Теорія ймовірності - high_math
.pdf
2. Функція F(x, y) є неспадною функцією своїх аргументів, тоб-
то при x2 > x1 F(x2 , y) ≥ F(x1 , y), а при y2 > y1 F(x, y2 ) ≥ F(x, y1 ).
Це випливає з геометричного змісту функції F(x, y) (рис. 2.15): при зростанні x і y збільшується площа квадранта, а отже, ймовірність потрапляння в нього точки (X , Y ) зменшитись не може.
3. Для функції F(x, y) виконуються граничні співвідношення:
F(x,−∞) = 0; F(−∞, y) = 0; F(−∞, ∞) = 0; F(∞, ∞) = 1 .
Перші три співвідношення випливають з того, що події {Y < −∞} i {X < −∞} неможливі, тобто їхні ймовірності дорівнюють
нулю, а останнє співвідношення — з того, що подія {X < ∞, Y < ∞}
достовірна, і її ймовірність дорівнює одиниці.
4. При y → ∞ функція F(x, y) перетворюється на функцію розподілу складової X , а при x → ∞ — на функцію розподілу складової Y :
F(x, ∞) = F1 (x), F(∞, y) = F2 ( y).
Справді, оскільки подія {Y < ∞} — достовірна, то F(x, ∞) визначає ймовірність події {X < x} , тобто є функцією розподілу вели-
чини X . Аналогічно доводиться друге співвідношення.
За допомогою функції розподілу F(x, y) обчислюють імовірність потрапляння випадкової точки (X , Y ) у прямокутник, вершини якого мають абсциси x1 і x2 , а ординати y1 і y2 (рис. 2.16):
P{x1 |
< X < x2 |
, y1 < Y < y2} = F(x2 , y2 ) − F(x1 |
, y2 ) − |
(2.58) |
|
|
−F(x2 , y1 ) + F(x1 , y1 ) |
|
|
|
|
|
|
Формула випливає з геометричного тлумачення функції роз-
поділу: віднімання від імовірності потрапляння випадкової точ- |
|||||||||
ки ( X , Y ) у квадрант з вершиною |
|
Y |
|
|
|
||||
(x2 , y2 ) імовірностей її потрапляння |
у2 |
(x1, y2) |
|
(x2, y2) |
|||||
у квадранти з вершинами (x , y |
2 |
) і |
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 , y1 ) приводить до подвійного |
|
у1 |
|
(x1, y1) |
|
(x2, y1) |
|||
віднімання ймовірності потраплян- |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
ня цієї точки в квадрант з верши- |
|
0 |
х1 |
|
х2 X |
||||
ною (x , y ) , отже, ця ймовірність, |
|
|
|||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
що дорівнює F(x1 , y1 ), має бути |
|
|
|
|
Рис. 2.16 |
||||
один раз додана. |
|
|
|
|
|
|
|||
151
Функція розподілу дає також можливість обчислити ймовірність потрапляння випадкової точки (X , Y ) в нескінченну півсмугу з вер-
шинами (x1, y2 ) і (x2 , y2 ), заштриховану на рис. 2.16:
P{x1 < X < x2 , Y < y2} = F(x2 , y2 ) − F(x1 , y2 ) .
4.3. Щільність розподілу системи двох неперервних випадкових величин та її властивості
Формула (2.58) замінами x1 = x, |
x2 = x + x, y1 = y, |
y2 = y + y зво- |
||||||
диться до вигляду: |
|
|
|
|
|
|||
P{x < X < x + x, y < Y < y + y} = F(x + x, y + y) − |
||||||||
|
|
− F(x + x, y) − F(x, y + y) + F(x, y), |
|
|
||||
а подальшим діленням лівої і правої частини на |
x |
y і переходом |
||||||
до границі при |
x → 0, y → 0 — до вигляду: |
|
|
|
||||
|
|
lim |
P{x < X < x + |
x, y < Y < y + y} |
= |
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
||
|
|
x→0 |
|
|
|
|||
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
= lim |
F(x + |
x, y + y) − F(x + |
x, y) − (F(x, y + |
y) − F(x, y)) |
. |
|||
|
|
|
x y |
|
||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|||
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Границя в правій частині — друга мішана частинна похідна
F ′′ (x, y) , яку позначимо f (x, y). Тоді
xy
lim |
P{x < X < x + |
x, y < Y < y + y} |
= F′′ |
(x, y) = f (x, y), |
|
x y |
|||
x→0 |
xy |
|
||
y→0 |
|
|
|
|
або з точністю до нескінченно малої величини
P{x < X < x + x, |
y < Y < y + y} |
= f (x, y). |
(2.59) |
||
x |
y |
|
|||
|
|
||||
Відношення в лівій частині рівності (2.59) виражає ймовірність, яка припадає на одиницю площі прямокутника зі сторонами x і y або, інакше, щільність імовірності в цьому прямокутнику.
Щільністю ймовірності, або щільністю розподілу, системи (X , Y )
неперервних випадкових величин називається функція f (x, y), що
152
дорівнює другій мішаній частинній похідній функції розподілу
F(x, y) :
f (x, y) = F′′ (x, y).
xy
Із формули (2.59) маємо:
P{x < X < x + x, y < Y < y + y} = f (x, y) x y = f (x, y)dxdy .
Величину f (x, y)dxdy називають елементом імовірності системи ( X , Y ) , оскільки ця величина виражає ймовірність потрапляння можливихзначеньсистемивелементарнийпрямокутникзісторонами x ³ y.
Щоб знайти ймовірність потрапляння системи в прямокутник, зображений на рис. 2.16, потрібно зінтегрувати елемент імовірності
при змінюванні x від x1 до x2 і y від y1 до |
y2 : |
|
|
x |
y |
|
|
P{x1 < X < x2 , y1 < Y < y2} = ∫2 |
∫2 |
f (x, y)dxdy. |
(2.60) |
x1 |
y1 |
|
|
Наведемо властивості щільності ймовірності f (x, y). 1. Функція f (x, y) невід’ємна:
f (x, y) ≥ 0,
оскільки за формулою (2.59) є відношенням невід’ємної ймовірності до додатної площі прямокутника.
2. Щільність імовірності f (x, y) пов’язана з функцією розподілу F(x, y) залежністю:
x y |
|
|
|
F(x, y) = ∫ ∫ f (x, y)dxdy, |
|
|
|
−∞ −∞ |
|
|
|
що випливає з формули (2.60) при x1 = −∞, x2 |
= x, |
y1 = −∞, |
y2 = y з |
урахуванням того, що за означенням функції розподілу |
|
||
F(x, y) = P{X < x, Y < y} = P{−∞ < X < x, − ∞ < Y < y}. |
|||
|
∞ ∞ |
|
|
3. Для щільності f (x, y) виконується рівність ∫ |
∫ f (x, y)dxdy = 1, |
||
|
−∞ −∞ |
|
|
яка випливає з формули (2.60) при x1 = −∞, x2 |
= ∞, |
y1 = −∞, |
y2 = ∞ |
і тієї обставини, що
P{−∞ < X < ∞, − ∞ < Y < ∞} = 1
як імовірність достовірної події.
153
4. Інтегрування щільності ймовірності f (x, y) |
системи за змін- |
|||
ною y приводить до щільності ймовірності f1 (x) |
складової |
X , а за |
||
змінною x — до щільності ймовірності |
f2 ( y) складової Y : |
|
||
∞ |
∞ |
f (x, y)dx = f2 ( y) . |
|
|
∫ f (x, y)dy = f1 (x), |
∫ |
(2.61) |
||
−∞ |
−∞ |
|
|
|
4.4. Умови незалежності випадкових складових системи
Наведемо умови незалежності складових X і Y системи випадкових величин.
1. Якщо систему дискретних випадкових величин (X , Y ) задано матрицею розподілу (табл. 2.1) і її складові X і Y незалежні, то ймовірності pij з матриці розподілу дорівнюють добутку ймовірно-
стей pi ³ qj із рядів розподілу складових X ³ Y :
m |
k |
|
pij = pi qj = ∑ pij ∑ pij . |
(2.62) |
|
j=1 |
i=1 |
|
Так, складові системи, матрицю розподілу якої знайдено в прикладі 2.30, незалежні, оскільки для всіх pij (i, j = 1, 2, 3) виконуєть-
ся умова (2.62). Наприклад, p22 = 0,0756, p2 = 0,18, g2 = 0,42, отже,
p22 = p2 g2 .
2. Якщо складові системи випадкових величин (X , Y ) незалежні, то її функція розподілу F(x, y) дорівнює добутку функцій розподілу F1 (x) ³ F2 ( y) складових:
F(x, y) = F1 (x) F2 ( y). |
(2.63) |
3. Якщо складові X і Y системи неперервних випадкових величин незалежні, то її щільність розподілу f (x, y) дорівнює добутку
щільностей розподілу f1 (x) ³ f2 ( y) її складових:
f (x, y) = f1 (x) f2 ( y). |
(2.64) |
Умови (2.62)—(2.64) є також і достатніми для незалежних складових системи. Якщо ж вони не виконуються, то складові X і Y системи — залежні.
154
Приклад 2.31. Система неперервних випадкових величин (X , Y ) має функцію розподілу
F(x, y) = (1− e− x )(1− e−4 y ) ï ðè x ≥ 0, y ≥ 0 .
1)Знайти щільність імовірності f (x, y) системи;
2)обчислити ймовірність того, що складові системи набудуть
значень із прямокутника, обмеженого прямими x = 1, x = 2, y = 0, y = 0,25;
3) установити, чи залежні складові системи.
Розв’язання. 1) Знайдемо другу мішану частинну похідну від функції розподілу F(x, y) :
F′(x, y) = e− x (1 |
− e−4 y ); |
x |
e−4 y = 4e− ( x+ 4 y) . |
F′′ (x, y) = 4e− x |
|
xy |
|
Отже, f (x, y) = 4e− ( x+ 4 y) при x ≥ 0, y ≥ 0 . |
|
2) Імовірність того, що складові набудуть значень із заданого прямокутника, можна обчислити за формулами (2.58) або (2.60). За формулою (2.60):
|
|
|
|
|
2 0,25 |
|
|
|
|
2 |
0,25 |
||
P{1 < X < 2; 0 < Y < |
0,25} = 4∫ |
∫ |
e− ( x+ 4 y) dxdy = 4∫ e− x dx ∫ e−4 y dy = |
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
= |
e − 1 |
2 |
− x |
dx = |
e − 1 |
|
e − 1 |
= |
(e − 1)2 |
|
|||
e |
∫ e |
|
e |
e |
2 |
e |
3 |
≈ 0,147. |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) Для встановлення залежності складових X і Y можна застосувати умови (2.63) або (2.64). Використаємо умову (2.64), для чого за властивістю 4 щільності f (x, y) знайдемо щільності ймовірності
складових:
∞
f1 (x) = 4∫ e− ( x+ 4 y) dy = 4e− x
0
∞
f2 ( y) = 4∫ e− ( x+ 4 y) dx = 4e−4 y
0
∞
∫ e−4 y dy = e− x ;
0
∞
∫ e− x dx = 4e−4 y .
0
Умова (2.64) виконується, отже, складові X і Y заданої системи — незалежні.
155
4.5. Основні числові характеристики складових системи
Якщо систему (X , Y ) дискретних випадкових величин задано матрицею розподілу (табл. 2.1) і побудовано ряди розподілу складо-
вих X ³ Y , то їхні математичні сподівання M (X ) ³ |
M (Y ) обчис- |
||||
люють за формулою (2.11): |
|
|
|
|
|
M (X ) = x1 |
m |
m |
m |
k |
m |
∑ p1 j + x2 ∑ p2 j + ... + xk ∑ pkj = ∑ xi ∑ pij ; |
|||||
|
j=1 |
j=1 |
j=1 |
i=1 |
j=1 |
|
|
|
|
|
(2.65) |
M (Y ) = y1 |
k |
k |
k |
m |
k |
∑ pi1 + y2 |
∑ pi2 |
+ ... + ym ∑ pim = ∑ y j ∑ pij . |
|||
|
i=1 |
i=1 |
i=1 |
j=1 |
i=1 |
Із формул (2.65) випливає, що для знаходження математичних сподівань складових немає потреби попередньо складати ряди їх розподілів, їх можна обчислювати безпосередньо за табл. 2.1. Те саме стосується і дисперсій D(X ) і D(Y ) складових системи, які за
формулою (2.17) обчислюються так:
k |
m |
|
|
D(X ) = ∑ xi2 |
∑ pij − [M ( X )]2 ; |
|
|
i=1 |
j=1 |
(2.66) |
|
m |
k |
||
|
|||
D(Y ) = ∑ y2j |
∑ pij − [M (Y )]2 . |
|
|
j=1 |
i=1 |
|
Приклад 2.32. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення складових X і Y системи за матрицею розподілу, складеною у прикладі 2.30.
Розв’язання. За формулами (2.65) маємо:
М(Х) = 0·(0,0009 + 0,0042 + 0,0049) + 1·(0,0162 + 0,0756 + 0,0882) + + 2·(0,0729 + 0,3402 + 0,3969) = 1,8;
М(Y) = 0·(0,0009 + 0,0162 + 0,0729) + 1·(0,0042 + 0,0756 + 0,3402) +
+2·(0,0049 + 0,0882 + 0,3969) = 1,4,
аза формулами (2.66):
D( X ) = 1 (0,0162 + 0,0756 + 0,0882) +
+ 4 (0,0729 + 0,3402 + 0,3969) − (1,8)2 = 0,18;
156
D(Y ) = 1 (0,0042 + 0,0756 + 0,3402) +
+4 (0,0049 + 0,0882 + 0,3969) − (1,4)2 = 0,42
івідповідно σ(X ) ≈ 0,42; σ(Y ) ≈ 0,65.
Щоб знайти числові характеристики складових системи неперервних випадкових величин (X , Y ) зі щільністю ймовірності f (x, y),
можна за властивістю 4 щільності знайти f1 (x) і f2 ( y) і обчислити математичні сподівання за формулою (2.12):
∞ |
∞ |
M ( X ) = ∫ xf1 (x)dx; |
M (Y ) = ∫ yf2 ( y)dy, |
−∞ |
−∞ |
а дисперсії — за формулою (2.18):
∞
D( X ) = ∫ x2 f1 (x)dx − [M (X )]2 ;
−∞
∞
D(Y ) = ∫ y2 f2 ( y)dy − [M (Y )]2
−∞
або застосувати до обчислення цих характеристик подвійне інтегрування і безпосередньо щільність імовірності f (x, y) системи:
|
∞ |
∞ |
|
|
|
∞ |
∞ |
M (X ) = |
∫ |
∫ xf (x, y)dxdy; M (Y ) = |
∫ |
∫ yf (x, y)dxdy; |
|||
|
−∞ −∞ |
|
|
|
−∞ −∞ |
||
|
|
D(X ) = |
∞ |
∞ |
x2 f (x, y)dxdy − [M ( X )]2 ; |
||
|
|
∫ ∫ |
|||||
|
|
|
−∞ −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
|
D(Y ) = |
∫ |
∫ y2 f (x, y)dxdy − [M (Y )]2 . |
|||
−∞ −∞
(2.67)
(2.68)
Приклад 2.33. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення складових X і Y системи неперервних випадкових величин зі щільністю ймовірності
f (x, y) = 4e− ( x+ 4 y) ï ðè x ≥ 0, y ≥ 0
(див. приклад 2.31).
Розв’язання. За формулами (2.67)
∞ ∞ |
∞ |
∞ |
M (X ) = 4∫ ∫ xe−( x+ 4 y) dxdy = 4∫ xe− x dx∫ e−4 y dy = |
||
0 0 |
0 |
0 |
157
∞ |
|
− x |
|
b |
−4 y |
|
∞ |
− x |
|
|
= 4∫ |
xe |
∫ e |
= ∫ xe |
dx. |
||||||
|
dx lim |
|
dy |
|
||||||
0 |
|
|
b→∞ |
0 |
|
|
0 |
|
|
Застосовуючи метод інтегрування частинами, дістаємо:
M (X ) = lim |
c |
|
(xe− x + e− x ) |
|
c = 1. |
∫ xe− x dx = − lim |
|
||||
c→∞ |
0 |
c→∞ |
|
|
0 |
|
|||||
Аналогічно |
|
|
|
|
|
∞ |
|
∞ |
∞ |
||
M (Y ) = 4∫ ye−4 y dy ∫ e− x dx = 4∫ ye−4 y dy = 1. |
|||||
0 |
|
0 |
0 |
|
|
Дисперсії складових обчислимо за формулами (2.68):
|
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
D( X ) = 4∫ x2 e− x dx∫ e−4 y dy − 1 = ∫ x2 e− x dx − 1 = |
|||||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
b 2 − x |
|
|
|
2 + 2x + x2 |
|
b |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
= lim |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 = |
|
∫ x e dx − 1 = lim |
|
|
e |
x |
|
|
|
|
|||||||
b→∞ |
0 |
|
|
b→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
= − lim |
2 + 2b + b2 |
+ |
2 |
− 1 |
= 1, |
|
|
|
||||||
|
eb |
|
|
e0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
b→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
оскільки границя дорівнює нулю (за правилом Лопіталя);
∞ |
∞ |
|
D(Y ) = 4∫ y2e−4 y dy ∫ e− x dx − 1 |
= 1 , |
|
0 |
0 |
|
а отже, і σ( X ) = σ(Y ) = 1.
4.6. Умовні закони розподілу складових системи
Нехай систему (X , Y ) дискретних випадкових величин задано
матрицею розподілу (табл. 2.1) і складено ряди розподілу її складових X і Y .
Умовним розподілом складової X за умови, що Y набула значення y j , називається ряд розподілу, в якому ймовірності набуття
складовою X можливого значення xi (i = 1, 2, ..., k) є умовними ймовірностями p(xi | y j ), що обчислюються за формулами
158
|
|
p(xi | y j ) = |
pij |
|
(i = 1, 2, 3, … k), |
(2.69) |
|||
|
|
g j |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де ймовірності g j |
узяті з ряду розподілу складової Y. |
||||||||
Для умовного розподілу складової Y при X = xi |
умовні ймовір- |
||||||||
ності p( y j | xi ) |
обчислюються за формулами |
|
|||||||
|
|
p( y |
|
| x ) = |
pij |
|
( j = 1, 2, ..., m) , |
(2.70) |
|
|
|
j |
pi |
|
|||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
||
|
pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
де ймовірності |
вибираються з ряду розподілу складової X . |
||||||||
Приклад 2.34. Знайти умовний закон розподілу складової X при Y = 0 і складової Y при X = 2 системи з матрицею розподілу, побудованою у прикладі 2.30.
Розв’язання. Імовірності для умовного розподілу X при Y = 0 обчислюємо за формулами (2.69):
p(x1 | y1 ) = 0,00090,09 = 0,01;
p(x2 | y1 ) = 0,01620,09 = 0,18;
p(x3 | y1 ) = 0,07290,09 = 0,81.
Отже, умовний ряд розподілу складової X має вигляд:
X |
0 |
1 |
2 |
p( X | Y = 0) |
0,01 |
0,18 |
0,81 |
|
|
|
|
Імовірності для умовного розподілу Y при X = 2 обчислюємо за формулами (2.70):
p( y1 | x3 ) = 0,07290,81 = 0,09; p( y2 | x3 ) = 0,34020,81 = 0,42; p( y3 | x3 ) = 0,39690,81 = 0,49.
159
Отже, умовний ряд розподілу складової Y має вигляд:
Y |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
p(Y | X = 2) |
0,09 |
0,42 |
0,49 |
|
|
|
|
Як і слід було сподіватись, умовні закони розподілу збігаються з безумовними, складеними у прикладі 2.30, адже складові системи X і Y — незалежні, а за означенням випадкові величини є незалежними, якщо розподіл однієї з них не залежить від того, яких можливих значень набуває інша. Таким чином, для встановлення незалежності або залежності складових системи можна крім умови (2.62) використовувати й цю обставину.
Для системи неперервних випадкових величини зі щільністю ймовірності f (x, y) аналогом розглянутих умовних законів розпо-
ділу є умовні щільності ймовірностей |
|
f1 (x | y) i f2 ( y | x) складових |
||||||
X і Y, які знаходять за формулами |
|
|
|
|
|
|
||
f (x | y) = |
f (x, y) |
; |
f |
|
( y | x) = |
f (x, y) |
, |
|
f2 ( y) |
2 |
f1 (x) |
||||||
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
де f1 (x) i f2 ( y) визначають за формулами (2.61).
4.7. Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції системи випадкових величин
Після встановлення умов залежності або незалежності складових X і Y системи випадкових величин розглянемо характеристики системи, які визначають міру (тісноту) залежності її складових. До та-
ких характеристик належать кореляційний момент і коефіцієнт кореляції.
Кореляційним моментом K xy системи випадкових величин (X , Y )
називається математичне сподівання добутку відхилень цих величин від їхніх математичних сподівань:
K xy = M[(X − M ( X )) (Y − M (Y ))]. |
(2.71) |
Застосувавши властивості математичного сподівання, перетворимо вираз (2.71) так:
160