Теорія ймовірності - high_math

4.2.Авіакомпанія виконує протягом місяця 400 рейсів. Імовірність повного комерційного навантаження на кожному рейсі дорівнює 0,8. Знайдіть імовірності того, що протягом місяця з повним комерційним навантаженням буде виконано: а) не менш як 250 рейсів; б) більш як половину рейсів.

4.3.Велика партія виробів містить 30 % нестандартних. Знайдіть імовірності того, що серед п’яти навмання взятих із партії виробів буде: а) тільки один нестандартний; б) принаймніодин нестандартний.

4.4.Імовірність закриття аеропорту на одну добу через метеоумови в зимовий період дорівнює 0,25. Знайдіть імовірність того, що

вцей період аеропорт буде закритий: а) 20 діб; б) не менш як 20 діб.

4.5.Радіоапаратура складається із 1000 елементів, кожний з яких протягом доби може відказати з імовірністю 0,002 і не залежить від стану інших елементів. Знайдіть імовірність відказу протягом доби: а) тільки двох елементів; б) не менш як двох елементів.

4.6.За статистичними даними в середньому 1 % пасажирів відмовляється від рейсу. Знайдіть імовірність того, що з трьохсот пасажирів, які мають квитки на рейс, відмовляться від польоту: а) не більш як 5 пасажирів; б) не менш як 3 пасажири.

4.7.Телефонна станція обслуговує 2000 абонентів. Імовірність того, що будь-який абонент зателефонує на станцію впродовж певної години, дорівнює 0,001. Знайдіть імовірність того, що протягом години на станцію зателефонують: а) 5 абонентів; б) не менш як три абоненти.

4.8.Відділ технічного контролю приймає в середньому 90 % продукції заводу. Скільки потрібно виготовити виробів, щоб з імовірністю 0,95 сподіватись, що будеприйнято неменш як200 виробів?

4.9.За статистичними даними в середньому 5 % рейсів, виконуваних авіакомпанією, затримуються з технічних причин. Знайдіть імовірність того, що з 400 запланованих рейсів буде затримано з технічних причин: а) не більш як 3 % рейсів; б) не менш як 10 % рейсів.

4.10.Серед великої кількості виробів, що містяться в комплекті, 30 % нестандартних. Знайдіть імовірність того, що серед п’яти виробів навмання взятих із комплекту, буде: а) тільки 2 нестандартних; б) принаймні 2 нестандартних.

4.11.Велика партія електроламп містить 1 % браку. 1) Знайдіть імовірність того, що серед випадково взятих восьми ламп рівно дві виявляться бракованими. 2) Скільки ламп потрібно відібрати з партії, щоб імовірність наявності серед них принаймні однієї бракованої була не менше як 0,95?

4.12.За даними метеослужби аеропорту в листопаді через метеоумови відкладається 10 % рейсів. Знайдіть імовірності того, що із

61

400 рейсів, запланованих на листопад, буде відкладено: а) 50 рейсів; б) від 30 до 50 рейсів; в) не більш як 30 рейсів.

4.13.В осінньо-зимовий період регулярність польотів становить 90 %. Яку кількість рейсів потрібно запланувати на цей період, щоб

зімовірністю 0,96 було виконано не менш як 1500 рейсів.

4.14.Радіостанція аеропорту надсилає 6 повідомлень екіпажу літака. Імовірність прийому кожного з повідомлень дорівнює 0,6. Знайдіть: а) найбільш імовірну кількість повідомлень, прийнятих екіпажем, і відповідну ймовірність; б) імовірність того, що екіпаж прийме принаймні 4 повідомлення.

4.15.При транспортуванні скляних виробів пошкоджується в середньому 0,05 % від їхньої кількості. Знайдіть імовірності того, що при перевезенні 1000 виробів буде пошкоджено: а) рівно 3 вироби; б) не більше трьох виробів; в) принаймні один виріб.

4.16.Імовірність прольоту пункту обов’язкового повідомлення в зазначений час для кожного з чотирьох літаків дорівнює 0,8. Знайдіть імовірність того, що пункт обов’язкового повідомлення в зазначений час пролетить: а) принаймні 1 літак; б) 2 літаки; в) не менш як три літаки.

4.17.Авіакомпанія має 12 літаків. Імовірність готовності кожного літака до польоту становить 0,8. Знайдіть імовірність нормальної роботи авіакомпанії, якщо для цього необхідно, щоб були готовими до польоту: а) не менше як 8 літаків; б) від 5 до 10 літаків; в) не більш як 10 літаків.

4.18.За статистичними даними 30 % усіх затримок рейсів авіакомпанії відбувається з вини служби перевезень. Протягом тижня з різних причин було затримано 12 рейсів. Знайдіть найбільш імовірну кількість рейсів, затриманих із вини служби перевезень, і обчисліть відповідну ймовірність.

4.19.Авіаприлад складається з чотирьох модулів, що працюють незалежно один від одного. Імовірність безвідказної роботи кожного модуля впродовж певного часу дорівнює 0,87. Знайдіть імовірність того, що протягом цього часу безвідказно працюватимуть: а) усі модулі; б) принаймні один модуль; в) не менш як три модулі.

4.20.Імовірність правильного передавання сигналу по каналу зв’язку дорівнює 0,97. Скільки потрібно передати сигналів, щоб найбільш імовірна кількість правильно прийнятих сигналів дорівнювала 100?

4.21.Імовірність того, що рейс буде виконано із затримкою, дорівнює 0,04. Знайдіть імовірності того, що з 50 рейсів буде виконано

ззатримкою: а) рівно 4 рейси; б) не більш як 4 рейси; в) принаймні один рейс.

62

4.22. Імовірність того, що кожна з узятих п’яти електроламп буде працювати понад t год, дорівнює 0,1. 1) Знайдіть найбільш імовірну кількість ламп серед узятих, час роботоздатності яких перевищує t год. 2) Яку кількість ламп потрібно взяти, щоб з імовірністю, не меншою за 0,95, принаймні одна з них залишилась роботоздатною після t год роботи?

4.23.У зону аеродрому протягом години прибувають 6 літаків. Імовірність стандартного заходу на посадку (без втручання диспетчера) для кожного літака дорівнює 0,85. Знайдіть найбільш імовірну кількість літаків, для посадки яких не знадобиться втручання диспетчера, і обчисліть відповідну ймовірність.

4.24.Імовірність того, що кожний пасажир, який звернувся в авіакасу, замовить квиток до Сімферополя, дорівнює 0,1. Знайдіть імовірності того, що із 100 пасажирів, які звернулися в касу, замовлять білет до Сімферополя: а) менш як 15 осіб; б) від 5 до 12 осіб; в) понад 20 осіб.

4.25.Фабрика випускає 75 % продукції найвищого сорту. Знайдіть імовірність того, що з 300 виробів, виготовлених фабрикою, кількість виробів найвищого сорту буде: а) не менш як 250; б) від

220 до 235; в) не більш як 200.

4.26.За статистичними даними 90 % рейсів авіакомпанії виконується без затримки. 1) Знайдіть імовірність того, що з 169 рейсів без затримки буде виконано не менш як 150 рейсів. 2) Скільки потрібно запланувати рейсів, щоб з імовірністю 0,9 можна було очікувати виконання без затримки не менш як 150 рейсів?

4.27.Завод відправив на базу 500 виробів. Імовірність пошкодження кожного виробу при транспортуванні дорівнює 0,001. Знайдіть імовірності пошкодження при транспортуванні: а) рівно трьох виробів; б) менш як трьох виробів; в) принаймні одного виробу.

4.28.На контроль надійшла велика партія виробів. Відомо, що 5 % усіх виробів є нестандартними. 1) Знайдіть найбільш імовірну кількість нестандартних виробів серед шести перевірених і відповідну йому ймовірність. 2) Скільки потрібно взяти виробів, щоб імовірність наявності серед них принаймні одного нестандартного виробу була не меншою за 0,95?

4.29.За даними метеослужби аеропорту кількість нельотних днів

уІV кварталі становить 10 %. Знайдіть імовірність того, що в майбутньому році у ІV кварталі будуть нельотними: а) 10 днів; б) від 5 до 15 днів; в) не більш як 10 днів.

4.30.Імовірність того, що відвідувач універмагу зробить покупку, дорівнює 0,7. Знайдіть імовірність того, що зі 100 відвідувачів зроблять покупку: а) 60 осіб; б) не більш як 70 осіб; в) не менш як 60 осіб.

63

Загальна характеристика модуля. Вивчаються види ви-

падкових величин та форми законів їх розподілу, числові характеристики та основні розподіли дискретних та неперервних випадкових величин, основні теореми закону великих чисел, системи випадкових величин та характеристики тісноти залежності величин, які утворюють систему. Матеріал модуля застосовується при розв’язуванні значної кількості різноманітних імовірнісних задач і є основою для вивчення методів математичної статистики, що становить зміст модуля 3.

СТРУКТУРА МОДУЛЯ

Тема 1. Випадкові величини та закони їх розподілу. Основні числові характеристики.

Тема 2. Основні розподіли дискретних випадкових величин. Тема 3. Основні розподіли неперервних випадкових величин. За-

кон великих чисел.

Тема 4. Системи випадкових величин. Кореляційний момент та коефіцієнт кореляції.

Базисні поняття. 1. Дискретна і неперервна випадкова величина. 2. Ряд розподілу, функція розподілу, щільність розподілу. 3. Математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення. 4. Біноміальний, геометричний, гіпергеометричний розподіли дискретної величини. 5. Розподіл Пуассона. 6. Рівномірний, нормальний, показниковий розподіли неперервної випадкової величини. 7. Закон великих чисел. 8. Система випадкових величин. 9. Кореляційний момент, коефіцієнт кореляції.

Основні задачі. 1. Побудова ряду розподілу, функції розподілу дискретної випадкової величини. 2. Знаходження щільності розподілу неперервної випадкової величини. 3. Обчислення основних числових характеристик. 4. Оцінювання ймовірностей подій за нерівностями Чебишова та за теоремами Чебишова і Бернуллі. 5. Знаходження коефіцієнта кореляції складових системи випадкових величин.

64

ЩО МАЄ ЗНАТИ ТА ВМІТИ СТУДЕНТ

1.Знання на рівні понять, означень, формулювань

1.1.Означення та види випадкових величин.

1.2.Означення ряду розподілу, функції розподілу та щільності ймовірності випадкової величини.

1.3.Означення математичного сподівання, дисперсії, середнього квадратичного відхилення, моди і медіани.

1.4.Означення початкових тацентральних моментів k-го порядку.

1.5.Біноміальний, геометричний, гіпергеометричний розподіли та їхні числові характеристики.

1.6.Розподіл Пуассона, його числові характеристики.

1.7.Рівномірний, нормальний, показниковий розподіли, їхні числові характеристики.

1.8.Нерівності Чебишова.

1.9.Теореми Чебишова та Бернуллі.

1.10.Поняття системи випадкових величин.

1.11.Матриця розподілу системи дискретних випадкових величин.

1.12.Функція розподілу та щільність розподілу системи.

1.13.Умови незалежності випадкових складових системи.

1.14.Кореляційний момент та коефіцієнт кореляції складових системи.

2.Знання на рівні доведень та виведень

2.1.Властивості функції розподілу.

2.2.Властивості щільності ймовірностей.

2.3.Властивості математичного сподівання і дисперсії.

2.4.Імовірнісний зміст параметрів нормального розподілу.

2.4.Виведення формули ймовірності потрапляння нормально розподіленої випадкової величини в заданий інтервал та «правила трьох сигм».

2.5.Виведення нерівностей Чебишова.

2.6.Доведення теорем Чебишова та Бернуллі.

3.Уміння в розв’язуванні задач

3.1.Складання ряду розподілу дискретної випадкової величини.

3.2.Побудова функції розподілу.

3.3.Знаходження основних числових характеристик випадкових величин.

65

3.4.Обчислення ймовірностей потрапляння випадкової величини

взаданий інтервал для різних видів розподілу.

3.5.Оцінювання ймовірностей подій за нерівностями Чебишова.

3.6.Обчислення кореляційного момента та коефіцієнта кореляції складових системи випадкових величин.

Тема 1. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

ТА ЗАКОНИ ЇХ РОЗПОДІЛУ. ОСНОВНІ ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Дискретні і неперервні випадкові величини. Ряд розподілу, функція розподілу, щільність імовірності випадкової величини. Математичне сподівання, мода, медіана. Дисперсія, середнє квадратичне відхилення. Початкові та центральні моменти різних порядків.

Література: [1, глава 5, п.п. 5.1—5.3], [2, глави 3, 4], [4, глава 6, § 1—3, глави 7, 8], [7, теми 5, 6], [10, розділ IV, § 23—25, розділ V, § 28—30, 33].

Т.1 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ТА ТИПОВІ ПРИКЛАДИ

1.1. Означення та види випадкових величин

Випадковою називається величина, яка в результаті випробування набуває того чи іншого можливого значення, заздалегідь невідомого, яке змінюється від випробування до випробування і залежить від ряду випадкових обставин.

Приклади випадкових величин:

а) кількість електроламп, які виходять із ладу впродовж доби в системі освітлення і сигналізації аеропорту, є випадковою величиною, яка набуває можливих значень 0, 1, 2, ... і залежить від коливань напруги в електромережі, пори року, умов експлуатації, якості ламп та інших факторів;

б) рівень напруги в електромережі є випадковою величиною, яка набуває всіх можливих значень із деякого інтервалу й залежить від режиму роботи електростанції, кількості споживачів, системи стабілізації тощо.

66

У першому випадку випадкова величина називається дискретною і набуває окремих ізольованих можливих значень, кількість яких, як правило, скінченна. У другому — випадкова величина називається неперервною, її можливі значення суцільно заповнюють деякий інтервал, і кількість їх нескінченна.

Випадкові величини позначають великими латинськими літерами X , Y , Z, ... , а їхні можливі значення — відповідними малими літе-

рами з індексами. Наприклад, можливі значення випадкової величини X позначаються x1, x2 , ..., xn .

1.2. Ряд розподілу дискретної випадкової величини

Для характеристики випадкової величини не достатньо задати її можливі значення, необхідно також вказати ймовірності, з якими ця величина набуває того чи іншого можливого значення. Такою характеристикою є закон розподілу випадкової величини — відповідність

(таблиця, графік, функція) між можливими значеннями xi випадкової величини та їхніми ймовірностями pi .

Найбільш досконалою і водночас наочною формою закону розподілу є ряд розподілу, що являє собою таблицю, у першому рядку якої наведено всі можливі значення випадкової величини, а в другому — відповідні їм імовірності. Проте він застосовний лише для задання дискретної випадкової величини, оскільки для неперервної величини неможливо навести всі можливі значення.

Ряд розподілу записується у вигляді:

Приклад 2.1. Проводиться випробування надійності системи, яка складається з трьох приладів, що працюють незалежно один від одного. Надійність (імовірність безвідказної роботи) першого приладу дорівнює 0,9, другого — 0,8, третього — 0,7. Побудувати ряд розподілу випадкової величини X — кількості надійних приладів у системі.

67

Розв’язання. Випадкова величина X набуває можливих значень 0, 1, 2, 3. Позначимо відповідно через g1, g2 i g3 імовірності безвідказної роботи першого, другого і третього приладів. Тоді за умовою задачі g1 = 0,9; g2 = 0,8; g3 = 0,7 , а отже, імовірність виходу з ладу

цих приладів становить відповідно g1 = 0,1; g2 = 0,2; g3 = 0,3. За

теоремами додавання і множення ймовірностей обчислимо ймовірності, з якими величина X набуває можливих значень:

1.3. Функція розподілу випадкової величини та її властивості

Найбільш універсальною формою закону розподілу, застосовною для характеристики як дискретних, так і неперервних випадкових величин, є функція розподілу, яку називають також інтегральною функцією розподілу випадкової величини.

68

Функцією розподілу випадкової величини X називається функція F(x), яка для кожного значення x дорівнює ймовірності того, що

Для дискретної випадкової величини, заданої рядом розподілу,

xi < x

Графік функції розподілу подано на рис. 2.2, де на осі абсцис відкладено можливі значення xi випадкової величини, а на осі ординат —

нагромаджені ймовірності, сталі в проміжках між послідовними парами можливих значень.

Рис. 2.2

Отже, для дискретної випадкової величини графік функції розподілу F (x) є розривною східчастою лінією.

69

Для неперервної випадкової величини, можливі значення якої су-

цільно заповнюють деякий інтервал, наприклад (x1; xn ), довжина і висота східців прямують до нуля, а отже, графік функції F(x) на цьо-

му інтервалі практично перетворюється на неперервну плавну лінію. Функція розподілу F(x) неперервної випадкової величини зада-

ється, як правило, аналітичним виразом, наприклад:

Функція розподілу має такі загальні властивості:

1. Вона набуває значень з відрізка [0; 1], що випливає з її означення (формула (2.3)) як імовірності.

2. Функція розподілу є неспадною функцією свого аргументу,

тобто при x1 < x2 , F (x1 ) ≤ F (x2 ).

3. Імовірність того, що випадкова величина Х у результаті випробування набуде можливого значення з проміжку[α; β) , або, що те

саме, потрапить у результаті випробування в проміжок [α; β) , має такий вираз через функцію розподілу:

Із властивості 3 випливає такий важливий висновок: імовірність того, що випадкова величина X у результаті випробування набуде

одного конкретного можливого значення xi , обчислюється за формулою

оскількизаозначеннямнеперервноїфункціївточці xi F(xi + 0) = F(xi ).

Таким чином, немає сенсу розглядати ймовірність того, що неперервна випадкова величина набуде одного конкретного можливого значення, є сенс розглядати ймовірність її потрапляння в деякий інтервал, нехай навіть доволі малий.

4. Якщо випадкова величина Х набуває можливих значень з ін-

тервалу (− ∞; + ∞), то F(− ∞) = 0; F(+ ∞) = 1.

70