Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. - Геодезия

13.13. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ РАССТОЯНИЯ СВЕТОДАЛЬНОМЕРОМ

Среднюю квадратическую погрешность измерения расстояни˝я светодальномером принято выражать формулой

ãäå à — составляющая (коэффициент), не зависящая от расстояни˝я;b — составляющая (коэффициент), зависящая от расстояния.

Значения коэффициентов à è b в этой формуле находят из сопоставления длин измеренных линий с их погрешностями. Пус˝ть

расстояния D2, D2, ..., Dn измерены дальномером с истинными погрешностями по модулю d1, d2, ..., dï. Истинные погрешности

можно получить сравнением расстояний, измеренных дально˝мером, со значениями этих же расстояний, найденных из более т˝оч-

ных измерений.

Тогда можно составить ï уравнений погрешностей

Соответствующие нормальные уравнения будут

Откуда, воспользовавшись общими формулами решения двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, найдем

401

Рассмотрим на практическом определении средней квадрат˝и-

ческой погрешности измерения расстояний. Для этого свето˝дальномером СТ5 тремя приемами измерено семь эталонных базисо˝в (табл. 13.4), ранее измеренных инварными проволоками. Истинные погрешности измерений δ определяли как разности между

значениями базисов, измеренных светодальномером Sè, и длинами образцовых базисов S0.

Каждый базис измерен одной программой, которая включала три приема; прием состоял из трех наведений на отражатель˝ по

максимальному значению принятого сигнала и одного отсче˝та

при каждом наведении. Базисы измерены на отражатели: до 0,5 ˝км с одной призмой, от 0,8 до 1,5 км — с тремя призмами, от 2 до 4 км — с шестью призмами. Результаты измерений образцовы˝х ба-

зисов приведены в таблице 13.4.

13.4.Значения эталонных базисов, базисов, измеренных светод˝альномером,

èистинных погрешностей измерений

На основании формул (13.32) и данных таблицы 13.4 условные

уравнения погрешностей

В результате решения нормальных уравнений (13.33) коэффи-

циенты à′ è b′ будут равны:

à′ = 9,6 ìì; b′ = 6,15 ìì.

402

Учитывая соотношение между средней и средней квадратиче˝-

ской погрешностями, запишем

Подставив численные значения à è b в формулу (13.31), полу- чим среднюю квадратическую погрешность измерения расст˝ояния светодальномером СТ5, равную

mD = (12 + 7,7 · 10–6D) ìì.

Согласно ГОСТ 19223—90 значения коэффициентов должны быть: à = 10 ìì, b = 5 мм. Следовательно, полученные нами значе-

ния этих коэффициентов несколько превышают нормативные˝, что может быть объяснено как недостаточным объемом иссле˝до-

ваний, так и тем обстоятельством, что точность исследуемого светодальномера не в полной мере соответствует требованиям˝ на-

званного ГОСТа.

13.14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦИКЛИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТИ СВЕТОДАЛЬНОМЕРА

Под циклической погрешностью понимают закономерно изме˝-

няющуюся погрешность при измерении расстояния в предела˝х полной шкалы применяемого фазометра (в линейной мере эта˝ величина обычно соответствует половине длины волны масшта˝бной

частоты; в светодальномере СТ5 λ/2 = 10 ì).

Для определения циклической погрешности стальной рулет˝кой размечают одиннадцать точек на расстояниях (м) от светода˝льно-

мера, определяемых формулой

D = A + k ± 0,1,

ãäå À — любое число от 5 до 25; k = 0, 1, 2, …, 9, 10.

Эти же расстояния измеряют светодальномером. Измерения выполняют с надетым на объектив аттенюатором при уровне п˝ринимаемого сигнала в середине рабочей зоны. На каждом расс˝тоянии определяют значение контрольного отсчета. Отклонени˝е текущего значения контрольного отсчета от паспортного учи˝тывают при вычислении результатов измерений.

Для каждой из точек вычисляют поправки

δö = Dý – Dè,

ãäå Dý — эталонное расстояние, измеренное стальной рулеткой; Dè — среднее зна- чение расстояния, измеренное светодальномером в режиме Т˝ОЧНО.

403

Рис. 13.12. График поправок за циклическую погрешность

Размах циклической поправки (разность максимального и ми˝-

нимального значений δö с учетом знака) не должен быть более

15 ìì.

По значениям δö строят график поправок за циклическую по-

грешность.

Результаты измерения расстояний светодальномером СТ5 приведены в таблице 13.5, а график поправок за циклическую по-

грешность δö показан на рисунке 13.12.

13.5. Результаты измерений расстояний светодальномером СТ5

13.15. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ РАССТОЯНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ ДАЛЬНОМЕРАМИ

Измерения расстояний электромагнитными дальномерами со˝-

провождаются рядом погрешностей, обусловленных констру˝ктивными особенностями приборов, влиянием внешних условий, ха˝- рактером распространения колебаний в приземном слое атм˝осферы в непосредственной близости от подстилающей поверхно˝сти.

Рассмотрим влияние отдельных источников погрешностей н˝а измеряемое расстояние. В результате дифференцирования осн˝овной

404

формулы (13.1) будем иметь

Из формулы (13.5) видно, что относительная погрешность из-

мерения расстояния зависит от относительной погрешност˝и скорости распространения электромагнитных колебаний и отн˝оси-

тельной погрешности времени распространения электромаг˝нит-

ных волн. Скорость распространения электромагнитных вол˝н в вакууме постоянна, скорость же этих волн в атмосфере, где в˝ы- полняются геодезические измерения, зависит от физически˝х

свойств среды и длин электромагнитных волн.

Зависимость между скоростью распространения электромаг˝- нитных волн в вакууме ñ0 и в атмосфере ñ определяется формулой

ñ = ñ0/ï,

ãäå ï — показатель преломления воздуха.

В связи с тем что скорость распространения света в атмосф˝ере зависит от длины волны, рассмотрим этот процесс подробнее˝. Из-

вестно, что видимый свет имеет сплошной спектр с длинами в˝олн от 0,4 до 0,7 мкм, причем интенсивность отдельных частей спект˝-

ра зависит от источника света и от условий его прохождени˝я в ат-

мосфере. Любой приемник, в том числе и человеческий глаз, об˝- ладает неодинаковой чувствительностью к свету различны˝х длин волн. Поэтому возникает вопрос о том, какую длину волны све˝та

использовать при обработке светодальномерных измерений˝. Раз-

личают две скорости распространения электромагнитных в˝олн — фазовую и групповую. Фазовая скорость определяет быстрот˝у

продвижения фазы волны. Фазовая скорость ñô связана с показателем преломления ï соотношением

ñô = ñ0/ï.

Групповая скорость, используемая при измерении расстоян˝ий светодальномером, представляет собой скорость огибающе˝й модулированного светового потока, т. е. скорость группы волн р˝азлич-

ной длины. Она определяет скорость перемещения электрома˝г-

нитной энергии. Групповая скорость ñã связана с показателем пре-

ломления более сложной зависимостью

405

Групповую скорость света в атмосфере можно определить по˝

формуле

ñã = ñ0/ïL,

ãäå ïL — показатель преломления для реальной атмосферы.

Значение ïL определяют по формуле

ïL = 1 + (ïã – 1)Ð/(1 + 760αt) – 0,55 · 10–7å/(1 + αt),

ãäå ïã — групповой показатель преломления в реальной атмосфе˝ре;t — температура воздуха, °С; α — коэффициент расширения воздуха, α = 0,003601.

Групповой показатель преломления ïã, в свою очередь, определяют для стандартной атмосферы (водяные пары отсутствуют˝, уг-

лекислый газ составляет 0,03 %, температура равна 0 °С, давление — 760 мм рт. ст.) по формуле

(ïã – 1)106 = 2876,04 + 48,864/λ2 + 0,680/λ4,

ãäå λ — эффективная длина волны света, которой соответствует˝ максимум интенсивности принимаемого приемником света, 10–6 ì.

В практике измерения расстояний электромагнитными даль˝номерами показатель преломления воздуха ï определяют косвенно

по результатам измерения температуры, давления и влажнос˝ти воздуха.

Численные значения относительных погрешностей измеряе-˝

мых расстояний из-за погрешностей определения температу˝рыt(), давления (Ð) и влажности (å) воздуха приведены ниже:

Видно, что влияние погрешностей определения температуры˝ и

давления воздуха на точность измерения расстояний приме˝рно

одинаково. Погрешности определения влажности воздуха в з˝начи- тельно большей степени влияют на точность измерения расс˝тояний радиодальномерами.

Следует, однако, иметь в виду, что погрешности определения˝ температуры, давления и влажности воздуха главным образо˝м зависят не от погрешностей собственно измерений метеороло˝гическими приборами, а от их неодинаковости в различных точках˝ пути

распространения электромагнитных волн.

406

Из-за неоднородности атмосферы скорость распространени˝я

электромагнитных волн вдоль измеряемой линии не будет по˝стоянной, т. е. будет иметь не равномерное прямолинейное движ˝е- ние, а более сложный вид движения. Однако пройденный элект˝- ромагнитными колебаниями путь будет равен пути, вычислен˝но-

му для равномерного прямолинейного движения, если скорос˝ть этого фиктивного движения принять равной среднеинтегра˝льной

скорости действительного движения электромагнитных вол˝н. Для получения этой скорости необходимо найти среднеинтегра˝льное

значение показателя преломления воздуха

=ò

Так как закон распределения показателя преломления ï(õ) â

воздухе в момент измерения неизвестен, то значение определяют приближенно как среднее арифметическое из значений ï, ïî-

лученных на нескольких точках пути распространения волн˝ы, т. е.

=å

=

ãäå k — число точек, в которых определяли метеоданные.

В практике измерений расстояний электромагнитными даль˝-

номерами метеоданные определяют только в одной (начально˝й) или двух (начальной и конечной) точках в зависимости от дл˝ины

линии и разности высот ее концов.

Теперь рассмотрим погрешность определения времени распространения электромагнитных колебаний t. Согласно формуле (13.9)

Откуда средняя квадратическая относительная погрешност˝ь

определения t будет

407

В зависимости от требуемой точности измерения расстояни˝й

обеспечивают и необходимую относительную частотную пог˝реш-

как путем повышения точности измерения разности фаз, так ˝и уменьшением длины волны путем повышения частоты колеба-

íèé.

Рассмотренное влияние отдельных источников погрешносте˝й на точность измерения расстояний электромагнитными дал˝ьномерами носит схематический характер, удобный для пониман˝ия с

позиции теории погрешностей. В действительности на точно˝сть

измерений влияют более сложные физические явления: отраж˝е- ние электромагнитных волн от подстилающей поверхности з˝емли

и местных предметов, поглощение радиоволн препятствиями˝, дифракция колебаний, фазовые задержки в блоках дальномер˝а и

другие факторы светового пучка (у светодальномеров), цикл˝ические погрешности и др. Для ослабления или исключения влиян˝ия

этих факторов принимают специальные меры. Кроме того, на т˝оч- ность измерения расстояний существенное влияние оказыв˝ает по-

грешность определения постоянной дальномера.

Контрольные вопросы и задания

1. Каков принцип действия электронного дальномера? 2. Напиши˝те и объясните уравнения: гармонического колебания; мгновенной (те˝кущей) фазы колебания; плоской волны гармонического колебания. 3. Объясните н˝изкочастотный метод фазовых измерений (приведите схему и необходимые ф˝ормулы). 4. Расскажите о фазовом методе измерения расстояния (приведите сх˝ему и необходимые формулы). 5. Какова процедура разрешения неоднозначности в˝ расстоянии, измеряемом электромагнитным дальномером? 6. Каков импульсно-ф˝азовый гетеродинный способ измерения расстояния (приведите схему и не˝обходимые формулы)? 7. Что такое обобщенная функциональная схема светодаль˝номера? 8. Каковы устройство и структурная схема светодальномера СТ5? 9. Расс˝кажите о методике измерения расстояния в режимах «ТОЧНО» и «ГРУБО». 10. Перечи˝слите отличи- тельные особенности светодальномера «Топаз» СП2. 11. Каковы˝ сущность и способы определения постоянной поправки светодальномера? 12.˝ Назовите основные погрешности измерения расстояния электромагнитными дал˝ьномерами.

408

à ë à â à 14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ТИПОВЫХ ФИГУР ТРИАНГУЛЯЦИИ

∙

14.1. СУЩНОСТЬ УРАВНИВАНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

При создании геодезических сетей в целях контроля измере˝ния

и повышения точности вычислений, как правило, измеряют бо˝льшее число величин, чем необходимо для построения сети как˝ гео-

метрической фигуры. Величины, измеряемые сверх необходи-

мого числа, называют избыточными. Например, для построения треугольника с известной стороной надо знать два его угла˝, третий угол является избыточной величиной.

Наличие избыточных измерений, кроме того, позволяет оце-

нить точность результатов измерений и окончательных зна˝чений уравненных величин.

Необходимые и избыточные величины связаны между собой определенными математическими соотношениями — уравне˝ния-

ми связи (условиями). Например, в каждом треугольнике сумм˝а углов равна 180°. Для измеренных значений эти условия из-за н˝а-

личия погрешностей в результатах измерений точно не выпо˝лня-

ются, возникают невязки. Несогласия в условиях приводят к˝ неоднозначности результатов вычислений элементов сети, по˝лученных по различным вариантам решения задачи, включающим раз˝-

ные измеренные величины.

Чтобы избежать неоднозначности результатов вычислений, выполняют уравнивание геодезической сети, в результате кот˝орого будут устранены невязки за все условия, присущие рассматр˝иваемой сети.

Уравниванием называют математическую обработку результатов

измерений или их функций, выполняемую при наличии избыточ˝-

ных измерений, в целях нахождения оптимальных в выбранном˝ смысле оценок искомых или измеренных величин и устранени˝я несогласованности между результатами измерений и их фун˝кциями. Вычислительная обработка триангуляции включает пред˝варительные и окончательные вычисления.

14.2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Предварительные вычисления выполняют для приведения из˝- меренных направлений к центрам пунктов и оценки точности˝ угловых измерений. Они включают: проверку полевых журналов ˝и

409

составление центрировочных листов; составление сводной˝ ведо-

мости измеренных величин, в которую включают элементы при˝- ведения направлений к центрам пунктов и средние значения˝ измеренных направлений на каждом пункте; составление схемы˝ сети с измеренными направлениями и углами; предварительн˝ое

решение треугольников, в результате которого получают пр˝иближенные длины сторон, необходимые для вычисления поправок˝ за

центрировку и редукцию; вычисление поправок за центриров˝ку и редукцию; приведение измеренных направлений к центрам пу˝нк-

тов; вычисление угловых невязок и проверку их допустимост˝и;

оценку точности угловых измерений по невязкам треугольн˝иков; вычисление свободных членов других условных уравнений и˝ проверку их допустимости.

Рассмотрим основные виды предварительных вычислений на˝

примере вычислительной обработки центральной системы.

После проверки полевых журналов и центрировочных листов˝

составляют сводную ведомость измеренных величин (табл. 1˝4.1).

14.1. Элементы приведений и средние значения измеренных напр˝авлений

Затем составляют схему сети с измеренными направлениями˝ и

углами (рис. 14.1). Используя приближенные значения углов и

Рис. 14.1. Схема центральной системы с измеренными направлен˝иями и углами

410