Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. - Геодезия

Поэтому нормальные уравнения коррелат для первой группы˝

условных уравнений (фигур и горизонта) получают в виде

…………………..

3kN + kã + wN = 0,

k1 + k2 + … + kN + Nkã + wã = 0 (kr = kã).

Далее умножают последнее уравнение на три, а затем вычита˝ют из полученного все предшествующие. В результате имеют

3Nkã – Nkã + 3wã – (w1 + w2 + … + wN) = 0.

Тогда

ãäå ′ — новый свободный член (невязка) за условие горизонта, вы˝численный по

Подставив в первые N уравнений (14.51) вместо kã выражение (14.54), получают

′ + =

откуда коррелата для первичных поправок, связанная с усло˝виями

фигур и горизонта,

Согласно уравнениям (14.11) и таблице 14.5 первичные поправки для 1-го треугольника будут

431

В общем случае с учетом формул (14.54) и (14.55) выражения

для первичных поправок будут

Как видно из формулы (14.57), выражения для первичных поправок состоят из двух частей, причем для углов одного и то˝го же

треугольника первые части одинаковые, а вторые — разные˝. Поэтому для удобства вычислений эти две части первичной поп˝равки

вычисляют отдельно. Первая часть

т. е. каждая поправка равна 1/3 невязки за условие фигуры с проти-

воположным знаком. Вторая часть

т. е. для центральных углов поправка равна исправленной н˝евязке за условие горизонта с противоположным знаком, деленной н˝а

число центральных углов, а для остальных углов — половине этой поправки со знаком невязки.

При этом новый свободный член за условие горизонта может быть получен по формуле (14.53) или по формуле

Таким образом, вторые части первичных поправок получают так. Исправляют центральные углы первой частью поправок. ˝Затем находят новый свободный член за условие горизонта по ˝формуле (14.60). Этот член с противоположным знаком распределяют˝ поровну на центральные углы [см. формулу (14.59)]. В остальные связующие углы треугольников вводят одинаковые поправки, рав-

432

ные половине поправки в центральный угол с противоположн˝ым

знаком. Отсюда следует, что введение второй части поправо˝к не нарушает ранее выполненных условий фигур.

Первая и вторая части поправки в каждый угол треугольника˝ в сумме составляют первичную поправку, т. е.

(ÀR)¢ = (AR)I + (AR)II;

(BR)¢ = (BR)I + (BR)II;

(CR)¢ = (CR)I + (CR)II

сокращенно

(iR)¢ = (iR)I + (iR)II,

ãäå iR — любой из углов треугольника R.

П р и м е р. Вычислить первичные поправки в углы центральной системы˝ (рис. 14.5, á) по невязкам треугольников (показаны в кружках), если своб˝одный член (невязка) за условие горизонта wã = –13².

Новое значение свободного члена за условие горизонта

Первые части поправок (за условия фигур) на рисунке 14.5, á показаны прямым шрифтом, а вторые (за условия горизонта) — курсивом.

Вычислив первичные поправки, находят первично исправлен˝- ные углы

По первично исправленным углам вычисляют новый свободны˝й

член полюсного условного уравнения в угловой мере

Вторичные поправки находят, решая полюсное условное урав˝- нение с новым свободным членом

433

При решении этого уравнения на вторичные поправки налага˝-

ется условие

(ÀR)² = –(BR)².

С учетом этого условия полюсное условное уравнение можно˝ записать в виде

Этому условному уравнению будет отвечать одно нормально˝е

уравнение коррелат вида

+ ¢ =

В данном случае

Откуда коррелата за полюсное условие

Вторичные поправки на основании уравнений (14.15) будут

Полные поправки в каждый угол треугольников получают как˝ сумму первичной и вторичной поправок, т. е.

(i) = (i)¢ + (i)².

Введя в измеренные значения углов полные поправки, получа˝-

ют уравненные значения углов. Для контроля вычислений в к˝аждом треугольнике подсчитывают сумму уравненных углов; она должна быть равна теоретической, т. е. 180°.

434

14.6. Вычисление вторичных поправок центральной системы

435

Все вычисления проводят в вычислительных журналах

(табл. 14.6). Данные в таблице взяты из ранее рассмотренной сети (см. рис. 14.1).

После вычислительной обработки составляют каталог и отч˝етную схему исполненной сети.

По уравненным углам проводят окончательное решение треугольников (табл. 14.7). Контролем правильности уравнения и в˝ы-

числения длин сторон служит сходимость вычисленного зна˝чения исходной стороны по углам последнего треугольника сети с˝ дан-

ным ее значением.

14.7. Окончательное решение треугольников центральной сист˝емы

Наметив ходовую линию, например OQP1P2P3P4QO, вычисля-

ют дирекционные углы ее сторон, приращения координат и ко˝ор-

динаты всех определяемых пунктов (табл. 14.8).

14.8. Вычисление координат определяемых пунктов

436

Распечатка результатов уравнивания центральной системы˝ (см.

рис. 14.1) параметрическим способом по программе «Сигма» да˝на в приложении 2.

Для вывода формулы предельной погрешности свободного члена полюсного условного уравнения разложим в ряд Тейлора выражение

ничиваясь членами с первыми степенями.

В результате разложения после преобразований получают в˝ы-

ражение, аналогичное формуле (14.61), в котором поправки (ÀR), (ÂR) заменены на погрешности с противоположным знаком, т. е.

Применяют формулу средней квадратической погрешности

Допустимое значение свободного члена полюсного условно˝го уравнения в угловой мере выражают формулой

ãäå òβ — средняя квадратическая погрешность измерения угла.

437

ников и полюсное условие.

Условие фигуры состоит в том, что сумма всех восьми углов

Заменяя в этом равенстве уравненные углы их выражениями

через измеренные углы и поправки к ним, после некоторых пр˝е- образований получают условное уравнение поправок фигуры

Выражая уравненные углы через измеренные и поправки к ним, после преобразований получают условные уравнения поправок сумм углов противоположных треугольников

{(A1) + (B1)} – {(A3) + (B3)} + w2 = 0;

438

ãäå w2, w3 — свободные члены (невязки) уравнений; w2 = {A1 + B1} – {A3 + B3}; w3 = {A2 + B2} – {A4 + B4}.

Полюсное условное уравнение поправок для геодезического четырехугольника, если за полюс принята точка пересечения его˝ диагоналей, имеет тот же вид, что и для центральной системы.

Приведем сводку всех условных уравнений поправок для гео˝де-

зического четырехугольника.

Условное уравнение поправок фигуры (четырехугольника)

Условное уравнение поправок сумм углов противоположных˝ треугольников

Полюсное условное уравнение поправок

=

ãäå wï = (Ï1/Ï2 – 1)ρ.

Формулы для предельных (допустимых) значений свободных

членов условных уравнений поправок фигур и полюсного усл˝ов-

ного уравнения поправок те же, что и для центральной систе˝мы.

Так же, как при уравнивании центральной системы, все услов˝-

ные уравнения поправок делят на две группы.

К первой группе относят условное уравнение фигуры (14.75) и

условные уравнения поправок сумм углов противоположных˝ тре-

угольников (14.76).

Из решения этой группы условных уравнений с применением аппарата коррелатного способа уравнивания находят перв˝ичные

поправки.

При этом решении, имея значения коэффициентов условных

уравнений (à, b, c), вычисляют коэффициенты нормальных урав-

нений коррелата

439

Нормальные уравнения коррелат (14.12) будут

Откуда значения коррелат:

k1 = –w1/8; k2 = –w2/4; k3 = –w3/4.

Далее в соответствии с формулами (14.11) находят первичные

поправки (без учета полюсного условного уравнения) в виде˝

Из приведенных формул видно, что первичные поправки со-

стоят из двух частей: первые части, одинаковые для всех угл˝ов, со-

ставляют 1/8 невязки за условие фигуры четырехугольника с п˝ро-

тивоположным знаком; вторые части, попарно равные между с˝о-

бой и отличающиеся только знаками, составляют1/4 невязок за˝

условия сумм углов в противоположных треугольниках.

Исправив углы первичными поправками, находят новый свободный член полюсного условного уравнения

После этого вычисляют вторичные поправки из решения условного уравнения

440