Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. - Геодезия

Относительная невязка fL /L не должна превышать предельно допустимого значения для соответствующего класса ОМС.

Для получения рабочих координат пунктов упрощенно уравн˝и-

вают приращения координат пунктов хода. Полученные невяз˝ки распределяют поровну на все приращения в ходе, если сторо˝ны измерены светодальномером:

и прямо пропорционально длинам линий в случае измерения с˝то-

рон другими мерными приборами

По исправленным приращениям вычисляют координаты вер-

øèí õîäà.

15.2. УРАВНИВАНИЕ ПОЛИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ХОДОВ

Уравнивание полигонометрических ходов выполняют:

строгими способами, когда поправки получают под условием˝

βυβ + υ =

нестрогими способами (раздельными), когда поправки к изме˝- ренным углам и приращениям координат находят раздельно, п˝ренебрегая их взаимной зависимостью (например, распределяя˝ невязки fx è fy прямо пропорционально длинам сторон).

Выбор способа уравнивания зависит от предъявляемой точн˝ости к окончательным значениям координат.

Уравнивание по методу наименьших квадратов осуществляю˝т параметрическим или коррелатным способами. Выбор способ˝а уравнивания зависит от объема вычислительных работ, кото˝рый определяется в основном числом нормальных уравнений, под˝лежащих решению. При уравнивании полигонометрических ходо˝в с

использованием калькуляторов применяют коррелатный спо˝соб,

так как число нормальных уравнений в этом способе намного˝

меньше. Однако при наличии программного обеспечения и соо˝т-

ветствующих компьютеров объем вычислительной работы не˝ имеет решающего значения.

451

Уравнивание полигонометрического хода коррелатным спос˝о-

бом начинают с подсчета числа условий, возникающих в ходе˝, которое определяют по формуле

r = n′ – k,

ãäå n′ — число вcех измерений; k — число неизвестных (число необходимых измерений).

Число всех измерений в полигонометрическом ходе равно су˝м- ме ï сторон и ï + 1 углов, т. е. n′ = 2ï + 1. Число неизвестных ко-

ординат k равно числу всех вершин хода без двух исходных, имеющих координаты, умноженному на два (каждая вершина хода им˝е-

ет абсциссу õ и ординату ó):

k = (ï + 1 – 2)2 = 2ï – 2.

Тогда число условий в полигонометрическом ходе

r = 2n + 1 – 2n + 2 = 3.

По числу условий составляют три условных уравнения: одно угловое и два координатных, которые имеют вид

[υβ] + fβ = 0;

приращений абсцисс и ординат при вычислении хода без пред˝варительного уравнивания углов; óï + 1 – ói, õï + 1 – õi — разности ординат и абсцисс точек хода конеч- ной и с номером i, ãäå i = 1, 2, …, ï.

При измерении линий электромагнитными дальномерами и

электронными тахеометрами веса измеренных углов и линий˝ определяют по формулам:

ðβ = 1;

=β

Если длины линий в ходе существенно не отличаются от сред˝- ней, то веса линий можно принять одинаковыми, т. е.

452

По коэффициентам условных уравнений составляют нормаль˝-

ные уравнения коррелат в виде

[qb1b1]k1 + [qb1b2]k2 + [qb1b3]k3 + fβ = 0; [qb1b2]k1 + [qb2b2]k2 + [qb2b3]k3 + fx = 0; [qb1b3]k1 + [qb2b3]k2 + [qb3b3]k3 + fy = 0,

Решая нормальные уравнения коррелат, находят коррелаты k1, k2 è k3, по которым получают поправки в измеренные углы и ли-

нии по формулам:

Поправки uβ è us вводят в измеренные углы и линии; по ис-

правленным углам вычисляют дирекционные углы, а затем по ˝дирекционным углам и исправленным линиям — исправленные

приращения координат Dõèñïð è Dóèñïð.

Окончательным контролем служат равенства

[Dõèñïð] = xê – õí; [Dyèñïð] = yê – yí.

Уравненные (окончательные) координаты получают по фор-

мулам:

+ = +D

+= + D

15.3.ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ УРАВНЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ХОДА

ÈПОЛУЧЕННЫХ КООРДИНАТ ПУНКТОВ

Оценка точности уравненных элементов хода состоит в вычи˝с-

лении средних квадратических погрешностей углов b, дирекционных углов a, длин сторон s, абсцисс õ и ординат ó.

453

В общем случае любую функцию уравненных значений углов и линий полигонометрического хода можно представить в вид˝е

= + ¢uβ + ¢uβ + + ¢+ uβ + +

ãäå F0 — начальное значение функции, вычисленное по измеренны˝м значениям углов и линий; F ¢ è F ² — коэффициенты соответственно при угловых и линейных поправках.

Для оценки точности уравненных элементов хода (линии, угл˝а, дирекционного угла, абсциссы и ординаты) составляют в соо˝твет-

ствии с формулой (15.1) выражения для приращения функций

Обратный вес функции согласно методу наименьших квадрат˝ов будет иметь вид

==

Средняя квадратическая погрешность функции

= m

Средняя квадратическая погрешность единицы веса

Однако следует иметь в виду, что для одного хода величину m

вычисляют ненадежно. Лучше ее определить по невязкам ряда˝ вытянутых ходов.

454

Вследствие того что полная оценка точности всех уравненн˝ых

элементов хода задача трудоемкая, ее решают по специальны˝м программам на ЭВМ.

В качестве примера в приложении 3 приведена распечатка ре˝- зультатов уравнивания изогнутого полигонометрического˝ хода па-

раметрическим способом по программе «Сигма».

15.4. РАСЧЕТ ТОЧНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ ПУНКТА, ОПРЕДЕЛЯЕМОГО ПОЛЯРНЫМ СПОСОБОМ

ÑПУНКТА ПОЛИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ХОДА

Âпрактике межевания земель нередко определяют положени˝е пунктов (межевых знаков) полярным способом с пунктов поли˝го-

нометрических ходов. В связи с этим определим среднюю ква˝дра-

тическую погрешность положения пункта à (рис. 15.1) относительно пунктов À è Â исходной геодезической сети

=+

ãäå ÌÑ — средняя квадратическая погрешность положения пункта˝Ñ относительно пунктов À è Â; Ìà(Ñ) — средняя квадратическая погрешность положения пункта˝à относительно среднего пункта Ñ.

Рис. 15.1. К расчету точности положения пункта à, определяемого полярным способом с пункта полигонометрического хода

Значение ÌÑ вычисляют по формуле

=+

455

Приближенно можно принять

ãäå òs, òβ — средние квадратические погрешности стороны и угла хо˝да;ï — число сторон хода; L — длина хода.

При угловой привязке к сторонам полигонометрического хо˝да

приходится также учитывать среднюю квадратическую погр˝ешность дирекционного угла средней стороны этого хода FC, вычис-

ляемую по формуле

ïðè ï четном для двух средних сторон

Приближенно можно принять

α = β +

Средняя квадратическая погрешность положения пункта (ме˝- жевого знака) à относительно среднего пункта Ñ полигонометри-

ческого хода вычисляют по формуле

ãäå & — средняя квадратическая погрешность полярного луча Ñà; & — длина полярного луча; α& — средняя квадратическая погрешность дирекционного лу˝ча;

α& = α α + β&

ãäå β& — средняя квадратическая погрешность измерения полярн˝ого угла.

П р и м е р. Предвычислить среднюю квадратическую погрешность полож˝е- ния бокового пункта (межевого знака) à, определяемого полярным способом с пункта полигонометрического хода Ñ (число сторон ï — четное), относительно исходных пунктов À è Â.

1. Предвычисление средних квадратических погрешностей по˝ложения среднего пункта полигонометрического хода Ñ относительно исходных пунктов À è Â и дирекционных углов двух средних сторон хода.

Исходные данные: L = 12 êì; ï = 10; òs = 2 ñì; òβ = 5². Искомые величины:

= =

456

2. Предвычисление средней квадратической погрешности пол˝ожения бокового пункта (межевого знака) à относительно среднего пункта хода Ñ.

+ç

ç ¢¢ ÷ è ø

3.Предвычисление средней квадратической погрешности пол˝ожения бокового пункта (межевого знака) à относительно исходных пунктов À è Â= ÷ =

= + =

В ы в о д. Полученное значение Ìà соответствует требованиям Методических рекомендаций, предъявляемым к межевым знакам для земель п˝оселений (городов).

15.5. РАСЧЕТ ТОЧНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ БОКОВОГО ПУНКТА, ОПРЕДЕЛЯЕМОГО ПРЯМОЙ УГЛОВОЙ ЗАСЕЧКОЙ С ПУНКТОВ ПОЛИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ХОДА, С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

При проложении полигонометрических ходов целесообразно˝ определять координаты близрасположенных ориентиров (ко˝локолен церквей, заводских труб, телевизионных антенн и др.), ис˝- пользуя их в дальнейшем как опорные пункты для передачи д˝и- рекционных углов и решения других геодезических задач. В ˝связи с этим рассчитаем точность положения бокового пункта à (рис. 15.2), определяемого прямой угловой засечкой с пунктов хода, с учетом влияния погрешностей исходных данных.

Средняя квадратическая погрешность положения бокового пункта à с учетом влияния погрешностей исходных данных

погрешностей дирекционных углов сторон, примыкающих к пу˝нктамÑ è D;

457

Рис. 15.2. Схема определения бокового пункта à прямой угловой засечкой с пунктов полигонометрического хода

—СКП положения пункта из-за влияния погрешностей исход˝ных пунктов

Ñè D (пункта D относительно Ñ и пункта Ñ относительно À è Â).

Ïðè SC = SD γ ≈

Среднюю квадратическую погрешность дирекционного угла

α& приближенно получим следующим образом:

Средние квадратические погрешности дирекционных углов

сторон хода с номерами i è i + k, примыкающих к пунктам Ñ è D,

ãäå òβ — СКП измерения угла в полигонометрическом ходе.

Следовательно,

458

Примем приближенно

 ë è ÿ í è å ï î ã ð å ø í î ñ ò å é è ñ õ î ä í û õ ä à í í û õ.

На положение пункта à будет влиять также погрешность взаимного положения исходных пунктов Ñ è D. Средняя квадратическая

погрешность этого влияния может быть определена по форму˝ле

=+

Продольный средний квадратический сдвиг конца отрезка CD

ãäå k — число сторон хода между пунктами Ñ è D.

Поперечный сдвиг конца отрезка CD относительно его начала

Известно, что сумма квадратов натурального ряда чисел рав˝на

С учетом формул (15.5) и (15.6) СКП конца отрезка CD относительно его начала

459

Влияние погрешностей взаимного положения пунктов D è Ñ íà

положение пункта à приближенно выразим следующим образом:

»

Откуда

»

Тогда с учетом формулы (15.7) СКП положения пункта à относительно пункта Ñ

СКП положения пункта Ñ относительно исходных пунктов À è Â может быть определена по формуле

=+

¢¢

460