Теорія ймовірності - high_math

третій — 50 %. Продукція першого заводу містить 7 % телевізорів із прихованим дефектом, продукція другого — 5 %, третього — 3 %.

1)Знайдіть імовірність придбання телевізора без дефекту. 2) Куплений телевізор не має дефекту. Яким заводом найімовірніше його виготовлено?

3.15.Авіакомпанія протягом доби виконує 8 рейсів до пункту М, 5 рейсів — до пункту N і 2 — до пункту Р. Імовірність затримки рейсів через метеоумови пунктів дорівнює відповідно 0,05, 0,1 і 0,2.

1)Знайдіть імовірність затримки рейсу. 2) Випадково вибраний рейс виявився затриманим. До якого пункту найімовірніше він виконувався?

3.16.Три потокові лінії виробляють однотипну продукцію. Перша лінія має продуктивність удвічі більшу від другої і в 1,5 раза більшу від третьої. На першій лінії виробляється в середньому 15 нестандартних виробів на кожну тисячу, на другій — 10, на третій — 8. 1) Знайдіть імовірність того, що навмання взятий виріб виявиться стандартним. 2) Навмання взятий виріб виявився стандартним. На якій лінії найімовірніше він виготовлений?

3.17.У контейнер, який містить 3 стандартні і 2 нестандартні вироби, покладено ще 2 вироби, для яких однаково можливі будь-які припущення щодо стандартності. Потім із контейнера навмання взято один виріб. 1) Знайдіть імовірність того, що він стандартний.

2)Узятий виріб виявився стандартним. Які два вироби найімовірніше було покладено в контейнер?

3.18.Прилад, установлений на борту літака, працює у двох режимах: нормальному під час крейсерського польоту і в умовах перевантаження при зльоті і посадці. Крейсерський режим займає 80 % усього часу польоту, а зліт і посадка — 20 %. Імовірність виходу приладу з ладу під час крейсерського польоту дорівнює 0,01, а при зльоті і посадці — 0,04. 1) Знайдіть надійність (імовірність безвідказної роботи) приладу за весь час польоту. 2) Під час польоту прилад вийшов із ладу. Знайдіть імовірності того, що це сталося: а) у крейсерському режимі; б) в умовах перевантаження.

3.19.У контейнер, який містить 3 деталі, про стандартність яких рівноможливі будь-які припущення, додано одну нестандартну деталь. Потім для контролю навмання взято одну деталь.1) Знайдіть імовірність того, що вона стандартна. 2) Узята деталь виявилася стандартною. Яким був найбільш імовірний початковий якісний склад деталей у контейнері?

3.20.За статистичними даними в певному районі ймовірність зустрічі літака з грозовим фронтом на значних висотах дорівнює 0,4, на середніх — 0,6, на малих — 0,8. У цьому районі 10 % польотів

51

виконується на значних висотах, 30 % — на середніх і 60 % — на малих висотах. 1) Знайдіть імовірність того, що літак, який виконує рейс у цьому районі, не зустрінеться з грозовим фронтом. 2) Літак не зустрівся з грозовим фронтом. На яких висотах найімовірніше він виконував політ?

3.21.Фабрика виготовляє однотипну продукцію на трьох потокових лініях, продуктивності яких відносяться, як 3 : 2 : 5. На першій лінії виробляється продукція тільки найвищої якості. На другій лінії продукція найвищої якості становить 90 %, на третій — 85 %. 1) Знайдіть імовірність того, що взятий навмання виріб буде найвищої якості.

2)Випадково взятий виріб виявився високоякісним. Знайдіть імовірність того, що його виготовлено на третій лінії.

3.22.Із першої групи, що налічувала 10 студентів, серед яких 5 відмінників, у другу групу, в якій навчалося 8 студентів, серед яких 3 відмінники, було переведено двох студентів. Потім із другої групи для участі в олімпіаді було випадково призначено одного студента.

1)Знайдіть імовірність того, що він є відмінником. 2) Призначений студент виявився відмінником. Знайдіть імовірність того, що у другу групу було переведено: а) двох відмінників; б) тільки одного відмінника.

3.23.На фабриці на першій потоковій лінії виробляється вдвічі більше продукції, ніж на другій. У середньому 9 із 1000 одиниць продукції, виробленої на першій лінії, є браком, а для другої лінії брак становить 2 одиниці на кожні 500 одиниць продукції. 1) Знайдіть імовірність браку у продукції фабрики. 2) Випадково вибрана одиниця продукції виявилась браком. На якій лінії найімовірніше її вироблено?

3.24.Двоє робітників виготовили по однаковій кількості деталей. Брак у продукції, виробленій першим робітником, становить 5 %, а другим — 1 %. 1) Знайдіть імовірність того, що взята навмання деталь виявиться бракованою. 2) Узята навмання деталь виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що її виготовлено: а) першим робітником; б) другим робітником.

3.25.У шухляду, яка містить 3 деталі, покладено одну стандартну деталь, а потім навмання взято одну деталь. 1) Знайдіть імовірність того, що вона стандартна, якщо рівноможливі всі припущення про кількість стандартних деталей, які спочатку містились у шухляді. 2) Узята деталь виявилася стандартною. Яка ймовірність того, що в шухляді залишились: а) тільки стандартні; б) тільки нестандартні деталі?

3.26.На фабриці перша машина виробляє в 1,5 раза менше продукції, ніж друга. У середньому 5 із 1000 одиниць продукції, вироб-

52

леної першою машиною, є браком, а для другої машини брак становить 3 одиниці на 500 одиниць продукції. 1) Знайдіть імовірність браку продукціїї на цій фабриці; 2) Навмання взята одиниця продукції виявилася бракованою. На якій із машин найімовірніше її вироблено?

3.27.З першого верстата-автомата на конвеєр зі складання приладів надходить удвічі більше однакових деталей, ніж із другого, а з третього — утричі менше, ніж із другого. Серед деталей, виготовлених на першому, другому, третьому верстаті, трапляється відповідно 2 %, 1 %, 0,5 % браку. 1) Знайдіть імовірність того, що випадково взята деталь виявиться небракованою. 2) Випадково взята деталь виявилась небракованою. На якому верстаті найімовірніше її виготовлено?

3.28.Авіакомпанія виконує протягом доби 4 рейси до Донецька, 6 — до Сімферополя і 2 — до Полтави. Імовірність повного комерційного навантаження кожного рейсу до цих міст дорівнює відповідно 0,6, 0,9 і 0,3. 1) Знайдіть імовірність повного комерційного навантаження випадково взятого рейсу. 2) Випадково взятий рейс виявився з повним комерційним навантаженням. Яка ймовірність того, що він виконується до Полтави?

3.29.Із комплекту, що містить 3 стандартні і 2 нестандартні вироби, випадковим способом вийнято 2 вироби і перекладено в другий комплект, що містить 4 стандартні і 4 нестандартні вироби. Потім із другого комплекту навмання взято один виріб. 1) Знайдіть імовірність того, що взято стандартний виріб. 2) Взятий виріб виявився стандартним. Знайдіть імовірність того, що з першого комплекту в другий було перекладено: а) стандартні; б) нестандартні вироби.

3.30.У партії з п’яти виробів рівноможлива будь-яка кількість бракованих. Навмання із партії взято один виріб. 1) Знайдіть імовірність того, що він бракований. 2) Навмання взятий виріб виявився бракованим. Яка ймовірність того, що в партії було 3 браковані вироби?

Тема 4. ПОВТОРНІ НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБУВАННЯ

Поняття незалежних випробувань. Формула Бернуллі. Локальна та інтегральна теореми Муавра—Лапласа. Формула Пуассона.

Література: [4, глава 5], [7, тема 3], [10, розділ ІІІ].

53

Для різних k імовірності Pn (k) набувають різних значень. Те значення k , для якого ймовірність Pn (k) максимальна, тобто найбільш імовірне число k знаходиться за правилом:

—якщо np − q — ціле додатне число, то k має два значення, а саме: np − q і np + p,

—якщо np − q не є цілим числом, то k має одне значення, яке

перебуває в межах

np − q < k < np + p .

Кількість випробувань n, які потрібно провести для того, щоб з імовірністю, не меншою за Р, можна було б стверджувати, що подія А відбудеться принаймні один раз, знаходять за формулою

Приклад 1.28. За даними прикладу 1.27 знайти найбільш імовірне число k появ події A в чотирьох випробуваннях і обчислити цю найбільшу ймовірність.

Розв’язання. Оскільки np − q = 2 — ціле число, то найбільш імовірне число k має два значення: k1 = 2 і k2 = np + p = 3 .

Обчислимо за формулою Бернуллі відповідні їм імовірності:

P4 (2) = C42 0,62 0,42 = 0,3456;

P4 (3) = C41 0,63 0,4 = 0,3456.

Приклад 1.29. Імовірність помилки в одному досліді дорівнює 0,2. Скільки можна зробити незалежних дослідів, щоб відсутність помилок була більш імовірною, ніж поява?

Розв’язання. Імовірність відсутності помилок у n дослідах знайдемо за формулою Бернуллі:

Pn (0)= Cn0 0,20 0,8n = 0,8n ,

а ймовірність появи принаймні однієї помилки за формулою (1.24) дорівнюватиме 1– 0,8 n . Заумовою 0,8 n > 1– 0,8 n, звідки 0,8 n > 0,5, або

Отже, можна провести не більш як три досліди.

55

Приклад 1.30. Імовірність точного вимірювання приладом фізичної величини дорівнює 0,1. Скільки потрібно зробити вимірювань, щоб з імовірністю, не меншою за 0,9, дістати принаймні один точний результат?

же, потрібно провести не менш як 22 вимірювання.

4.2. Локальна та інтегральна теореми Муавра—Лапласа

Формула Бернуллі (1.23) дає точні значення ймовірностей Pn (k),

проте при великих значеннях n вона приводить до громіздких обчислень.

Тому при великих n для обчислення ймовірності появи події A k раз у n незалежних випробуваннях застосовують наближену фор-

мулу локальної теореми Муавра–Лапласа: якщо в кожному з n

незалежних випробувань імовірність p появи події A стала і не дорівнює 0 і 1, то ймовірність Pn (k) того, що в цих n випробуваннях

подія A відбудеться рівно k раз, наближено дорівнює (тим точніше, чим більше n ) значенню функції

Практично формулу (1.27) доцільно застосовувати при npq ≥ 10. Функцію ϕ(x) протабульовано, таблицю її значень подано в дод. 1

до цього посібника. При користуванні таблицею потрібно мати на увазі, що функція ϕ(x) — парна, тобто ϕ(− x) = ϕ(x) , а при x ≥ 4 її

значення практично дорівнюють нулю.

56

Для обчислення ймовірності Pn (k1; k2 ) того, що в n незалежних

випробуваннях подія A відбудеться від k1 до k2 раз, застосовують наближену формулу інтегральної теореми Муавра—Лапласа: якщо

для обчислення ймовірності Pn (k1; k2 ) остаточну формулу у вигляді:

Функцію Φ(x) протабульовано, таблицю її значень наведено в

дод. 2. При користуванні таблицею потрібно мати на увазі, що функція Φ(x) непарна, тобто Φ(− x) = −Φ(x) , а при x ≥ 5 Φ(x) = 0,5.

Приклад 1.31. Імовірність появи події A в кожному незалежному випробуванні дорівнює 0,8.

1)Знайти ймовірність того, що в 100 проведених випробуваннях подія A відбудеться: а) рівно 75 раз; б) від 70 до 85 раз.

2)Скільки потрібно провести випробувань, щоб з імовірністю

0,98 можна було сподіватись на появу в них події A не менш як

120 раз?

Розв’язання. 1) За умовою n = 100, p = 0,8, q = 0,2.

а) Імовірність появи події A в 100 випробуваннях рівно 75 раз обчислимо за формулою (1.27), для чого знайдемо

57

б) Імовірність появи події A в 100 випробуваннях від 70 до 85 раз знайдемо за формулою (1.28), для чого обчислимо

або рівняння n − 1,025 n − 150 = 0 , яке має єдиний додатний розв’я- зок n = 12,258. Тому n = 151.

58

4.3. Формула Пуассона

Якщо число n проведених випробувань велике, а ймовірність появи події A в кожному випробуванні мала ( p ≤ 0,01 ), то ймовір-

випробуванні дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що в 1000 випробувань подія A відбудеться: а) два рази; б) не менш як два рази.

Розв’язання. За умовою n = 1000, p = 0,002 , тому λ = 2.

а) Імовірність появи події A 2 разиобчислимо за формулою (1.29):

P1000 (2 ≤ k ≤ 1000) ≈ 1− P1000 (0) − P1000 (1) =

ТА САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1.Авіакомпанія щоденно виконує 5 рейсів, з яких 60 % на власному літаковому парку. Знайдіть:

1)імовірність того, що наступного дня власним літаковим парком буде виконано: а) тільки один рейс; б) принаймні один рейс;

2)найбільш імовірну кількість k рейсів, виконаних власним літаковим парком, і відповідну їй імовірність.

2.Програма іспиту містить 25 питань, із яких студент підготував тільки 20. Яка ймовірність того, що він здасть іспит, якщо для цього потрібно відповісти принаймні на 2 питання із трьох питань білета.

59

3.Оптова партія виробів містить 1 % браку. Яким має бути обсяг партії, щоб імовірність наявності в ній бракованих виробів була не меншою за 0,95?

4.Імовірність влучення при одному пострілі по цілі дорівнює 0,1. Скільки потрібно зробити пострілів, щоб влучення було більш імовірним, ніж промах?

5.Імовірність відказу кожного приладу при випробуванні дорівнює 0,2. Знайдіть імовірність того, що при випробуванні 100 приладів відкаже: а) рівно 15 приладів; б) не більш як 20 приладів; в) від 14 до 26 приладів.

6.Імовірність одержання позитивного результату в кожному з незалежних дослідів дорівнює 0,9. Скільки потрібно виконати дослідів, щоб з імовірністю 0,98 можна було сподіватись, що не менш як 150 дослідів дадуть позитивний результат?

7.Перевіряється 2500 виробів. Імовірність придатності кожного виробу дорівнює 0,9992. Знайдіть імовірність виявлення принаймні одного бракованого виробу.

8.Завод відправив на базу 5000 доброякісних виробів. Імовірність пошкодження кожного виробу при транспортуванні дорівнює 0,0002. Знайдіть імовірність того, що при транспортуванні буде пошкоджено: а) рівно 3 вироби; б) не більш як три вироби.

9.Кількість запитів на придбання квитка до Вінниці становить у середньому 0,4 % від загальної кількості запитів, що надходять протягом зміни до системи продажу авіаквитків. Скільки запитів має надійти до системи, щоб з імовірністю, не меншою від 0,95, серед них був принаймні один запит на квиток до Вінниці?

Відповіді

1. 1) а) 0,0768; б) 0,9898; 2) k = 3; P5 (3) = 0,3456. 2. 0,896. 3. n ≥ 300.

4. n ≥ 7. 5. а) 0,0456; б) 0,5; в) 0,866. 6. n ≥ 177. 7. 0,8646. 8. а) 0,06132; б) 0,98112. 9. n ≥ 750 (узяти ln 0, 05 ≈ −3 ).

Т.4 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

4.1. Якість одного виробу перевіряють незалежно один від одного 4 контролери. Імовірність приймання виробу кожним контролером дорівнює 0,9. Знайдіть найбільш імовірну кількість контролерів, які прийняли виріб, і обчисліть цю найбільшу ймовірність.

60