Теорія ймовірності - high_math

Формули (1.13), (1.14) пов’язують імовірності суми і добутку подій, тому при розв’язуванні багатьох задач теореми додавання і множення ймовірностей застосовуються одночасно.

Приклад 1.18. Авіакомпанія протягом доби виконує 2 рейси до Одеси. Імовірність затримки першого рейсу за метеоумовами Одеси дорівнює 0,1, другого — 0,15, причому затримка одного рейсу не залежить від іншого. Знайти ймовірність затримки принаймні одного рейсу.

Розв’язання. Позначимо події: А = {затримано принаймні один

Р(А)= Р(А1 + А2 )= Р(А1 )+ Р(А2 )− Р(А1 )Р(А2 )= 0,235.

2-й спосіб. Подія А полягає в появі однієї з несумісних подій

× Ð(À2 ) = 0,765 і за формулою (1.11) Ð( À) = 1− Ð(À) = 0,235.

Приклад 1.19. Із натуральних чисел 1, 2,…, 9 навмання відібрано одне число, а потім із решти чисел — друге. Яка ймовірність того, що обидва рази відібрано парні числа?

Розв’язання. Позначимо події В1 = {перший раз відібрано парне число}, В2 = {другий раз відібрано парне число}, В = {обидва рази відібрано парне число}. Тоді В = В1В2 , причому В1 і В2 — залежні, тому за формулою (1.17)

31

Приклад 1.20. Ділянка електричної схеми (рис. 1.8) містить 3 елементи, кожний із яких працює незалежно від інших. Надійність (імовірність безвідказної роботи впродовж

=Ð( À3 ) = 0,7. Подія А відбудеться, якщо не вийдуть із ладу елемент 1

іпринаймні один із елементів 2 або 3. Отже, А = А1 (А2 + А3 ), причому події А1 і А2 + А3 незалежні за умовою, а події Ai — сумісні. Тому за формулами (1.13) і (1.15) маємо:

Приклад 1.21. При підготовці до заліку перший студент вивчив 25 із 30 питань програми, другий — 20 і третій — 15. Для здачі заліку необхідно відповісти на 3 довільні питання програми. Знайти ймовірності подій:

L= {лише один студент здав залік};

M= {принаймні один студент здав залік}.

Розв’язання. Позначимо події: A = {перший студент здав залік};

Ai = {перший студент відповів на і-те питання (і = 1, 2, 3)}; B = {другий студент здав залік};

Bi = {другий студент відповів на і-те питання}; C = {третій студент здав залік};

Ci = {третій студент відповів на і-те питання}.

Тоді A = A1 A2 A3 , B = B1B2 B3 , C = C1C2C3 . Обчислимо ймовірність події A . Оскільки події A1 , A2 , A3 залежні, то за формулою (1.18)

маємо:

Р(А)= P(A1 ) P(A2 A1 ) P(A3 A1 A2 ) = 3025 2429 2823 = 0,57 .

32

Аналогічно обчислюються ймовірності подій B і С: P(B) = 0,28, Р(С)= 0,11. Згідно з формулою (1.11) дістаємо:

P(A) = 0,43 , P(B) = 0,72 , P(C) = 0,89.

Подія L виражається через події A, B,C і їм протилежні так:

L = ABC + ABC + ABC .

Оскільки всі доданки в правій частині цієї рівності — несумісні події, а множники в кожному доданку — незалежні в сукупності, то за формулами (1.9) і (1.16) маємо:

P(L) = P(A)P(B)P(C) + P( A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) = = 0,57 0,72 0,89 + 0,43 0,28 0,89 + 0,43 0,72 0,11 = 0,51.

Імовірність події M обчислимо за формулою (1.19):

P(M ) = 1 − P(A)P(B)P(C) = 1 − 0,43 0,72 0,89 = 0,72 .

Приклад 1.22. Лінія зв’язку впродовж часу t забезпечує зв’язок між об’єктами з надійністю (імовірність безвідказної роботи) 0,9. Для підвищення надійності встановлено дві резервні лінії з надійностями 0,85 і 0,8. Визначити надійність зв’язку між об’єктами за час t , якщо всі лінії працюють незалежно одна від одної.

Розв’язання. 1-й спосіб. Позначимо події A = {зв’язок між об’єктами надійний}; A1 = {першалінія надійна}; A2 = {друга лінія надійна}; A3 ={третя лінія надійна}.

За умовою задачі P(A1 ) = 0,9 ; P(A2 ) = 0,85 ; P(A3 ) = 0,8 , а за означенням суми подій A = A1 + A2 + A3 .

Оскільки події A1 , A2 , A3 сумісні і незалежні, то за формулами

(1.14) і (1.16) маємо:

P(A) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) − P(A1 )P(A2 ) −

−P(A1 )P(A3 ) − P(A2 )P(A3 ) + P(A1 )P(A2 )P(A3 ) = 0,997.

2-й спосіб. Перейдемо до протилежних подій A = {зв’язок між об’єктами ненадійний}; A1 = {відмовила перша лінія}; A2 = {від-

мовила друга лінія}; A3 = {відмовила третя лінія}. Тоді A = A1 A2 A3 ,

P(A1 ) = 0,1 ; P(A2 ) = 0,15 ; P(A3 ) = 0,2.

33

Оскільки події A1 , A2 , A3 незалежні, то за формулою (1.16) P(A) = = P( A1 )P(A2 )P( A3 ) = 0,003 , а P(A) = 1− P(A) = 0,997.

Т.2 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ ТА САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1.Із множини натуральних двоцифрових чисел, записаних на окремих картках, навмання по одному відбирається 4 числа. Яка ймовірність того, що з відібраних чисел: а) друге і третє діляться на 5; б) тільки четверте число ділиться на 5?

2.Пошук літака проводиться незалежно двома радіолокаційними станціями. Імовірність виявлення літака першою станцією дорівнює 0,7. Знайдіть цю ймовірність для другої станції, якщо ймовірність виявлення літака тільки однією станцією дорівнює 0,38.

3.Диспетчер керує підходом трьох літаків, що заходять на посадку з трьох різних коридорів. За метеоумов, що склались, імовірність посадки літака без відходу на друге коло з першого коридору дорівнює 0,98, з другого — 0,95, з третього — 0,9. Обчисліть імовірності того, що: а) тільки один літак відійде на друге коло; б) принаймні один літак відійде на друге коло.

4.На одній полиці містяться 5 підручників з математики, 3 з інформатики і 2 з фізики, на другій — відповідно 6, 5 і 4. Навмання з кожної полиці взято по одному підручнику. Яка ймовірність того, що обидва підручники: а) з математики; б) з однієї і тієї самої навчальної дисципліни?

5.У лабораторії є 10 приладів, серед яких 40% нових. Для виконання лабораторної роботи студент тричі навмання взяв по 2 прилади. Яка ймовірність того, що невикористаними залишились нові прилади?

6.Партію з 18 виробів, серед яких 6 нестандартних, навмання розбито на 3 рівні частини. Знайдіть імовірності того, що: а) в першу частину потраплять 3 нестандартні вироби, у другу — 2, у третю — 1; б) у кожній частині буде однакова кількість нестандартних виробів.

7.Для підняття штанги важкоатлету дається 3 спроби. Імовірність подолання ваги з першої спроби дорівнює 0,9, з другої — 0,95,

зтретьої — 0,8. Знайдіть імовірність успішного подолання ваги.

8.Ділянку електричної схеми наведено на рис.1.9. Знайдіть імовірність того, що ділянка проводитиме струм, якщо ймовірність від-

казу елемента а дорівнює 0,1, кожного з елементів bi (i = 1, 2) – 0,15,

34

10. За статистичними даними 4% виконуваних авіакомпанією рейсів затримується з технічних причин. Яка ймовірність того, що з п’яти запланованих на наступний день рейсів усі буде виконано своєчасно?

Відповіді

1.а) 0,0255; б) 0,105. 2. 0,8. 3. а) 0,1543; б) 0,1621. 4. а) 0,2; б) 53/150.

5.1/210. 6. а) 0,097; б) 0,182. 7. 0,999. 8. 0,704. 9. 5 вимірювань. 10. 0,815.

Т.2 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

2.1.Виразіть складні події через задані прості.

2.1.1.Судно має 1 кермовий пристрій, 4 котли і дві турбіни. Події: A = {справність кермового пристрою}, Bk = {справність k-го кот-

ла, k = 1, 2, 3, 4}, Ci = {справність i-ї турбіни, i =1, 2 }, D = {судно

кероване}. Виразіть події D і D через A, Bk , Ci , якщо для керова-

ності судна необхідна справність кермового пристрою, принаймні одного котла і принаймні однієї турбіни.

2.1.2. Перший контролер оцінює якість трьох виробів, другий — двох. Події Ai = { перший контролер прийняв i-й виріб, i = 1; 2; 3 },

Bj = {другий контролер прийняв j -й виріб, j = 1; 2} , C = {прийнято тільки три вироби}. Виразіть подію C через Ai , Bj .

2.1.3. Автоматична система складається з трьох блоків типу А, двох блоків типу В і чотирьох блоків типу С. Події Ai = {працює i -й

блок типу А; i =1; 2; 3} , B j = {працює j -й блок типу В; j =1;2}, Ck = = {працює k -й блок типу С; k = 1; 2; 3; 4} , D = {працює система}.

35

Виразіть події D і D через Ai , B j , Ck , якщо для роботи системи

необхідно, щоб працював принаймні один блок кожного типу. 2.1.4. Кожному з двох студентів на заліку поставлено по два пи-

тання. Події: Ai = {перший студент правильно відповів на i-те питання, i = 1; 2 }, B j = {другий студент правильно відповів на j-те питання, j = 1; 2 }, C = {здобуто лише дві правильні відповіді}. Виразіть подію C через Ai , Bj .

2.1.5. Кожний із двох пілотів виконував на занятті по три вправи на тренажері. Події: Ai = {перший пілот успішно виконав i -ту впра-

j = 1; 2; 3} , C = {перший пілот успішно виконав дві вправи, другий — одну}. Виразіть подіюC через Ai , Bj .

2.1.6. Судно має 1 кермовий пристрій, 4 котли і 4 турбіни. Події

кероване}. Виразіть подію D через A, Bj , Ck , якщо для керованості

судна необхідна справність кермового пристрою, принаймні двох котлів і принаймні двох турбін.

2.1.7. Автоматична система складається з трьох блоків типу А, двох блоків типу В і чотирьох блоків типу С. Події Ai = {працює i -й

блок типу А; i = 1; 2; 3} , B j = {працює j -й блок типу В; j = 1; 2} , Ck = {працює k-й блок типу С; k = 1; 2; 3; 4} , D = {працює система}. Виразіть подію D через Ai , Bj , Ck , якщо для роботи системи необ-

хідно, щоб працювали принаймні два блоки типу А, принаймні один блок типу В і всі блоки типу С.

2.1.8. Кожному із двох студентів на заліку задано по два питання. Події Ai = {перший студент правильно відповів на і-те питання, i = 1; 2},

B j = {другий студент правильно відповів на j-те питання, j = 1; 2} , C =

={данолише три правильні відповіді}. Виразіть подію C через Ai , Bj .

2.1.9.Кожний із двох пілотів виконував на занятті по три вправи на тренажері. Події Ai = {перший пілот успішно виконав і-ту впра-

j = 1; 2; 3} , C = {перший пілот успішно виконав одну вправу, другий — принаймні одну}. Виразіть подіюC через Ai , Bj .

36

2.1.10. Автоматична система складається з трьох блоків типу А, двох блоків типу В і чотирьох блоків типу С. Події Ai = {працює і-й

блок типу А; i = 1; 2; 3}, B j = { працює j -й блок типу В; j = 1; 2} , Ck = {працює k-й блок типу С; k = 1; 2; 3; 4} , D = {працює система}. Виразіть подію D через Ai , B j , Ck , якщо для роботи системи необхідно, щоб працювали всі блоки типу А, принаймні один блок типу

Ві принаймні два блоки типу С.

2.1.11.Кожному із двох студентів на заліку задано по два питан-

Виразіть подію C через Ai , Bj .

2.1.12. Судно має один кермовий пристрій, 4 котли і 4 турбіни. Події: А = {справність кермового пристрою}, B j = {справність j-го

котла, j = 1, 2, 3, 4}, Сk = {справність k-ї турбіни, k = 1, 2, 3, 4}, D = {судно кероване}. Виразіть подію D через A, B j , Ck , якщо для

керованості судна необхідна справність кермового пристрою, принаймні одного котла і двох турбін.

2.1.13. Кожний із двох пілотів виконував на занятті по три вправи на тренажері. Події Ai = {перший пілот успішно виконав і-ту

вправу, i = 1; 2; 3} , B j = {другий пілот успішно виконав j-ту вправу, j = 1; 2; 3} , C = {обома пілотами разом успішно виконано 5 вправ}. Виразіть подію C через Ai , Bj .

2.1.14. Кожному із двох студентів на заліку задано по два питання. Події Ai = {перший студент правильно відповів на i-те питання, i =1; 2},

Bj = {другий студент правильно відповів на j-те питання, j =1; 2}, C = ={данопринаймнідвіправильнівідповіді}. ВиразітьподіюC через Ai, Bj.

2.1.15. Перший контролер оцінює якість трьох виробів, другий — двох. Події Ai = { перший контролер прийняв i -й виріб, i = 1; 2; 3} ,

B j = { другий контролер прийняв j -й виріб, j = 1; 2}, C = { прийнято тільки чотири вироби}. Виразіть подію C через Ai , Bj .

2.1.16. Автоматична система складається з трьох блоків типу А, двох блоків типу В і чотирьох блоків типу С. Події Ai = { працює i-й

37

блок типу А; i = 1; 2; 3}, B j = { працює j -й блок типу В; j = 1; 2} , Ck = {працює k-й блок типу С; k = 1; 2; 3; 4} , D = { працює система}. Виразіть подіюD через Ai , B j , Ck , якщо для роботи системи необ-

хідно, щоб принаймні працювали два блоки кожного типу.

2.1.17. Судно має один кермовий пристрій, 4 котли і 4 турбіни.

D = {судно кероване}. Виразіть подіюD через A, B j , Ck , якщо для

керованості судна необхідна справність кермового пристрою, трьох котлів і всіх турбін.

2.1.18. Перший контролер оцінює якість трьох виробів, другий — двох. Події Ai = { перший контролер прийняв і-й виріб, i = 1; 2; 3 },

B j = { другий контролер прийняв j -й виріб, j = 1; 2} , C = { перший

контролер прийняв тільки 2 вироби, другий — тільки 1}. Виразіть подію C через Ai , Bj .

2.1.19. Кожному із двох студентів на заліку задано по два питання. Події Ai ={перший студент правильно відповів на i-те питання, i =1; 2},

B j = { другий студент правильно відповів на j-те питання, j = 1; 2} , C = { дано принаймні три правильні відповіді}. Виразіть подію C че-

рез Ai , Bj .

2.1.20. Автоматична система складається з трьох блоків типу А, двох блоків типу В і чотирьох блоків типу С. Події Ai = { працює i-й блок ти-

пу А; i = 1; 2; 3}, B j = { працює j-й блок типу В; j = 1; 2} , Ck = {працює k-й блок типу С; k = 1; 2; 3; 4} , D = { працює система}. Виразіть подіюD через Ai , B j , Ck , якщо для роботи системи необхідно, щоб

принаймніпрацювалидваблокитипуА, один— типуВі3 — типуС. 2.1.21. Судно має один кермовий пристрій, 4 котли і 4 турбіни.

Події А = {справність кермового пристрою}, B j = {справність j-го

керованості судна необхідна справність кермового пристрою, принаймні трьох котлів і принаймні трьох турбін.

2.1.22. Кожний із двох пілотів виконував на занятті по три вправи на тренажері. Події Ai = { перший пілот успішно виконав і-ту

38

вправу, i = 1; 2; 3} , B j = { другий пілот успішно виконав j-ту вправу, j =1; 2; 3}, C ={кожний пілот успішно виконав принаймні дві вправи}. Виразіть подіюC через Ai , Bj .

2.1.23. Перший контролер оцінює якість трьох виробів, другий —

через Ai , Bj .

2.1.24. Автоматична система складається з трьох блоків типу А, двох блоків типу В і чотирьох блоків типу С. Події Ai = {працює і-й

блок типу А; i = 1; 2; 3}, B j = { працює j-й блок типу В; j = 1; 2} , Ck = {працює k -й блок типу С; k = 1; 2; 3; 4} , D = { працює система}. Виразіть подію D через Ai , Bj , Ck , якщо для роботи системи необхідно, щоб працювали принаймні один блок типу А, усі блоки типу

Ві принаймні 3 блоки типу С.

2.1.25.Судно має один кермовий пристрій, 4 котли і 4 турбіни.

Події А = {справність кермового пристрою}, Bj = {справність j-го котла, j = 1, 2, 3, 4}, Сk = {справність k-ї турбіни, k = 1, 2, 3, 4}, D = {судно кероване}. Виразіть подію D через A, B j , Ck , якщо для

керованості судна необхідна справність кермового пристрою, двох котлів і принаймні трьох турбін.

2.1.26. Кожному із двох студентів на заліку задано по два питання. Події Ai = {перший студент правильно відповів на і-те питання,

i = 1; 2}, B j = { другий студент правильно відповів на j-те питання, j = 1; 2} , C = { дано лише одну правильну відповідь}. Виразіть по-

дію C через Ai , Bj .

2.1.27. Кожний із двох пілотів виконував на занятті по три вправи на тренажері. Події Ai = {перший пілот успішно виконав i-ту

вправу, i = 1; 2; 3}, B j = { другий пілот успішно виконав j-ту вправу, j = 1; 2; 3}, C = { перший пілот успішно виконав 3 вправи, другий — принаймні 2}. Виразіть подію C через Ai , Bj .

2.1.28. Перший контролер оцінює якість трьох виробів, другий — двох. Події Ai = { перший контролер прийняв i -й виріб, i = 1; 2; 3},

39

B j = { другий контролер прийняв j -й виріб, j = 1; 2}, C = { перший

контролер прийняв усі вироби, другий — принаймні один}. Виразіть подію C через Ai , Bj .

2.1.29. Кожний із двох пілотів виконував на занятті по три вправи на тренажері. Події Ai = { перший пілот успішно виконав і-ту

вправу, i = 1; 2; 3}, B j = { другий пілот успішно виконав j-ту вправу, j = 1; 2; 3}, C = { перший пілот успішно виконав принаймні одну вправу, другий — усі три}. Виразіть подію C через Ai , Bj .

2.1.30. Перший контролер оцінює якість трьох виробів, другий — двох. Події Ai = { перший контролер прийняв і-й виріб, i = 1; 2; 3},

B j = { другий контролер прийняв j-й виріб, j = 1; 2}, C = { перший

контролер прийняв принаймні 2 вироби, другий — прийняв обидва вироби}. Виразіть подію C через Ai , Bj .

2.2. Знайдіть імовірності подій, застосовуючи теореми додавання та множення ймовірностей.

2.2.1.Радіостанція аеропорту надсилає 3 повідомлення для екіпажу літака. Імовірність прийому екіпажем першого повідомлення дорівнює 0,6, другого — 0,65, третього — 0,7. Знайдіть імовірність того, що екіпажем прийнято: а) тільки одне повідомлення; б) принаймні одне повідомлення.

2.2.2.Аеропорт протягом доби виконує 3 рейси до міста А. Імовірність затримки першого рейсу через метеоумови дорівнює 0,05, другого — 0,1, третього — 0,15. Знайдіть імовірність того, що: а) тільки один рейс буде виконано із затримкою; б) усі рейси буде виконано вчасно.

2.2.3.Група з 15 студентів, серед яких 6 відмінників, випадковим способом розбивається на 3 підгрупи, по 5 осіб у кожній. Знайдіть імовірність того, що в кожній підгрупі буде по 2 відмінники.

2.2.4.Надійність (імовірність безвідказної роботи за час t ) лінії

зв’язку між об’єктами дорівнює 0,75. Для підвищення якості зв’язку встановлено резервну лінію з надійністю 0,65. Визначте надійність зв’язку між об’єктами з резервною лінією.

2.2.5. Партія виробів, серед яких 9 першого сорту, 6 — другого і 3 — третього сорту випадковим способом розбивається на 3 рівні частини. Знайдіть імовірність того, що вироби першого, другого і третього сортів поділяться при цьому порівну.

40