Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. - Геодезия

= + =

=+ =

15.6.РАСЧЕТ ПРЕДЕЛЬНОЙ ДЛИНЫ ТЕОДОЛИТНОГО ХОДА

Дальнейшее сгущение геодезической сети может быть выпол˝-

нено путем проложения теодолитных ходов между боковыми

пунктами à è b (рис. 15.3). Самым неблагоприятным случаем в отношении точности будет тот, когда ход прокладывают между ˝наиболее слабыми пунктами à è b, определенными с разных полигонометрических ходов.

Рассчитаем предельную длину теодолитного хода точности˝ 1 : 2000, прокладываемого между этими пунктами.

Известно, что предельная относительная невязка хода

461

после уравнивания в 2,5 раза меньше предельной невязки хода˝.

Следовательно,

Согласно Инструкции по топографической съемке в масштаб˝ах

1 : 5000, 1 : 2000, 1 : 1000 и 1 : 500 (М., Недра, 1982) предельные

погрешности положения пунктов уравненного планового об˝основания не должны превышать на открытой территории 0,2 мм в масштабе плана и 0,3 мм на местности, закрытой древесной и к˝ус-

тарниковой растительностью.

Применительно к съемке открытой местности в масштабе 1 : 5000 предельная погрешность пункта в наиболее слабом мес-

те — середине хода Ñ = 1 м. Следовательно, предельная невязка теодолитного хода

= = (15.11)

Тогда с учетом формул (15.3), (15.4) и (15.5) предельная длина

теодолитного хода

= = =

15.7. РАСЧЕТ НЕОБХОДИМОЙ ТОЧНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ БОКОВОГО ПУНКТА

Полагая, что между боковыми пунктами à è b (см. рис. 15.3) будет проложен теодолитный ход точности 1 : 2000, найдем по-

грешности положения этих пунктов, которые практически не˝ бу-

дут влиять на точность проложенного между ними хода. Принято считать влияние погрешностей исходных пунктов

(в данном случае à è b) на точность хода пренебрегаемо малым в

том случае, когда предельная относительная погрешность в˝заим-

ного положения исходных пунктов составит не более 1/3 преде˝ль-

ной относительной невязки хода.

Следовательно, предельная относительная погрешность вз˝аим-

ного положения исходных пунктов à è b должна быть не более

==

Абсолютная предельная погрешность взаимного положения

пунктов à è b в этом случае, например для хода Lab = 3 км, составит

462

Полагая, что пункты à è b определены независимо друг от друга

и с одинаковой точностью, предельная погрешность положен˝ия каждого из них относительно исходных будет равна

Средняя квадратическая погрешность положения каждого п˝ункта относительно исходных À è Â не должна превышать

Ìà = Ìb = 0,36 : 2 = 0,18 ì.

Если СКП положения пунктов запроектированной сети в са-

мом слабом месте не будет превышать этого значения, то они практически не повлияют на точность теодолитного хода дл˝иной

3 км, прокладываемого с относительной предельной погрешн˝остью 1 : 2000.

Контрольные вопросы и задания

1. Как оценивают точность результатов полевых наблюдений ˝и получают предварительные координаты? 2. Какова методика уравнивания по˝лигонометрических ходов и оценки точности уравненных элементов хода? 3. Как ра˝ссчитать точность положения пункта, определяемого полярным способом с пунк˝та полигонометри- ческого хода? 4. Как рассчитать предельную длину теодолитн˝ого хода? 5. Как рас- считать необходимую точность положения бокового пункта˝?

463

à ë à â à 16

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ТИПОВЫХ ФИГУР ТРИЛАТЕРАЦИИ

∙

16.1.ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Âтиповых фигурах трилатерации мало избыточно измеренны˝х величин по сравнению с числом необходимых величин, поэтом˝у

для уравнивания выгодно применять коррелатный способ. Чи˝сло независимых условий в фигурах, имеющих не менее двух исхо˝дных пунктов, подсчитывают по формуле

r = n – 2q,

ãäå r — число условий; ï — число измеренных сторон; q — число определяемых пунктов.

Если в фигуре имеется только один исходный пункт, то измеренная сторона, примыкающая к исходному пункту, и определ˝яемый пункт на другом конце этой стороны при подсчете числа˝ условий должны считаться исходными, хотя при уравнивании ис˝- ходная сторона получает поправку. Для получения координа˝т пун-

ктов должен быть известен дирекционный угол этой стороны˝. Так, в фигурах на рисунке 16.1 возникает по одному условию и

соответственно требуется решить одно нормальное уравне˝ние. При уравнивании параметрическим способом в фигурах à è á ïðè-

дется решать по четыре нормальных уравнения, а в фигуре â — äå-

ñÿòü.

Методика составления условных уравнений поправок во все˝х фигурах одна и та же. Рассмотрим ее на примере геодезического четырехугольника трилатерации.

16.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА ТРИЛАТЕРАЦИИ

Геодезический четырехугольник трилатерации выбран в ка˝че-

стве типовой фигуры потому, что в таком построении при мин˝и-

мальном числе измеренных сторон обеспечивается контрол˝ь ли-

нейных измерений путем вычисления свободного члена для о˝дной

из вершин четырехугольника.

464

Рис. 16.1. Типовые фигуры трилатерации:

1...6 — номера углов

Математическая обработка геодезического четырехугольн˝ика трилатерации включает: вывод формулы условного уравнения по-

правок; вывод формулы допустимого значения свободного чл˝ена

условного уравнения; уравнивание геодезического четыре˝хугольника трилатерации коррелатным способом; оценку точности˝ положения определяемых пунктов.

16.3. ВЫВОД ФОРМУЛЫ УСЛОВНОГО УРАВНЕНИЯ ПОПРАВОК ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА ТРИЛАТЕРАЦИИ

Применительно к углам при вершине I (рис. 16.2) обозна÷èì:

1, 2, 3 — углы, вычисленные по измеренным сторонам; — уравненные значения углов; (1), (2), (3) — поправки к вычисленным значениям углов.

Ñучетом этих обозначений запишем условное уравнение свя˝зи

+=

465

Следовательно, условное уравнение поправок геодезическ˝ого

четырехугольника трилатерации будет иметь вид

(1) + (2) – (3) + w = 0, (16.1)

ãäå w — свободный член условного уравнения поправок; w = 1 + 2 – 3.

Чтобы уравнять четырехугольник по методу наименьших ква˝д- ратов под условием υ = заменим в уравнениях (16.1) по-

правки в углы через поправки в стороны. Для установления н˝еобходимой связи между поправками в углы и поправками в стор˝оны

воспользуемся теоремой косинусов. Применительно к треуг˝ольнику, показанному на рисунке 16.3, запишем:

Продифференцировав правую и левую части равенства (16.2) и приведя подобные члены (c учетом рис. 16.4), получим

где — площадь треугольника.

Заменив дифференциалы поправками, получим

Откуда условное уравнение поправок геодезического четы˝рех-

угольника трилатерации

На основании уравнения (16.3) применительно к обозначениям углов и сторон на рисунке 16.2 поправки в углы, входящие в условное уравнение (16.1), будут равны

466

16.4. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДОПУСТИМОГО ЗНАЧЕНИЯ СВОБОДНОГО ЧЛЕНА УСЛОВНОГО УРАВНЕНИЯ

Получаем из формулы (16.1) свободный член условного уравнения поправок

В результате подстановки поправок из формулы (16.4) в формулу (16.5) имеем

Для перехода к средней квадратической погрешности свобо˝д-

ного члена рассмотрим условное уравнение связи в нелиней˝ном

âèäå

f(L1, L2, …, Ln) = 0,

ãäå L1, L2, …, Ln — точные значения измеренных величин. Этому равенству долж-

Подставив в условные уравнения связи вместо точных значе˝-

ний соответствующие результаты измерений l1, l2, …, lï, получим

f(l1, l2, …, lï) = w.

Приведем функцию f(l1, l2, …, lï) к линейному виду, применив разложение в ряд Тейлора, ограничившись членами перво˝й

степени относительно приращений аргументов.

Будем иметь

Òàê êàê f (L1, L2, …, Ln) = 0, òî

467

На основании изложенного, заменив в равенствах (16.6) по-

правки (Si) на погрешности D с противоположным знаком, будем иметь

Полагая, что стороны измерены с одинаковыми погрешностями òs, дисперсия свободного члена

После элементарных преобразований допустимое значение

свободного члена условного уравнения поправок

Для получения численных значений величин, входящих в фор-˝ мулу (16.7), сначала по формулам (16.1) с использованием численных значений сторон, приведенных на ри-

сунке 16.5, вычисляют внутренние

углы треугольников (табл. 16.1)

Рис. 16.4. К выводу формулы условного уравнения поправок четырехугольника трилатерации

468

16.1. Результаты вычисления углов по измеренным сторонам

Затем на основании таблицы 16.1 для наглядности составим

таблицу 16.2 с необходимыми данными для вычисления wäîï. При этом значения высот треугольников определяют по формула˝м:

По формуле (16.7) с использованием данных таблицы 16.2 вы- числяют допустимое значение свободного члена условного˝ уравнения поправок в виде

469

Величина 105 в знаменателе возникает вследствие того, что высоты треугольников hi выражены в километрах, а средняя квадра-

тическая погрешность ms — в сантиметрах.

16.5. УРАВНИВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА ТРИЛАТЕРАЦИИ КОРРЕЛАТНЫМ СПОСОБОМ

В соответствии с формулами (16.5) с учетом углов, сторон и высот треугольников, обозначенных на рисунке 16.4, поправки ˝в

углы будут равны

= ρ

= ρ

Подставив значения поправок из формулы (16.9) в равенство

(16.1), условное уравнение поправок запишем в виде

Сгруппировав члены с одинаковыми поправками в измеренные

стороны (Si) и расположив по возрастанию номеров поправок, ра-

венство (16.10) запишем

=— коэффициенты при поправках в измеренные стороны.

470