Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет биоресурсов и природопользования

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теорія ймовірності - high_math

.pdf

Скачиваний:

1289

Добавлен:

10.03.2016

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Kxy = M[XY − XM (Y ) − YM (X ) + M (X )M (Y )] =

= M (XY ) − M ( X )M (Y ) − M (Y )M ( X ) + M ( X )M (Y ) = (2.72) = M (XY ) − M (X )M (Y ).

Тому для системи дискретних випадкових величин, заданої матрицею розподілу, кореляційний момент відповідно до (2.71) обчислюється за формулою:

k	m
K xy = ∑∑(xi − M ( X ))( y j − M (Y )) pij			(2.73)
i=1 j=1
або відповідно до (2.72) за формулою:
	k	m
K xy	= ∑∑ xi y j pij − M (X )M (Y ) .		(2.74)
	i=1	j=1

Для системи неперервних випадкових величин зі щільністю ймо-
вірності f (x, y) формули для обчислення Kxy ,					аналогічні (2.73) і
(2.74), мають вигляд:
∞	∞
Kxy = ∫	∫	(x − M (X ))( y − M (Y )) f (x,			y)dxdy;
−∞ −∞
		∞	∞
Kxy =		∫	∫ xyf (x, y)dxdy − M ( X )M (Y ).			(2.75)
		−∞ −∞
Кореляційний момент				Kxy називають ще коваріацією системи
(X , Y ). Він характеризує				міру залежності випадкових		величин
X ³ Y у системі.
Якщо випадкові величини X і Y незалежні, то Kxy = 0. Проте

ця умова є лише необхідною, але не достатньою умовою незалежно-

сті випадкових величин, тобто при Kxy = 0 величини X			³ Y мо-
жуть бути залежними.	Якщо ж Kxy ≠ 0,	то випадкові	величини
X ³ Y — залежні. При	K xy = 0 величини	X і Y називають неко-

рельованими, а при Kxy ≠ 0 — корельованими.

Кореляційний момент дає можливість поширити властивість 4 математичного сподівання, сформульовану в п.1.4.1 теми 1 цього модуля для незалежних випадкових величин, на випадок залежних величин X і Y : з формули (2.72) маємо

161

M (XY ) = M (X ) M (Y ) + Kxy .

Властивості 3 та 5 дисперсії, сформульовані в п.1.4.2 теми 1 цього модуля для незалежних випадкових величин, для залежних величин набувають вигляду:

D( X ± Y ) = D(X ) + D(Y ) ± 2Kxy .

Справді, за означенням дисперсії

D( X ± Y ) = M{[( X ± Y ) − M (X ± Y )]2 } =

=M{[(X − M ( X )) ± (Y − M (Y ))]2 } = M[(X − M (X ))2 ] ±

±2M[(X − M (X ))(Y − M (Y ))] + M[(Y − M (Y ))2 ] =

=D(X ) + D(Y ) ± 2K xy .

Із формули (2.71) випливає, що кореляційний момент характеризує не лише міру залежності випадкових величин, а й їх відхилення від математичних сподівань. Наприклад, якщо відхилення X − M ( X )

достатньо мале, то і K xy буде малим навіть при значній залежності

випадкових величин X ³ Y. Тому для характеристики лише міри залежності випадкових величин застосовується нормований кореляційний момент або коефіцієнт кореляції rxy , який обчислюється за

формулою

rxy =	Kxy	,	(2.76)
	σ(X )σ(Y )

де σ(X ) i σ(Y ) — середні квадратичні відхилення величин X ³ Y. Для незалежних випадкових величин rxy = 0. При лінійній функ-

ціональній залежності Y = aX + b між величинами X і Y коефіцієнт кореляції rxy = ±1, причому його знак збігається зі знаком кое-

фіцієнта a. Якщо ж величини X і Y пов’язані будь-якою іншою залежністю, то rxy міститься в межах −1 < rxy < 1.

Якщо rxy > 0, то говорять, що випадкові величини X і Y в сис-

темі мають додатний кореляційний зв’язок, розуміючи під цим таку залежність між X ³ Y , коли при зростанні однієї з величин друга

також має тенденцію до зростання. Якщо ж rxy < 0 , то величини

X і Y мають від’ємний кореляційний зв’язок, коли при зростанні однієї з величин друга має тенденцію до спадання.

162

Приклад 2.35. Авіакомпанія протягом доби виконує 2 рейси до аеропорту N. Імовірність затримки першого рейсу за метеоумовами дорівнює 0,1, другого — 0,05. Скласти закон розподілу системи (X ,Y ) , де X — кількість затримок першого рейсу, а Y — сумарна

кількість затримок вобох рейсах, іобчислити коефіцієнт кореляції rxy .

Розв’язання. Випадкова величина X набуває можливих значень 0 і 1, а Y — значень 0, 1 і 2. Обчислимо ймовірності pij для матри-

ці розподілу:
X = 0, Y = 0 :	p11 = 0,9 0,95 = 0,855;
X = 0, Y = 1:	p12 = 0,9 0,05 = 0,045;
X = 0, Y = 2 :	p13 = 0 (н ем о жлива п о д³я);
X = 1, Y = 0 :	p21 = 0 (н ем о жлива п о д³я);
X = 1, Y = 1:	p22 = 0,1 0,95 = 0,095;
X = 1, Y = 2 :	p23 = 0,1 0,05 = 0,005.

Складаємо матрицю розподілу системи:

	Y	0	1	2
X		0	1	2
X
0		0,855	0,045	0
1		0	0,095	0,005

Підсумовуючи ймовірності по рядках матриці, дістаємо ряд розподілу складової Х, а по стовпцях — ряд розподілу складової Y:

Х	0	1	Y	0	1	2

Р	0,9	0,1	G	0,855	0,14	0,005

Знайдемо числові характеристики складових системи за даними з рядів розподілу:

M (X ) = 0,1; M (Y ) = 0,15;	D(X ) = 0,09; D(Y ) = 0,1375;
σ(X ) = 0,3;	σ(Y ) = 0,37.

Кореляційний момент обчислимо за формулою (2.74):

Kxy = 1 1 0,095 + 1 2 0,005 − 0,1 0,15 = 0,09,

163

а коефіцієнт кореляції — за формулою (2.76):

rxy	=	0,09		= 0,81.
		0,3	0,37

Отже, складові системи мають доволі тісний додатний кореляційний зв’язок.

Приклад 2.36. Систему неперервних випадкових величин задано спільною щільністю розподілу

									a xy,		(x; y) D,
							f ( x, y) =			0,	(x; y) D,
										0,	(x; y) D,
де область D обмежено лініями										y = x,		x = 0,	y = 1. Знайти невідо-
мий параметр a						і коефіцієнт кореляції rxy .
y		y = 1						Розв’язання. Область D — трикутник,
1		y = 1					поданий на рис. 2.17. Параметр a знайдемо
1			D				поданий на рис. 2.17. Параметр a знайдемо
			D				за властивістю 3 щільності ймовірності
			y = x				за властивістю 3 щільності ймовірності
			y = x								1	1
											a∫	xdx∫	ydy = 1.
0							x				0	x
					1						0	x
					1			Обчислюємо послідовно двократний ін-
	Рис. 2.17							Обчислюємо послідовно двократний ін-
	Рис. 2.17						теграл
	2 a∫ x 2 (1				− x 2 )dx = 2 a∫ (x 2 − x2 )dx = 2 a = 1, звідки a = 9 .
		1		1		3		1	1
3						3						9
3		0				3		0				9	2

Знайдемо математичні сподівання складових за формулами (2.67):

		1		3				1			1			1			3				3					1	3
M ( X ) = 9		∫	x			dx		∫	y		2 dy = 9	2		∫		x		(1− x					)dx = 3			∫	(x				− x3 )dx = 0,45;
M ( X ) = 9			x	2		dx			y		2 dy = 9	2				x	2	(1− x			2		)dx = 3				(x			2	− x3 )dx = 0,45;
2											2	3
2		0						x			2	3			0											0
M (Y ) = 9	1		1		1					3	dy = 9 2		1			1			5			)dx = 9				1	1				− x3 )dx = 0,75.
M (Y ) = 9	∫ x2 dx∫ y									2	dy = 9 2		∫ x2				(1− x			2		)dx = 9				∫	(x2				− x3 )dx = 0,75.
2	0						x				2	5	0											5		0
Дисперсії складових знаходимо за формулами (2.68):
	9		1		5				1		1							= 9	2				1	5			3
D( X ) =	9		∫ x			2	dx		∫	y 2 dy − (0,45)2								= 9	2				∫ x	2	(1− x			2	)dx − (0,45)2 =
	2		0						x									2	3				0

164

	1		5							9
	∫
	∫
= 3 (x2 − x4 )dx − (0,45)2								=					− (0, 45)2				≈ 0,0546;
= 3 (x2 − x4 )dx − (0,45)2								=	35				− (0, 45)2				≈ 0,0546;
	0								35
							σ(X ) ≈ 0,234;
D(Y ) = 9	1		1	1	5				9			2		1	1		7
	∫ x2 dx∫				y		dy − (0,75)2	=						∫ x2		(1− x2 )dx − (0,75)2		=
	∫ x2 dx∫				y	2	dy − (0,75)2	=						∫ x2		(1− x2 )dx − (0,75)2		=
2	0			x					2			7		0
= 9		1	1	− x4 )dx − (0,75)2 =							3		− (0,75)2				= 0,0375;
= 9		∫	(x2	− x4 )dx − (0,75)2 =							3		− (0,75)2				= 0,0375;
7		0									5
							σ(Y ) ≈ 0,194.

Кореляційний момент обчислюємо за формулою (2.75):

Kxy = 9	1	3		1		3		dy − 0,45 0,75 = 9		2	1	3		5
	∫ x			dx∫		y					∫ x		(1	− x		)dx − 0,3375	=
	∫ x		2	dx∫		y	2				∫ x	2	(1	− x	2	)dx − 0,3375	=
2	0				x				2	5	0
= 9		1		3		− x4 )dx − 0,3375 = 0,36 − 0,3375 = 0,0225,
		∫		(x
		∫		(x	2
	5	0
а коефіцієнт кореляції за формулою (2.76):
								rxy =	0,0225	= 0,496.
								rxy =	0,234 0,194	= 0,496.
									0,234 0,194

Т.4 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ ТА САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1. Система (X; Y) дискретних випадкових величин має закон розподілу

Y	2	4	6
X

1	0,3a	0,1a	0

2	0,2a	0,4a	0,2a

3	0,1a	0,2a	0,5a

Знайти: а) коефіцієнт а; б) ряди розподілу складових X i Y; в) функцію розподілу F(x, y); г) імовірність події {1 < X ≤ 3; 4 ≤ Y ≤ 6}.

2. Кожний із двох студентів відповідає на два поставлені питання. Імовірність правильної відповіді на кожне питання першим сту-

165

дентом дорівнює 0,9, другим — 0,8. Побудувати матрицю розподілу системи (X; Y), якщо Х — кількість правильних відповідей у першого студента, Y — у другого. Знайти ряди розподілу складових X i Y, а також установити, чи залежні складові системи.

3.Число Х вибирається навмання із множини цілих чисел {1; 2; 3}, потім із тієї самої множини навмання вибирається число Y, більше від першого або таке, що йому дорівнює. Побудувати закон розподілу системи (X; Y), ряди розподілу її складових X i Y та встановити, залежні чи незалежні ці складові.

4.Десять студентів написали модульну контрольну роботу з теорії ймовірностей, причому 5 із них одержали відмінну оцінку, 3 — добру і решта студентів — задовільну. Для аналізу в групі навмання взято 3 роботи. Для системи (X; Y), де Х — кількість відмінних, Y — кількість добрих робіт, знайти: а) матрицю розподілу; б) ряди розподілу її складових X i Y; в) умовний розподіл складової X при Y = 2;

г) імовірність події { X ≥ 2; Y ≤ 2} .

5. Система неперервних випадкових величин має щільність роз-

поділу		(x; y) D,
Axy,
f (x, y) =	0,	(x; y) D,

де область D обмежено лініями	x = 0, x + y − 1 = 0, y = 0. Знайти:

а) коефіцієнт А; б) математичні сподівання і середні квадратичні відхилення складових X i Y системи.

6. Система неперервних випадкових величин (X; Y) має щільність

розподілу						A
f (x, y) =						A						.
f (x, y) =	π	2	(	3	+ x	2	)(		+ y	2	)	.
	π			3	+ x			1	+ y

Знайти: а) коефіцієнт А; б) функцію розподілу F(x; y) системи; в) імовірність події {0 ≤ X ≤ 1; 0 ≤ Y ≤ 1}.

7. За матрицею розподілу системи (X; Y) дискретних випадкових величин із прикладу 1 знайти математичні сподівання та середні квадратичні відхилення складових X i Y. Обчислити коефіцієнт ко-

реляції rxy системи.

8. За матрицею розподілу системи (X; Y) дискретних випадкових величин, побудованою в прикладі 2, знайти математичні сподівання та середні квадратичні відхилення складових X i Y. Обчислити кое-

фіцієнт кореляції rxy системи.

166

9. За матрицею розподілу системи (X; Y) дискретних випадкових величин, побудованою в прикладі 3, знайти математичні сподівання та середні квадратичні відхилення складових X i Y. Обчислити кое-

фіцієнт кореляції rxy системи.

10. За матрицею розподілу системи (X; Y) дискретних випадкових величин, побудованою в прикладі 4, знайти математичні сподівання та середні квадратичні відхилення складових X i Y. Обчислити кое-

фіцієнт кореляції rxy системи.

11. Для системи (X; Y) неперервних випадкових величин зі щільністю ймовірності f (x; y) із прикладу 5 знайти математичні сподівання та середні квадратичні відхилення складових X i Y. Обчислити коефіцієнт кореляції rxy системи.

12. Система (X; Y) неперервних випадкових величин має щільність імовірності

Asin xsin y,		(x; y) D,
f (x, y) =	0,	(x; y) D,

де область D — квадрат 0 ≤ x ≤ π; 0 ≤ y ≤ π. Знайти: а) коефіцієнт А; б) математичні сподівання та середні квадратичні відхилення

складових X i Y; в) коефіцієнт кореляції rxy системи.

Відповіді

1. а) а = 0,5;

б)

Х	1	2	3	Y	2	4	6
Р	0,2	0,4	0,4	G	0,3	0,35	0,35

в) F (x, y) :

x	y	y ≤ 2	2 < y ≤ 4	4 < y ≤ 6	y > 6
		y ≤ 2	2 < y ≤ 4	4 < y ≤ 6	y > 6


x ≤ 1		0	0	0	0

1 < x ≤ 2		0	0,15	0,2	0,2

2 < x ≤ 3		0	0,25	0,5	0,6

x > 3		0	0,3	0,65	1

г) P{1 < X ≤ 3; 4 ≤ Y ≤ 6} = 0,65.

167

			X	Y	0	1			2
					0	1			2


		0			0,0004	0,0032		0,0064

		1			0,0072	0,0576		0,1152

		2			0,0324	0,2592			0,5184

Х	0		1		2		Y	0		1	2

Р	0,01		0,18		0,81		G	0,04		0,32	0,64

Х і Y — незалежні.

				X		Y		1		2		3
								1		2		3


					1			1/9		1/9		1/9
					2			0		1/6		1/6
					3			0		0		1/3

	Х	1			2		3				Y	1		2	3

	Р	1/3			1/3		1/3				G	1/9		5/18	11/18

			X		Y		0		1		2		3
							0		1		2		3


		0					0		1/40		1/20	1/120

			1				1/24		1/4		1/8		0
			2				1/6		1/4		0		0
		3					1/12		0		0		0
				Х			0		1		2		3
				Р			1/12		5/12		5/12		1/12
				Y			0		1		2		3
				G			7/24		21/40		7/40		1/120
Х і Y — залежні.
	4. а)

б)

168

в)

Р{X | Y = 2}

2/7

5/7

г) P{ X ≥ 2; Y ≤ 2} = 0,5.

5. а) А = 24; б) M ( X ) = M (Y ) = 0,4;

σ ( X ) = σ (Y ) = 0,2.

6. a) А = 3; б) F (x, y) =

arctg

arctg y +

; в) 1/24.

M (X )= 2,2; M (Y ) = 4,1;

σ( X ) = 0,748;

σ (Y ) = 1,61;

rxy = 0,565.

M (X ) = 1,8; M (Y ) = 1,6;

σ ( X ) = 0,424; σ (Y ) = 0,566;

rxy = 0.

M (X ) = 2; M (Y ) =

; σ ( X ) =

≈ 0,816; σ (Y ) =

≈ 0,687;

rxy = 0,595.

10.

M(X )= 1,5; M(Y )= 0,9;

σ( X ) ≈ 0,764;

σ(Y ) = 0,7;

rxy

≈ −0,654.

11.

M (X )= M (Y )= 0,4;

σ ( X ) = σ (Y ) = 0,2;

rxy = − 2 .

; б) M ( X ) = M (Y ) = π

12. а) A =

;

σ ( X ) = σ (Y ) = π2 − 4 ≈ 2,42;

rxy = 0.

Т.4 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

4.1. Систему дискретних випадкових величин (X; Y) задано матрицею розподілу. Знайдіть: а) ряди розподілу складових X i Y; б) математичні сподівання та середні квадратичні відхилення складових; в) кореляційний момент та коефіцієнт кореляції системи.

4.1.1.

X	Y	0	1	2	4
		0	1	2	4

0,1		0,2	0,1	0,05	0
0,2		0,05	0,1	0,1	0,05
0,3		0	0	0,15	0,2

169

4.1.2.

X	Y	1	3	4		5
		1	3	4		5

1		0,1	0,05	0,05	0

2		0,05	0,2	0,1	0,15
3		0	0,05	0,05	0,2

4.1.3.

X	Y	– 2	– 1	0		2
		– 2	– 1	0		2

3		0	0,05	0,15	0,2

4		0	0,1	0,1	0,1
5		0,2	0,05	0,05	0

4.1.4.

X	Y	0,1	0,2	0,4	0,5
		0,1	0,2	0,4	0,5


0		0,3	0,1	0,05	0
1		0,05	0,1	0,05	0
2		0	0,05	0,1	0,2

4.1.5.

X	Y	– 1	0	2		4
		– 1	0	2		4


0,2		0	0,05	0,1	0,2
0,4		0,05	0,1	0,15	0

0,6		0,25	0,05	0,05		0

4.1.6.

X	Y	0	0,2	0,4		0,6
		0	0,2	0,4		0,6


– 2		0	0,05	0,1	0,15
– 1		0,05	0,15	0,15	0,05

1		0,15	0,1	0,05		0

170

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.201890.11 Кб1тема 9.кредитні операції doc.doc
#
01.03.202542.4 Кб0Тема до роботи №16. Види комп'ютерної графіки т...docx
#
01.05.202541.68 Кб0тема5(125-156)лаби 1-12.docx
#
01.05.201591.12 Кб5Теми курсових робіт стат .docx
#
01.05.201517.86 Кб58Теми курсових.docx
#
10.03.20166.54 Mб1289Теорія ймовірності - high_math.pdf
#
01.05.2015105.98 Кб14Теорія систем (лекція 1).doc
#
01.05.201569.12 Кб34Теорія систем (лекція 2).doc
#
01.05.2015140.8 Кб18Теорія систем (лекція 3).doc
#
26.11.2019794.09 Кб23Теплицы.docx
#
01.05.2015387.58 Кб12Тертя в різьбі.doc