Теорія ймовірності - high_math

χ2 = 6,0045 + 0,3584 + 0,5383 + 0,1578 + 0,2368 = 7,2958.

Оскільки кількість ступенів свободи k = r − l − 1, де r = 5, l = 1 (параметр a ), то k = 3. За таблицею розподілу χ2 при k = 3 і α = 0,05 знаходимо χα2 = 7,8 (дод. 3). Гіпотеза про те, що кількість робітників, які перевиконували план, розподілена за законом Пуассона , може бути прийнятою, оскільки χ2 < χα2 .

Приклад 3.10. За даними вибірки прикладу 3.1 перевірити на рівні значущості α = 0,01 гіпотезу про нормальний розподіл добової

виручки авіакомпанії.

Розв’язання. Застосуємо інтервальний статистичний розподіл вибірки (табл. 3.3). Оскільки в четвертому і шостому інтервалах ni < 5, згрупуємо попарно 4 праві інтервали:

χ2 = 1,946 + 0,917 + 1,285 + 0,785 = 4,933.

За таблицею розподілу χ2 при k = r − l − 1 = 1 і α = 0,01 знаходимо χα2 = 6,6 (дод. 3). Оскільки χ2 < χα2 , то дані вибірки не суперечать гіпотезі про нормальний розподіл добової виручки авіакомпанії.

Зауваження. Кількість інтервалів в інтервальному статистичному розподілі після об’єднання інтервалів з малими частотами не повинна бути меншою від чотирьох, інакше кількість

ступенів свободи буде меншою від 1. Отже, знайти значення χα2 за таблицеюнеможливо.

Приклад 3.11. При різних метеоумовах в 200 рейсах вимірювалась максимальна висота польоту літака з точністю до 1 м. У табл. 3.8

Перевірити за допомогою критерію χ2 на рівні значущості α = 0,1

гіпотезу про рівномірний розподіл відхилень максимальної висоти польоту літака від розрахункової висоти.

Розв’язання. Імовірність потрапляння випадкової величини, що має рівномірний розподіл на інтервалі (a; b), у проміжок (α, β) обчис-

люється за формулою

P{α < X < β} = βb −− αa .

Величина кожного проміжку i = βi − αi = 10. Величина всього інтервалу b − a = 60 – (– 40) = 100.

212

Імовірність потрапляння ознаки X у кожний проміжок i одна-

кова і дорівнює:

pi = 10010 = 0,1.

Подальші обчислення подаємо у вигляді табл. 3.9.

про рівномірний розподіл відхилень максимальної висоти польоту літака від розрахункової висоти може бути прийнята.

Приклад 3.12. Вибіркові випробування 200 елементів на час безвідказної роботи дали такі результати:

Перевірити на рівні значущості α = 0,05 гіпотезу про показниковий розподіл часу безвідказної роботи елементів.

213

Розв’язання. Імовірність потрапляння випадкової величини, що має показниковий розподіл, в інтервал i обчислюється за формулою:

P{ xi < X < xi+1} = e− λxi − e− λxi+1 ,

де λ — параметр показникового розподілу — величина, обернена до математичного сподівання.

Тому

xB = 2001 (2,5 133 + 7,5 45 + 12,5 15 + 17,5 4 + 22,5 2 + 27,5) = 5

і

λ = 1 = 1 = 0,2. xB 5

Оскільки в останніх трьох інтервалах частоти менші за 5, то об’єднуємо ці інтервали в один [15; 30] із частотою 7. Подальші обчислення подаємо у вигляді табл. 3.10.

Таблиця 3.10

Оскільки χ2 < χα2 , то гіпотеза про показниковий розподіл часу без-

відказної роботи елементів стверджується при заданому рівні значущості.

214

Т.2 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1. Вимірювання відхилень розрахункового часу польоту літака від фактичного дали такі результати, хв:

Знайти точкові незміщені оцінки середнього значення і середнього квадратичного відхилення відхилень розрахункового часу польоту літака від фактичного.

2. У ВТК (відділ технічного контролю) було виміряно 400 валиків із партії, які виготовляє завод. Результати вимірювань, мм:

Знайти точкові незміщені оцінки середнього значення, виправленої дисперсії та середнього квадратичного відхиленнярозмірів валиків.

3.Побудувати інтервальний статистичний розподіл задачі 1 і знайти точкові незміщені оцінки середнього значення, виправленої дисперсії та середнього квадратичного відхилення випадкової величини, описаної в цій задачі.

4.Знайти довірчі інтервали та точність відповідних інтервальних оцінок для невідомого математичного сподівання нормально розпо-

діленої випадкової величини X , якщо σ2 = D(X ) = 25, обсяг вибірки n = 36 і xB = 7. Довірчі інтервали та відповідні їм точності побудувати для надійності γ = 0,95; γ = 0,99; γ = 0,999.

5. Залишок X пального в баках літака після кожного з 15 рейсів за заданим маршрутом мав такі значення, кг:

Побудувати довірчий інтервал з надійністю γ = 0,999 для математичного сподівання залишку пального в баках літака після рейсу,

215

вважаючи, що залишок пального — нормально розподілена випадкова величина.

6. Маємо вибірку обсягом n = 15 для нормально розподіленої випадкової величини:

Знайти вибіркове середнє і виправлену дисперсію. Вказати точність наближення математичного сподівання сукупності вибірковим

середнім xB з надійністю γ = 0,96, застосувавши розподіл Стьюдента.

Зтією самою надійністю знайти довірчий інтервал для дисперсії.

7.Скільки вимірювань нормально розподіленої фізичної величини потрібно виконати, щоб точність інтервальної оцінки математичного

сподівання при надійності не менш як 0,99 стала такою, що дорівнює 0,8. Середня квадратична похибка вимірювального приладу σ = 0,7.

8.Якого значення має набувати надійність оцінки γ , щоб за об-

сягу вибірки n =100 похибка її не перевищувала 0,01 при σ = 5.

9. За даними 16 незалежних вимірювань з однаковою точністю деякої фізичної величини знайдено вибіркове середнє вимірювань

xB = 42,8 та виправлена дисперсія s2 = 64. Оцінити істинне значення вимірюваної величини з надійністю γ = 0,999.

10. Побудувати довірчий інтервал із надійністю γ = 0,90 для середнього квадратичного відхилення випадкової величини, описаної

взадачі 5.

11.Задано відхилення діаметрів 600 шестерень від номінального розміру, мм:

Узявши 10 %-вий рівень значущості, перевірити гіпотезу, що вибірку знайдено для нормально розподіленої випадкової величини.

12. Протягом місяця реєструвалась кількість пасажирів, які проходили через дану станцію за 10 хв до закриття метрополітену:

216

За допомогою критерію Пірсона перевірити гіпотезу про узгодження розподілу знайдених даних із законом розподілу Пуассона. Рівень значущості α узяти такий, що дорівнює 0,1.

13. Використовуючи критерій Пірсона, на рівні значущості α = 0,05 перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності X з емпіричним розподілом вибірки обсягом n = 200:

14. Випробування 1000 елементів на час безвідказної роботи дали такі результати:

На рівні значущості α = 0,01 за допомогою критерію Пірсона перевірити гіпотезу про показниковий розподіл кількості елементів, що відказали.

15. Дано вибірку неперервно розподіленої випадкової величини X :

Перевірити за допомогою критерію χ2 при рівні значущості α = 0,1

гіпотезу про нормальний розподіл заданої випадкової величини. 16. Серед 707 перших десяткових знаків числа π = 3,14 ... (число

Шенкса) цифри 0, 1, 2, …, 9 з’являються ni раз. Перевірити за допомогою критерію χ2 гіпотезу про рівномірний розподіл цих цифр у зображенні числа π на рівні значущості α = 0,1; ni = 71; 83; 72; 60; 71; 67; 69; 68; 64; 82.

217

Відповіді

1. xB = 0,2; σB = 1,2.

2.

5. (322,0; 347,8). 6. xB = – 0,6; s2 =2,18. Точність наближення визнача-

(дод. 4) при γ = 0,96 і n −1 = 14 знаходимо tγ = 2,145. Тоді δ = 0,82. За формулами (3.9) F(χ12 (γ)) = 0,02; F(χ22 (γ)) = 0,98. За таблицею χ2 — розподілу

для нормально розподіленої випадкової величини, приймається на заданому рівні значущості. 12. χ2 = 1; k = 6; χα2 = 10,6. Оскільки χ2 < χα2 , то на заданому рівні значущості гіпотеза про узгодження розподілу знайдених даних із законом Пуассона може бути прийнята. 13. χ2 = 7,71; k = 8; χα2 = 15,5.

Гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності узгоджується з емпіричним розподілом вибірки на заданому рівні значущості. 14. k = 5;

xB = 20; λ = 0, 05; χ2 = 15,88; χα2 = 15. Гіпотеза про показниковий розподіл кількості елементів, що відказали, відкидається на заданому рівні значущості. 15. χ2 = 2,1316; k = 6; χα2 = 10, 6. Гіпотеза про нормальний розподіл на зада-

номурівні значущостіприймається. 16. p = 0,1; n = 707; np = 70,7; χ2 = 6,5644;

k = 9; χα2 = 14,7. Гіпотезу про рівномірний розподіл цифр 0, 1, 2, …, 9 у зображеннічисла π назаданомурівнізначущостіможнаприйняти.

Т.2 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

За вибірковими даними випадкової величини X індивідуальних тестових завдань теми 1:

1)знайдіть точкові незміщені оцінки середнього значення та середнього квадратичного відхилення;

2)припускаючи нормальний розподіл випадкової величини,

знайдіть з надійністю γ довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення при відомому σ;