Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. - Геодезия

длину исходной стороны, выполняют предварительное решен˝ие

треугольников (табл. 14.2); используя теорему синусов

находят приближенные длины сторон, необходимые для вычис˝ления поправок за центрировку и редукцию.

14.2. Предварительное решение треугольников

Общие стороны смежных треугольников называют связующими (OQ, OP1, OP2 и т. д.), остальные стороны (Q1Ð1, ÐÐ2 è ò. ä.) — промежуточными. Углы, противолежащие связующим сторонам, на-

зывают связующими углами, остальные — промежуточными. Связующие углы обозначим AR è BR в порядке их следования,

ãäå R — номер треугольника (R = 1, 2, …, N), а промежуточные — CR. Противолежащие этим углам стороны обозначим соответств˝енно aR, bR, cR. Таким образом, в каждом треугольнике исходная сторона будет обозначена b, а в предыдущем треугольнике она же обозначена à. В практике геодезического производства углы обычно обозначают арабскими цифрами, как на рисунке 14.2.

В каждом треугольнике, начиная с первого, по стороне bR è óãëó BR находят отношение DR = bR/sin BR, которое записывают над значениями синусов углов треугольника. Две другие сто˝роны треугольника вычисляют по формулам

aR = DRsin AR è ñR = DRsin ÑR.

Контролем решения треугольников является сходимость вы˝-

численного значения длины стороны aN с исходным ее значе-

íèåì b1.

Для приведения направлений к центрам пунктов определяют˝ поправки за центрировку и редукцию. Вывод формул этих поп˝равок рассмотрим ниже.

411

ренное направление Ì. Приведенное к центру пункта направление

Ì¢ = Ì + ñ.

Согласно теореме о внутренних накрест лежащих углах при п˝а-

раллельных прямых, пересеченных третьей прямой,

Из решения треугольника ÑÀÑÂÐÀ по теореме синусов имеем

sin C = esin (M + q)/S.

Отсюда с учетом того, что угол ñ ìàë

412

Òàê êàê å и r — постоянные величины, то обозначим k = er. Тогда рабочая формула для вычисления поправки за центрировку

¢¢ = + q (14.2)

В ы в о д ф о р м у л ы п о п р а в к и з а р е д у к ц и ю. Пусть ÑÀ, Ñ è u (ðèñ. 14.2, á) — проекции на горизонтальную

плоскость соответственно центров пунктов À, Â и оси визирного

цилиндра на пункте Â.

Как видно из рисунка 14.2, á, при отсутствии смещения оси визирного цилиндра относительно центра пункта Â приведенное

значение направления с пункта À на пункт Â было бы равно

̲ = Ì + r,

ãäå Ì — измеренное направление на пункт Â; r — поправка за редукцию.

Для вывода формулы поправки r проведем прямую u ¢ па-

раллельную начальному (нулевому) направлению. Тогда

Ð u ¢ » Ð =

ãäå Ì1 — измеренное направление с пункта Â на пункт À.

Из решения треугольника ÑÀÑÂu по теореме синусов найдем

=+ q

Отсюда с учетом того, что угол r ìàë,

¢¢ = + q r¢¢ (14.3)

Так же, как и при выводе поправки за центрировку, обозначим˝

å1r = k1.

Тогда рабочая формула вычисления поправки за редукцию будет

Пример вычисления поправок ñ по формуле (14.2) и r по формуле (14.3) приведен в таблице 14.3.

413

14.3. Вычисление поправок за центрировку и редукцию

Все измеренные направления приводят к центрам пунктов (табл. 14.4) путем введения поправок за центрировку и редукци˝ю по формуле

Ì¢ = Ì + ñ + r.

При этом для каждого направления берут свои значения ñ è r.

14.4. Вычисление приведенных направлений

Для того чтобы начальное направление оставалось нулевым˝, т. е. 0°00¢00², все поправки за центрировку и редукцию до их вве-

дения в направления преобразуют по формуле

ãäå i = 1, 2, …, ï — номер направления.

После введения поправок получают направления, приведенн˝ые к центрам пунктов. Так как преобразованная поправка в нач˝аль-

ное направление равна нулю, то и приведенное значение нач˝ального направления будет 0°00¢00².

414

веденных направлений. После это-

го в треугольниках подсчитывают угловые невязки. Допусти˝мые

невязки определяют по формуле

= β (14.5)

ãäå òβ — средняя квадратическая погрешность измерения угла.

Согласно инструкции для триангуляции 2-го разряда òβ = 10².

Тогда

По невязкам треугольников определяют среднюю квадратич˝ес-

кую погрешность измерения угла, применяя формулу

14.3. ОКОНЧАТЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Окончательные вычисления включают: уравнивание геодези˝-

ческой сети; вычисление координат пунктов и составление к˝аталога координат. Задача уравнивания сети состоит в определ˝ении

таких поправок к измененным углам, чтобы исправленные зна˝че- ния углов удовлетворяли всем условиям, возникающим в этой˝ сети.

415

Каждой избыточной величине в геодезической сети соответ˝-

ствует одно независимое от других условие, а r избыточным вели- чинам — r независимых условий.

Некоторые условия возникают из-за наличия в сети исходных˝ элементов. Геодезическая сеть, в которой имеется хотя бы о˝дно условие, связанное с наличием в ней исходных элементов, яв˝ляется несвободной.

Исходные элементы сети обычно принимают за точные, они не˝ подлежат изменению. В действительности они содержат погр˝еш-

ности, которыми иногда нельзя пренебрегать, так как они мо˝гут понизить точность вновь создаваемой сети. Каждому услови˝ю отвечает одно условное уравнение поправок.

Существуют строгие и упрощенные способы уравнивания. Строгие способы уравнивания базируются на методе наименьших квадратов. Их применяют в основном при уравнивании государственной геодезической сети, сети сгущения 1-го разряда и о˝пор-

ной межевой сети 1-го класса.

Уравнивание триангуляции 2-го разряда обычно выполняют упрощенным способом как более простым для вычислений. При˝

этом для вывода формул поправок к результатам измерений и˝с- пользуют, с некоторыми ограничениями, один из строгих спо˝собов уравнивания — коррелатный.

У р а в н и в а н и е п о м е т о д у н а и м е н ь ш и х к в а д - р а т о в. Он состоит в определении поправок u1, u2, …, uï к резуль-

татам измерений, удовлетворяющих условию [u2] = min, если измерения равноточны, или [pu2] = min, если измерения неравноточны и характеризуются весами ð1, ð2, ð3, …, ðï.

Значения величин, уравненные по методу наименьших квадра˝- тов, являются в некотором смысле наилучшими по сравнению ˝с

результатами уравнивания другими методами.

К о р р е л а т н ы й с п о с о б у р а в н и в а н и я. Он состоит в следующем. Пусть уравниваемой геодезической сети соо˝тветствует система независимых условных уравнений поправок˝

ãäå b11, b12, …, b1n, …; br1, br2, …, brn — коэффициенты, а w1, w2, …, wr — свободные члены (невязки) уравнений.

Рассмотрим решение задачи по определению поправок для случая равноточных измерений в соответствии с принципом˝ [u2] = min. Эта задача относится к математическому анализу на ус˝-

416

ловный экстремум. Она может быть решена с помощью множите˝-

лей Лагранжа, называемых коррелатами.

Для такого решения составляют функцию Лагранжа

Затем функцию исследуют на экстремум, для чего находят ее˝ частные производные и приравнивают их к нулю:

Отсюда

Равенства (14.11) называют коррелатными уравнениями поправок.

Подставляя выражения поправок (14.11) в условные уравнения

(14.8), после приведения подобных членов получаем систему ура˝в- нений

которую называют системой нормальных уравнений коррелат. Число нормальных уравнений равно числу неизвестных корр˝е-

лат, т. е. матрица из коэффициентов является квадратной.

Квадратичные коэффициенты [b1b1], [b2b2], …, [brbr] располагаются по так называемой главной диагонали определителя си˝сте-

417

мы. Остальные — неквадратичные коэффициенты, расположе˝н-

ные симметрично относительно главной диагонали, равны ме˝жду собой.

Решая систему уравнений (14.11), находят поправки υ1, υ2, …, υï. В том случае, когда в сети имеется только одно условное

уравнение вида

b11υ1 + b12υ2 + … + b1ïυï + w = 0,

ему будет соответствовать одно нормальное уравнение кор˝релат

υï = b1ïk.

Например, если определяют третий пункт сети по двум пунктам и трем измеренным углам треугольника, вершинами котор˝ого

являются эти три пункта, то поправки в измеренные значени˝я уг-

лов треугольника по изложенному способу получают следую˝щим образом.

Условное уравнение поправок будет

υ1 + υ2 + υ3 + w = 0,

нормальное уравнение коррелат

3k + w = 0.

Отсюда

=

Поправки к измеренным углам в соответствии с формулами (14.15) будут

υ= υ = υ =

ò.е. невязка распределяется с противоположным знаком, по˝ровну на все углы треугольника.

418

Ï à ð à ì å ò ð è ÷ å ñ ê è é ñ ï î ñ î á ó ð à â í è â à í è ÿ. Îí

состоит в следующем. Пусть в геодезической сети имеется t параметров (необходимых неизвестных), подлежащих определени˝ю, точные значения которых обозначим Õ1, Õ2, …, Õt. Для их определения измерено ï элементов сети, точные значения которых L1,

L2, …, Ln.

Уравнивание происходит при ï > t. Разность r = n – t равна чис-

лу избыточных измерений (степеней свободы).

Точные значения элементов сети Li и параметров Õi связаны

математическими зависимостями, называемыми параметрическими уравнениями связи:

Ln = an1X1 + an2X2 + … + antXt + at0.

В процессе измерений получают значения элементов сети λ1,

λ2, …, λï с весами ð1, ð2, …, ðï. В результате уравнивания находят приближенные, однако близкие к точным значениям параметр˝ов,

величины õ1, õ2, …, õt.

Заменяя в выражении (14.18) точные значения определяемых параметров Õ1, Õ2, …, Õt их приближенными значениями õ1,

õ2, …, õt, получают параметрические уравнения поправок в виде

υï = à1ïõ1 + à2ïõ2 + … + àtïõt + a0t – λt.

При уравнивании удобнее и точнее вычислять малые поправк˝и dõi вместо õi. Поэтому вводят предварительные значения искомых

параметров так, чтобы = + δ поэтому параметрические

уравнения поправок примут вид

419

Приближенные значения параметров находят под условием

[pυ2] = min. В связи с этим нормальные уравнения получим в виде

[pa1a1]δx1 + [pa1a2]δx2 + … + [pa1at]δxt + [pa1l] = 0;

[pa1a2]δx1 + [pa2a2]δx2 + … + [pa2at]δxt + [pa2l] = 0; (14.21)

................................................................................

[pa1at]δx1 + [pa2at]δx2 + … + [patat]δxt + [patl] = 0.

Общее число уравнений равно числу неизвестных, т. е. t.

В результате решения системы нормальных уравнений получ˝а-

ют поправки δõ1, δõ2, …, δõt к предварительным значениям неизве-

стных.

Затем по формуле

находят уравненные значения параметров.

Оценка точности по результатам параметрического уравни˝ва-

ния включает определение средних квадратических погреш˝ностей измеренных и уравненных величин, а также их функций. В обще˝м

случае для этого используют формулу

ãäå μ — средняя квадратическая погрешность единицы веса.

Правая форма записи погрешности (14.23) предпочтительнее, так как обычно в процессе уравнивания вычисляют не сам ве˝с, а его обратную величину — так называемый обратный вес.

Таким образом, для оценки точности некоторой величины не-˝

обходимо по результатам уравнивания определить μ è 1/ði.

При уравнивании различают априорные è апостериорные значе- ния средней квадратической погрешности. Априорное значе˝ние μ0 этой погрешности устанавливают до уравнивания при вычислении весов измеренных величин по предполагаемым погрешно˝- стям отдельных измерений.

Апостериорное значение μ получают по результатам уравнивания в соответствии с формулой

Обычно значения μ0 è μ численно различаются. Это происходит из-за неточности назначения численных значений погре˝шностей измерений при вычислении их весов перед уравнивание˝м,

420