1 + b2),

напишем

486

Аналогично найдем

Равенства (17.3) и (17.4) — формулы Юнга для приращений ко-

ординат.

Точно так же найдем формулы Юнга для приращений координат, соответствующие расстоянию ÐÂ = S2.

После вычисления приращений координат по формулам

(17.3)…(17.6) дважды получают координаты пункта Ð по форму-

ëàì:

õ = õÀ + DõÀÐ = õÂ + DõÂÐ; ó = óÀ + DóÀÐ = óÂ + DóÂÐ.

Расхождение между первыми и вторыми значениями коорди-

нат может быть только из-за влияния погрешностей округлен˝ий (в пределах трех единиц последнего знака).

Перенеся в формулах (17.3), (17.4) координаты õÀ è óÂ в правые

части равенства и приведя затем каждую из этих частей к общему

знаменателю, получим формулы Юнга для координат

К о н т р о л ь в ы ч и с л е н и й. В целях контроля правильно-

сти вычислений, выполненных по этим формулам (табл. 17.2),

можно воспользоваться соотношением

487

17.2. Вычисление координат пункта прямой засечкой по формула˝м Юнга

которые представляют также формулы Юнга; здесь исходными˝ яв-

ляются пункты Â è Ð, а определяемым — пункт À.

Указанный контроль дает возможность проверить только пр˝а- вильность произведенных вычислений, но не отражает допущ˝ен-

ных ошибок в результатах измерений и в выписке исходных д˝анных.

К о н т р о л ь о п р е д е л е н и я. Для контроля правильности определения положения пункта Ð измеряют еще два угла b¢ и b¢ соответственно при пунктах Â è Ñ (см. рис. 17.2), причем первый из них можно не измерять, а получить из равенства

b¢ = Ð b

ãäå ÐÂ = ÐÀÂÑ = (ÂÑ) – (ÂÀ), но для этого надо по координатам исходных пунктов À, Â è Ñ найти дирекционные углы (ÂÑ) è (ÂÀ).

Имея координаты пунктов Â, Ñ и углы b¢ b¢ вторично опре-

деляют координаты пункта Ð. Расхождения между абсциссами и ординатами, полученными при первом и втором решениях, дол˝ж- ны удовлетворять неравенству

ãäå Ì1 è Ì2 — средние квадратические погрешности положения пункта˝Ð, определенного по двум исходным пунктам (À è Â,  è Ñ) в соответствии с формулами

ãäå òβ — средняя квадратическая погрешность измерения угла.

488

Если расхождения между координатами допустимы, то за окон˝- чательные значения координат пункта Ð принимают их средние арифметические значения из двух решений.

П р и м е р. Определить среднюю квадратическую погрешность положени˝я пункта из одного решения, если S1 = S2 = 1000 ì, g = 60°, òβ = 10².

Допустим Ì2 = 10 ñì.

Тогда квадратическая погрешность среднего из двух решен˝ий

Пример математической обработки результатов измерений ˝по

определению координат пункта прямой засечкой по формула˝м

Юнга приведен в таблице 17.2.

Формулы Гаусса. Если между исходными пунктами À è Â, а также Â è Ñ, по которым определяют положение пункта Ð, íåò âèäè-

мости, то для решения задачи получения координат пункта Ð ïðÿ-

мой засечкой наиболее удобны формулы Гаусса. В этом случае из-

меряют углы β1 è β2 соответственно на пунктах À è Â, à äëÿ êîíò-

роля правильности определения координат пункта Ð — óãîë β3 на пункте Ñ (рис. 17.3) между направлениями на другие пункты ис-

ходной сети, на которые имеется видимость.

Дирекционные углы направлений с исходных на определяемы˝й

пункт вычисляют по формулам:

489

Последние два равенства представляют систему уравнений˝ с двумя неизвестными õ è ó.

Для исключения ó вычтем из первого уравнения второе:

óÂ – óÀ = õ(tg a1 – tg a2) – õÀtg a1 + õÂtg a2,

отсюда

Вычтя из обеих частей равенства õÀ и приведя правую часть к

общему знаменателю, будем иметь выражение

Аналогично получим равенство

Равенства (17.14), (17.15) совместно с равенствами (17.11), (17.12) являются формулами Гаусса для приращений координат. После вычисления приращений дважды получают значения ко˝ординат пункта Ð по формулам:

Сходимость двух значений õ и двух значений ó служит признаком правильности произведенных вычислений.

Равенство (17.13) представляет собой формулу Гаусса для непосредственного вычисления абсциссы õ. Значение ординаты вы- числяют в этом случае по формулам:

соответствующим формулам (17.11) и (17.12).

490