Теорія ймовірності - high_math

101

102

Тема 2. ОСНОВНІ РОЗПОДІЛИ ДИСКРЕТНИХ

ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Імовірнісна твірна функція. Біноміальний розподіл дискретної випадкової величини. Розподіл Пуассона. Геометричний розподіл. Гіпергеометричний розподіл. Числові характеристики дискретних випадкових величин, розподілених за основними законами.

Література: [1, глава5, п. 5.9], [2, глава5], [4, глава6, § 4—5], [7, тема 9].

Т.2 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ТА ТИПОВІ ПРИКЛАДИ

2.1. Імовірнісна твірна функція та її застосування для знаходження числових характеристик дискретних розподілів

Нехай дискретна випадкова величина X набуває можливих зна-

де z — довільний параметр (0 < z < 1) .

Якщо випадкова величина має скінченну множину можливих значень n, то твірна функція набирає вигляду

n

ϕ(z) = ∑ pk zk .

k =0

Через значення похідних твірної функції при z = 1 виражаються основні числові характеристики дискретної випадкової величини з розглядуваним розподілом.

Зокрема, перша похідна твірної функції

∞

ϕ′(z) = ∑ kpk zk −1

k =0

103

при z = 1 дорівнює математичному сподіванню величини X :

∞

ϕ′(1) = ∑ kpk = M (X ) = ν1 (X ). (2.30)

k =0

Друга похідна твірної функції

∞

ϕ′′(z) = ∑ k(k − 1) pk zk −2

k =0

при z = 1 виражається через початкові моменти першого і другого порядків:

Шляхом нескладних перетворень у формулі (2.22) через значення похідних твірної функції при z = 1 виражається дисперсія випадкової величини:

D(X ) = ν2 (X ) − ν12 (X ) = ν2 (X ) − ν1 (X ) + ν1 (X ) − ν12 ( X ) = (2.31) = ϕ′′(1) + ϕ′(1) − [ϕ′(1)]2 .

Формули (2.30) і (2.31) застосовуються для знаходження основних числових характеристик дискретних випадкових величин з найбільш поширеними законами розподілу.

2.2. Розподіли цілочисельної дискретної випадкової величини

2.2.1. Біноміальний розподіл

Біноміальний закон розподілу виникає у схемі Бернуллі, коли проводиться n незалежних випробувань, у кожному з яких випад-

104

тобто величина X має ряд розподілу

Друга похідна твірної функції ϕ′′(z) = n(n − 1)(q + pz)n−2 p2 при z = 1 набуває значення

ϕ′′(1) = n(n − 1)(q + p)n− 2 p2 = n(n − 1) p2 ,

тому за формулою (2.31) маємо дисперсію

і, відповідно, середнє квадратичне відхилення

σ(X ) = npq.

105

Приклад 2.14. За метеорологічних умов, що склалися в аеропорту, імовірність своєчасного відправлення кожного рейсу дорівнює 0,6. Випадкова величина X — кількість своєчасно відправлених рейсів з трьох передбачених розкладом. Скласти ряд розподілу і

знайти M (X ) і σ ( X ) цієї випадкової величини.

Розв’язання. Випадкова величина X набуває можливих значень 0,1, 2, 3 , а відповідні ймовірності обчислюються за формулою Бер-

нуллі при n = 3; p = 0,6; q = 0,4 :

p0 = P3 (0) = 0,43 = 0,064;

p1 = P3 (1) = C31 0,6 0,42 = 0,288; p2 = P3 (2) = C31 0,62 0,4 = 0,432; p3 = P3 (3) = 0,63 = 0,216.

Отже, випадкова величина має ряд розподілу

Математичне сподівання і дисперсію обчислено за формулами

(2.33) і (2.34):

M (X ) = np = 1,8; D( X ) = npq = 0,72; σ(X ) ≈ 0,85.

2.2.2. Розподіл Пуассона

Розподіл Пуассона виникає в схемі Бернуллі, коли кількість n виконуваних незалежних випробувань велика, імовірність p появи

події A в кожному випробуванні мала, а випадкова величина X — кількість появ події A в цих n випробуваннях.

ностями pk , які обчислюються за формулою Пуассона (1.29):

106

тобто величина X має ряд розподілу

Для знаходження основних числових характеристик M (X ), D( X ) і σ ( X ) розподілу Пуассона застосовують твірну функцію

Оскільки n велике, то, використовуючи відомий розклад функції ex у степеневий ряд

можна подати твірну функцію у вигляді:

ϕ(z) = e− λ eλz = eλ ( z−1) .

Її перша похідна ϕ′(z) = λeλ ( z−1) , тому за формулою (2.30):

M (X ) = ϕ′(1) = λ .

Друга похідна твірної функції

ϕ′′(z) = λ2eλ ( z−1) ,

тому за формулою (2.31) дисперсія набуває значення:

D(X ) = ϕ′′(1) + ϕ′(1) − [ϕ′(1)]2 = λ2 + λ − λ2 = λ

і, відповідно, середнє квадратичне відхилення

σ(X ) = λ .

Отже, характерною особливістю розподілу Пуассона є те, що його математичне сподівання збігається з дисперсією. Це робить його простим, але й більш обмеженим за можливостями.

107

Приклад 2.15. Система бронювання та продажу авіаційних квитків має 1000 периферійних пультів. Імовірність надходження запиту з кожного пульта протягом однієї хвилини дорівнює 0,002. Знайти: а) закон розподілу випадкової величини X — кількості запитів, що надійдуть до системи протягом однієї хвилини; б) середню кількість запитів; в) імовірність надходження протягом однієї хвилини принаймні двох запитів.

б) Середня кількість (математичне сподівання) запитів, що надійде до системи протягом однієї хвилини, M (X ) = 2 .

в) Імовірність надходження протягом однієї хвилини принаймні двох запитів

P{2 ≤ X ≤ 1000} = 1− P(0) − P(1) = 0,594.

2.2.3. Геометричний розподіл

Геометричний розподіл виникає, коли незалежні випробування, у кожному з яких подія A може відбутися зі сталою ймовірністю p ,

проводяться до першого «невдалого» випробування (подія A не відбулась) і далі припиняються, а випадкова величина X — кількість проведених «вдалих» випробувань.

Дискретна величина X набуває цілих невід’ємних значень k

pk ), а в наступному — не відбулась (імовірність q ).

108

Отже, X має такий нескінченний ряд розподілу:

доданки якої 1, pz, ( pz)2 , ... є членами нескінченної спадної геометричної прогресії з першим членом u1 = 1 і знаменником b = pz < 1. Сума членів такої геометричної прогресії обчислюється за формулою

тому за формулою (2.30) математичне сподівання набуває значення:

109