Теорія ймовірності - high_math

Із значення rB робимо висновок, що ознаки X i Y скорельовані і

мають майже лінійну залежність.

Зауважимо, що оцінки параметрів ознак X i Y можна знайти, користуючись інтервальним розподілом (табл. 3.13). Наприклад,

де k — кількість знайдених інтервалів і xi* — середини цих інтер-

валів.

Таким чином,

xB = 201 (−12,4 4 − 5,2 3 + 2 6 + 9,2 5 + 16,4 2) = 1,28.

Абсолютно аналогічно будуть знаходитись інші оцінки, але вони будуть менш точними, ніж знайдені.

в) Нехай Н0 — гіпотеза про незалежність випадкових величин X та

Y, xmax = 20, xmin = – 16, ymax = 62, ymin = – 32, m = 5, hx = 7,2, hy = 18,8.

Результати перевірки Н0 подаємо у вигляді табл. 3.14, де на перетині i-го рядка та j-го стовпця містяться елементи nij .

Таблиця 3.14

Кількість ступенів свободи k = (5 – 1)(5 – 1) = 16.

Оскільки за таблицею χα2 = 26,3, а χ2 > χα2 , то гіпотезу про неза-

лежність випадкових величин X та Y потрібно відкинути. Тобто задана система величин X та Y є залежною. При цьому залежність між

ними близька до лінійної, оскільки rB = 0,89 (майже одиниця).

Приклад 3.15. Реакцію хворих на застосування медичного препарату задано даними, наведеними в табл. 3.15

Чи можна вважати, що вплив препарату не залежить від статі хворих? Узяти α = 0,9.

Розв’язання. За формулою (3.20)

χ2 = 144 [1/ 52(182 / 51+ 282 / 68 + 62 / 25) + +1/ 92(332 / 51+ 402 / 68 + 192 / 25) − 1] = 2,53.

Кількість ступенів свободи k = (2– 1)(3– 1) = 2.

Оскільки за таблицею χα2 = 4,6 і χ2 < χα2 , то гіпотеза приймається, тобто вплив препарату не залежить від статі.

3.4. Кореляційний та регресійний аналіз. Оцінки лінійної та квадратичної регресії за методом найменших квадратів

При одночасній появі двох і більше величин у результаті проведення експерименту дослідник має підстави для встановлення певної залежності між ними.

Строгої функціональної залежності між змінними, у буквальному розумінні цього слова, у реальному світі не існує, бо вони перебувають під впливом випадкових факторів, наслідки яких передбачити практично неможливо. Тому між змінними існує особлива форма

232

зв’язку, яку називають стохастичною і яка трансформується, не змінюючи своєї суті, у статистичну залежність.

Показником, що вимірює стохастичний зв’язок між змінними, є коефіцієнт кореляції, який свідчить з певною мірою ймовірності, наскільки зв’язок між змінними близький до строгої лінійної залежності.

Для двовимірного статистичного розподілу вибірки введемо поняття статистичної залежності між ознаками X та Y.

Статичною залежністю ознаки X від ознаки Y називають таку залежність, за якої при зміні значень ознаки Y = yi змінюється умо-

вний статистичний розподіл ознаки X.

Статистичною залежністю ознаки Y від ознаки Х називають таку залежність, за якої зі зміною значень ознаки X = xi змінюється умовний статистичний розподіл ознаки Y.

Уразі зміни умовних статистичних розподілів змінюватимуться

йумовні числові характеристики.

Звідси випливає визначення кореляційної залежності між ознаками X і Y.

Кореляційною залежністю ознаки Y від Х, або регресією Y на Х,

Аналогічно кореляційною залежністю ознаки Х від Y називається функціональна залежність умовного середнього xyi від аргументу y :

xy = ψ( y).

Графіки функцій ϕ(x) та ψ( y) називають кривими регресії.

Між ознаками X та Y може існувати статистична залежність і за відсутності кореляційної. Але коли існує кореляційна залежність між ознаками X та Y, то обов’язково між ними існуватиме і статистична залежність.

Для функції ϕ(x) припускаються відомими властивості гладкості або її вигляд з точністю до деяких параметрів. Наприклад,

yx = ϕ(x, β0 , β1 ) або yx = ϕ(x, β0 , β1 , …, βN ).

У частинному випадку, якщо ϕ(x, β0 , β1 ) = β0 + β1 x , то говорять про лінійну регресію Y на Х. Пряма y = β0 + β1 x називається пря-

мою регресії з невідомими параметрами β0 і β1 .

233

Для вибіркових даних X :{ x1, x2 , …, xn } i Y :{ y1 , y2 , …, yn } природно визначити залежність рівностями

yi = β0 + β1xi + δi , (i = 1, n)

де δi — незалежні випадкові величини, що характеризують відхилення y від гіпотетичної теоретичної регресії з M (δi ) = 0 і однаковими дисперсіями D(δi ) = σ2 . При цьому елементи послідовності

δ1, δ2 , …, δn є некорельованими ( Kij = 0).

Для нелінійного випадку аналогічно припускається, що

Щоб визначити параметри функції ϕ(x) = ϕ(x, β0 , β1, …, βN ), за-

стосовують метод найменших квадратів. Для цього складають суму квадратів відхилень

і вимагають, щоб вона для вибіркових даних була мінімальною. Статистичні оцінки β0 , β1, ..., βN параметрів β0 , β1, ..., βN знаходять як розв’язки системи рівнянь:

Метод найменших квадратів для параметрів β0 , β1 лінійної регресії дає такі оцінки:

Коефіцієнт β1 можна знайти також за формулою

234

β0 , β1 , β2 параметрів β0 , β1, β2 дістаємо таку систему лінійних рівнянь:

Для спрощення обчислень вихідні дані часто попередньо перетворюють (див. приклад 3.17).

Приклад 3.16. Дано вибірку

Обчислити коефіцієнт кореляції, визначити і побудувати прямі регресії Y на Х та Х на Y.

Розв’язання. За формулами (3.16) знаходимо xB = 3,39; yB = 3,08. Складаємо табл. 3.16.

235

Таблиця 3.16

Таким чином, прямі регресії мають такі рівняння: y = 7,15 – 1,2 x та x = 3,8 – 0,13 y .

Для перевірки застосуємо співвідношення (3.26):

ββ′ = (−1,2) (− 0,13) = 0,39.

11

Зурахуванням помилок округлення можна вважати, що

β β′ = r .

1 1 B

236

Прямі регресії подано на рис. 3.4

yy

3,08

Рис. 3.4

Приклад 3.17. Заміри температури повітря на протязі доби в другій половині вересня в середній смузі кожні 4 години дали наступні результати:

Розв’язання. Попередньо перетворимо вихідні дані за формулами

Система для обчислення оцінок параметрів β0 , β1, β2 має вигляд

Розв’язавшицю систему, одержуємо β0 = 1,63; β1 = 0,96; β2 = – 0,3. Тобто

y = 1,63 + 0,96x − 0,3x2 .

Повертаючись до вихідних змінних, одержуємо

T − 11 = 1,63 + 0,96(t − 12) / 4 − 0,3((t − 12) / 4)2 .

Або

T = −0,02t2 + 0,72t + 6,87.

Т.3 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ

ІСАМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1.Під час обробки даних випробувань літака було зафіксовано такі показники швидкості V , ì /ñ, відриву літака при зльоті за даної

зустрічної швидкості вітру ν, м/с:

а) Знайти статистичні оцінки математичного сподівання, дисперсії, кореляційного момента та коефіцієнта кореляції;

б) перевірити гіпотезу про незалежність цих випадкових величин на рівні значущості α = 0,001.

2. Результати аналізу залежності кількості набраних балів абітурієнтами Х від кількості абітурієнтів Y на вступних іспитах подано вибіркою:

238

а) Знайти статистичні оцінки параметрів системи (Х, Y);

б) перевірити гіпотезу про незалежність цих випадкових величин на рівні значущості α = 0,1.

3.Залежність річної заробітної плати Y від загального виробітку

Хподано у вигляді двовимірного статистичного розподілу:

Обчислити xB , yB , sX2 , sY2 , σBÕ , σBY , KXY і rB .

4. Залежність висоти прольоту дальнього привода Н, м, під час заходу літака на посадку від мінімальної швидкості літака V , м/с,

наведено у вигляді двовимірного статистичного розподілу:

Обчислити KVH і rB .

5. Стверджується залежність доброякісного продукту від постачальника. Перевірити це твердження за такими даними при рівні значущості α = 0,05:

239

6. Із двох сортів металу виготовлено дві партії однотипних виробів, по 100 виробів в кожній партії. Вимірювання цих деталей дали такі результати:

Чи залежать розміри вимірюваних виробів від сорту металу?

Узяти α = 0,05.

За даними в задачах 7 і 8 вибірками знайти статистичні оцінки параметрів ознак X i Y і оцінки коефіцієнтів лінійної регресії Y на Х та Х на Y.

7. Дано вибірку

Закінчення вибірки

8. Дано вибірку

240